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类型工程力学65816.ppt

  • 上传人:dreamzhangning
  • 文档编号:3332677
  • 上传时间:2018-10-14
  • 格式:PPT
  • 页数:57
  • 大小:10.20MB
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    工程力学65816.ppt
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    1、第七章 扭 转,扭转的概念和实例,杆件的扭转变形是指杆件在两端扭矩作用下的变形 受力特点:两个等值反向的力偶矩分别作用在杆件两端垂直于轴线的平面内,变形特点:杆件的各横截面绕杆的轴线发生相对转动 任意两横截面间相对转角称为扭转角,工程实例,外力偶矩的计算 工程中的传动轴,通常不直接给出外力偶矩的数值,而是给出传动轴所传递的功率和转速 设外力偶矩为 Me,传动轴的功率为 P,角速度为w,则有(理论力学),外力偶矩M 单位:Nm(牛顿米) 功率为P 单位:J(焦耳) 角速度w 单位:arc/s(弧度/秒),第七章 外力偶矩、扭矩与扭矩图,在工程中,功率通用千瓦 PkW (kW) 或马力 N 给出,

    2、角速度用转速 n(转/分钟, r/min )给出,则外力偶矩的计算公式为,第七章 外力偶矩、扭矩与扭矩图,扭转时的内力扭矩和扭矩图 杆件在外力偶矩的作用下产生扭转变形,同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩T,称为扭矩,扭矩 T 的计算仍采用截面法。设想截面m-m将杆件分为两部分,根据平衡关系,有T = Me,第七章 外力偶矩、扭矩与扭矩图,扭矩符号的规定如下:采用右手螺旋法则,如果用四指表示扭矩的转向,拇指的指向与截面的外法线 n 的方向向同时,该扭矩为正;反之,规定扭矩为负。保证无论从哪一段计算,扭矩的大小和符号都相同,第七章 外力偶矩、扭矩与扭矩图,以 x 轴作为横截面位置的坐标,以 y

    3、轴表示横截面上扭矩的数值,所绘制的图形称为扭矩图 确定最大扭矩Tmax截面所在的位置,第七章 外力偶矩、扭矩与扭矩图,例题,例 如图所示的传动轴的转速n=300转/分,主动轮的输入功率PA=367kW,从动轮B、C及D的输出功率分别为PB=PC=110kW,PD=147kW,绘制该轴的扭矩图,并确定最大扭矩Tmax及其所在位置,n = 300转/分 PA=367kW,PB=PC=110kW,PD=147kW,解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为方向如图所示,各段的扭矩为T1=MB=3.5103 NmT2=MB+ MC =7103 NmT3= -MD= -4.68103 Nm,若扭矩的数值为正,表

    4、明扭矩的方向与所设方向相同;若为负,表明扭矩的方向与所设方向相反,绘制扭矩图。最大扭矩产生在CA段上,其值为Tmax=7103 (N m),薄壁圆筒的扭转 设圆筒的壁厚为t,R0是圆筒的平均半径 薄壁圆筒 t/R0 10-1,第七章 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒扭转时的变形和应力,分析纵向直线、圆周线的变形 分析表面单元的变形,变形现象 在小变形的条件下,纵向水平线变成了平行的斜直线 圆周线在变形后,大小、形状及其间距保持不变,他们仅仅绕圆筒轴线产生了相对转动,第七章 薄壁圆筒的扭转,由纵向线和圆周线组成的矩形变成平行四边形,称为剪切变形 相邻两圆周线的相对错动而倾斜的角度 g ,称为切应变,第七

    5、章 薄壁圆筒的扭转,应力分析 由于两圆周线发生了相对错动,所以,在圆周的截面上必受到切应力t 的作用 由于两圆周的间距没有发生变化,所以,在圆周的截面上没有正应力 的作用 由于圆筒表面上各矩形沿圆周方向都由相同的切应变 g 。所以,沿任一圆筒横截面上外圆周方向的切应力t 都相同 由于是薄壁圆筒,所以,假定切应力沿壁厚方向是均匀的,于是,切应力t 在整个横截面上相等,横截面上切应力t 对原点o的力偶矩为于是,,第七章 薄壁圆筒的扭转,当t/R0 10-1时,上述应力公式的误差不超过4% 对于圆筒的扭转变形,不难得到切应变 g 为,第七章 薄壁圆筒的扭转,切应力互等定理从受扭薄壁圆筒中,用两个横截

    6、面、两个径向截面和两个圆柱面切出一个边长分别为dx、dy和dz的微小正六面体,称之为单元体,第七章 薄壁圆筒的扭转,单元体的左右两侧为圆筒的横截面,其上作用有等值反向的切应力t,为保证单元体的平衡,单元体上下表面应作用有切应力t,这种在两对边上只受切应力作用的应力状态称为纯剪切状态,第七章 薄壁圆筒的扭转,根据平衡条件,有(t dydz)dx=(t dxdz)dy 从而,,t = t,切应力互等定理:在单元体的两个相互垂直截面上,与两平面之交线成正交方向的切应力必成对存在,其大小相等而转向相反,第七章 薄壁圆筒的扭转,剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转试验,可以得到t g 曲线。此曲线与杆件的拉

