1、第 7 章 参数估计,第 7 章 参数估计,7.1 参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计 7.4 样本容量的确定,学习目标,估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本容量的确定方法,参数估计在统计方法中的地位,统计推断的过程,7.1 参数估计的一般问题,估计量与估计值 点估计与区间估计 评价估计量的标准,估计量与估计值,估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比例、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 参数用 表示，估计量用 表示
2、估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值,估计量与估计值 (estimator & estimated value),点估计与区间估计,参数估计的方法,点估计 (point estimate),用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等,区间估计 (interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量
3、加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,区间估计的图示,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10,置信水平,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所
4、产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,置信区间 (confidence interval),置信区间与置信水平,均值的抽样分布,(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含,影响区间宽度的因素,1. 总体数据的离散程度，用 来测度 样本容量， 3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小,评价估计量的标准,无偏性 (unbiasedness),无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数,有效性 (efficiency),有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的
5、估计量更有效,一致性 (consistency),一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数,7.2 一个总体参数的区间估计,总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计,一个总体参数的区间估计,总体均值的区间估计 (正态总体、已知，或非正态总体、大样本),总体均值的区间估计 (大样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 使用正态分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,总体均值的区间估计 (例题分析),【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门
6、经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的置信区间为101.44克109.28克之,总体均值的区间估计 (例题分析),【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,
7、总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得： ，总体均值在1-置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁,总体均值的区间估计 (正态总体、未知、小样本),总体均值的区间估计 (小样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 小样本 (n 30) 使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,t 分布,分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,总体均值的区间估计 (
8、例题分析),【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得： ，总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时,总体比例的区间估计,总体比例的区间估计,1. 假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 使用正态分布统计量,3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为,总体比例的区间估计 (例题分析),【例】某城市想要估计下岗
9、职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65% , 1-= 95%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,总体方差的区间估计,总体方差的区间估计,1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为S2,且,4. 总体方差在1-置信水平下的置信区间为,总体方差的区间估计 (图示),总体方差的区间估计 (例题分析),【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每
10、袋重量如下表7所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间,总体方差的区间估计 (例题分析),解:已知n25，1-95% ,根据样本数据计算得s2 =93.212置信度为95%的置信区间为,该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区 间为7.54克13.43克,7.3 两个总体参数的区间估计,两个总体均值之差的区间估计 两个总体比例的之差区间估计 两个总体方差比的区间估计,两个总体参数的区间估计,两个总体均值之差的区间估计 (独立大样本),两个样本均值之差的抽样分布,两个总体均值之差的估计 (大样本),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布，1、 2已知
11、 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230) 两个样本是独立的随机样本 使用正态分布统计量Z,两个总体均值之差的估计 (大样本),1. 1、 2已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,1、 2未知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立地抽取两个随机样本，有关数据如下表 。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为,两所
12、中学高考英语平均分数之差的置信区间为 5.03分10.97分,两个总体均值之差的区间估计 (独立小样本),两个总体均值之差的估计 (小样本: 12=22 ),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知但相等：1=2 两个独立的小样本(n130和n230) 总体方差的合并估计量,估计量X1-X2的抽样标准差,两个总体均值之差的估计 (小样本: 12=22 ),两个样本均值之差的标准化,两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12个工人，每个工人组装一件产
13、品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 根据样本数据计算得合并估计量为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为 0.14分钟7.26分钟,两个总体均值之差的估计 (小样本: 1222 ),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知且不相等：12 两个独立的小样本(n130和n230) 使用统计量,两个总体均值之差的估计 (小样本: 1222 ),两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计
14、(例题分析),【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12个工人，第二种方法随机安排8个工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 根据样本数据计算得自由度为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为 0.192分钟9.058分钟,两个总体均值之差的区间估计 (匹配样本),两个总体均值之差的估计 (匹配大样本),假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30) 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为
15、,两个总体均值之差的估计 (匹配小样本),假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30) 两个总体各观察值的配对差服从正态分布 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表 。试建立两种试卷分数之差d=1-2 95%的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 根据样本数据计算得,两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分 15.67分,两个总体比例之差区间的估计,1. 假定条件 两个总体服从二项分布 可以用正态分布来近似 两个样本是独立的
16、 2. 两个总体比例之差1- 2在1-置信水平下的置信区间为,两个总体比例之差的区间估计,两个总体比例之差的估计 (例题分析),【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间,两个总体比例之差的估计 (例题分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%，1-=95%， z/2=1.961- 2置信度为95%的置信区间为,城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%,两个总体方差比的区间估计,两个总体方差比的区
17、间估计,1. 比较两个总体的方差比 用两个样本的方差比来判断 如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近 如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为,两个总体方差比的区间估计 (图示),两个总体方差比的区间估计 (例题分析),【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间,两个总体方差比的区间估计 (例题分析),解:根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=
18、1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.50512 /22置信度为90%的置信区间为,男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.471.84,7.4 样本容量的确定,估计总体均值时样本容量的确定 估计总体比例时样本容量的确定 估计两个总体均值之差时样本容量的确定 估计两个总体比例之差时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为 与总体方差成正比 与边际误差成反比 与可靠性系数成正比,估计总体均值时样本容量的确定,其中：,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),【例】拥有工商管理学士学位的大
19、学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),解: 已知 =500，E=200, 1-=95%， z/2=1.9612 /22置信度为90%的置信区间为,即应抽取97人作为样本,估计总体比例时样本容量的确定,根据比例区间估计公式可得样本容量n为,估计总体比例时样本容量的确定,E的取值一般小于0.1 未知时，可取最大值0.5,其中：,估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析),【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽
20、取多少个产品作为样本？,解:已知=90%，=0.05， Z/2=1.96，E=5%,应抽取的样本容量为,应抽取139个产品作为样本,估计两个总体均值之差时 样本容量的确定,设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2 根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为,估计两个总体均值之差时 样本容量的确定,其中：,估计两个总体均值之差时样本容量的确定 (例题分析),【例】一所中学的教务处想要估计试验班和普通班考试成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个班考试分数的方差分别为：试验班12=90 ，普通班 22=120 。如果要求估计的误差范围(边际误差)不超过5分，在
21、两个班应分别抽取多少名学生进行调查？,English,估计两个总体均值之差时样本容量的确定 (例题分析),解: 已知12=90，22=120，E=5, 1-=95%，z/2=1.96,即应抽取17人作为样本,估计两个总体比例之差时 样本容量的确定,设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2 根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为,估计两个总体比例之差时 样本容量的确定,其中：,估计两个总体比例之差时样本容量的确定 (例题分析),【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认知的广告效果。他在广告前和广告后分别从市场营销区各抽选一个消费者随机样本，并询问这些消费者是否听说过这种新型饮料。这位制造商想以10%的误差范围和95%的置信水平估计广告前后知道该新型饮料消费者的比例之差，他抽取的两个样本分别应包括多少人？(假定两个样本容量相等),估计两个总体比例之差时样本容量的确定 (例题分析),解: E=10%, 1-=95%，z/2=1.96，由于没有的信息，用0.5代替,即应抽取193个消费者作为样本,本章小结,参数估计的一般问题 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定,