    7、压s e 曲线形状相似 在剪切比例极限内,切应力和切应变成正比,即t =Gg上式称为剪切胡克定律, G 称为剪切弹性模量,第七章 薄壁圆筒的扭转,对于各向同性材料,理论和实验研究表明:弹性模量 E 、剪切弹性模量 G 和泊松比 m 之间有如下关系各向同性线弹性材料只有两个独立的弹性常量,第七章 薄壁圆筒的扭转,对于圆轴扭转,薄壁圆筒中的均布切应力假定是不合适的,另外,仅仅利用静力学的条件是不能解决的。需要从几何、物理和力学(平衡)三个方面进行综合分析,三个方面,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,变形几何关系 试验和理论表明圆轴扭转时,其变形和薄壁圆筒相似。为此,作如下基本假设: 变形后,横截面仍

    8、保持为平面,其形状和大小均不改变,半径仍为直线 变形后,相邻横截面的间距保持不变 圆轴扭转的平截面假设,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,取出一楔形体,变形几何分析,变形几何分析,物理关系(应力-应变关系)由剪切胡克定律 t =Gg考虑到得横截面上半径为 r 处的切应力为,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,切应力方向垂直于半径(由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内),圆轴横截面上的切应力tr与r 成正比 切应力在圆轴边缘达到最大,在离圆心等远的各点处,切应力则均相同,静力平衡条件横截面上分布的切应力的合力(主矢)等于零,切应力关于点o的合力偶应该等于该截面上的扭矩 T ,即,T,由于则,记称为圆截

    9、面的极惯性矩 则,从而切应力的计算公式,最大切应力为,记称为抗扭截面系数 则最大切应力为,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,极惯性矩和抗扭截面系数,定义,实心圆轴,空心圆轴,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,薄壁圆筒,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,圆轴扭转的变形考虑如图所示在扭矩作用下的圆轴。截取一长度为dx的微元段,微元段的相对转角为d ,则,T,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,从而对于等截面圆轴,且扭矩 为常数时, 抗扭刚度 单位长度的 扭转角,第七章 圆轴扭转时的应力与变形,圆轴扭转时的强度条件,等截面圆轴扭转强度条件Tmax为截面上的最大扭矩,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,阶梯形圆

    10、轴,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例 已知 t =60 MPa, D =85 mm,t =2 mm,Me =1.2 kNm校核其强度。,t =60 MPa, D =85 mm,t =2 mm,Me =1.2 kNm,解 由于t/R010,因此,可用薄壁圆筒理论。由于扭矩 T=Me,则 故满足强度要求,圆轴扭转时的刚度条件在考虑刚度问题时,通常限制圆轴的最大单位长度的扭转角 max不超过许用扭转角 。即,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例题,例 阶梯轴横截面B和C上的外力偶矩分别为MB=4.2kNm,MC=1.2kN m,圆轴直径d1=50mm,d2=75mm,长度l1=500mm,l

    11、2=750mm,剪切弹性模量G=80GPa,许用单位扭转角=2o/m,求截面C相对截面A的扭转角AC,并校核该轴的刚度,解 阶梯轴在BC 段和AB段内的扭矩分别为T1= MC = 1.2kNmT2= MB MC = 3kNm 截面B相对于截面A的扭转角AB为,截面C相对于截面B的扭转角BC为故截面C相对于截面A的扭转角AC为,AB段的单位长度的扭转角AB为BC段的单位长度的扭转角BC为故满足刚度要求。,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例 一汽车主传动轮,受到最大转矩M=1.8kN m的作用,轴由内径d=82mm、外径D=90mm的无缝钢管支撑,材料的剪切弹性模量G=80GPa,单位长度的许

    12、用扭转角=1o/m 校核该轴刚度; 若改用刚度相同的实心轴,求实心轴的直径; 比较空心和实心轴的重量,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解 1. 校核空心轴的刚度空心轴的单位长度的扭角为满足刚度要求,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,2. 改用实心轴,由 = 0.645o/m得3. 比较重量在长度、材料相同的条件下,其重量比就是相应的面积比,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,结论:空心轴比实心轴具有优越性 原因: 由于切应力为线性分布的,所以,即使外圆周的切应力t 达到许用切应力t 时,在圆心附近的切应力仍然较小,不利于材料的充分利用 圆心附近的切应力由于力臂较小,因而抵抗材料所承受的扭

    13、矩也较小,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,因此,设计时应将材料外移至离圆心较远处,在面积保持不变的条件下,做成空心截面,以提高承载能力。同时,由于极惯性矩 Ip 的相应增加,也提高了抵抗扭转变形的能力,第七章 圆轴扭转时的强度和刚度计算,斜截面上的应力从圆轴中取出一单元体 AB、CD面属于圆轴的横截面(垂直 x 轴); AD、BC面属于圆轴的径向面(垂直 y 轴); 前、后两侧面属于圆轴的两个柱面(垂直 z 轴)。,第七章 圆轴扭转时的破坏分析,研究法向n与x轴夹角为a 的斜截面上的应力,第七章 圆轴扭转时的破坏分析,利用截面法和静力平衡,注意到dAx=dAsinadAy=dAcosa 得,第七章 圆轴扭转时的破坏分析,在a = 0o或a = 90o的截面上,ta 达到极值,其大小为t,并且,截面上没有正应力 在a = 45o的截面上,sa 达到极值,其大小仍为t,并且,截面上没有切应力,破坏类型 塑性材料,小变形,小变形,脆性材料,第七章 圆轴扭转时的破坏分析,破坏机理 塑性材料:受剪破坏低碳钢的抗剪强度低于抗拉强度,脆性材料:受拉破坏脆性材料的抗剪强度大于抗拉强度,

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