1、1, 2.2 n 维向量,引例 线性方程组,设,2,一. n 维向量及其线性运算,1n 维向量,向量通常用希腊字母 ，.表示.,3,(2) 所有分量都为0，称为零向量，常记作,4,2向量的线性运算,(2) 向量加法,(3) 数与向量的乘法,注 向量减法,5,3向量的线性运算满足的运算律,6,7,解：,，,即,，得,8,9,一般的，n 个未知量，m 个方程的线性方程组,令,，.,则线性方程组可以表示为,线性方程组的向量表达式,10,线性方程组的表示方法,线性方程组的向量表达式:,线性方程组的矩阵表达式:,其中 A 为系数矩阵。,11,例如,向量组 称为矩阵A的列向量组.,12,向量组 , , ，
2、 称为矩阵A的行向量组,13,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,14,二、向量间的线性关系(是本书的重点和难点),（一） 线性组合,1. 定义,则称,为 的线性组合。,15,2. 若干结论,(1)零向量O可由任一组向量 线性表示。,称为基本单位向量组。,(3)向量组 中任意一个向量都可由该向量组线性表示。,16,(4)(传递性) 可由 线性表示，又每个 可由 ，线性表示，则 可由 线性表示。,2. 若干结论,17,例1：设向量,可否由 线性表示？若可以,表示法是否唯一？,解：设 即,得到线性方程组,在2.1节例1已解过该方程组，唯一解为,可以由 线性表示，且表示法唯一。,18
3、,【逆否命题】 不能由 线性表示的充要条件是 无解。,【注】表示法唯一 方程组有唯一解 。表示法不唯一 方程组有无穷多解。,19,20,21,22,23,关键词,（二） 线性相关与线性无关,仅当 k1=k2=ks=0 时，（*）式成立。,“线性相关、线性无关这是一道难关！”,24,【理解概念】判断对错,因为所以，向量组 线性无关。,事实上，所以，向量组 线性相关。,25,2. 重要结论,含有零向量的向量组必线性相关，单个零向量线性相关。,(2) 单个非零向量线性无关。,(3) n 维基本单位向量组 线性无关。,(4) 两个非零向量线性相关两个向量中的非零分量对应成比例。,26,例3 证明：如果
4、向量组 线性无关，则向量组 也线性无关。,【分析】证明向量组的线性关系（相关、无关），除后面介绍的一些定理外，用定义证明是一个重要的基本方法。,【注】由线性无关向量组构造的向量组不一定是线性无关的，此处只是一种情况而已。（请举例）,例如 对本题，若构造向量组 则是线性相关的。,27,例4 判断下列向量是否线性相关？,（1）,（2）,28,解 （2）设 得到齐次线性方程组,29,3、向量组线性相关、线性无关的一些判断方法,30,例5 判断下列向量组是否线性相关:,31,【逆否命题 】上述向量组 线性无关,32,【逆否命题】如果 线性无关,则,例 n1个n 维向量一定线性相关。,33,若 线性无关
5、 线性无关。,34,推论3常简要叙述为“无关增维仍无关”。 逆否命题为“相关减维仍相关”。 该命题非充要，逆命题不一定成立，即：线性无关向量组减维后不一定仍线性无关。,【注】,（请举例）,35,【逆否】整体组线性无关 任一部分组线性无关。,【注】1)定理3常简要叙述为“部分相关，整体相关 ”.2)逆否命题为“整体无关，部分无关 ”。3)该命题非充要，逆命题不一定成立，即：整体向量组相关，部分组不一定相关。,（请举例）,36,（三）线性组合(表示)与线性相关之间的关系定理,定理4 向量组 ， 线性相关 其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合。,【逆否命题】向量组 , 线性无关其中每一个向
6、量都不能由其他向量线性表示。,37,（定理6是补充内容）,38,39,例6 设向量组 线性无关，且证明：向量组 线性无关,【评注】是扩充线性无关向量组的一种方法.,40,熟练掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义。 会判断向量组是否线性相关。定义、定理、推论 会证明向量组的线性相关或无关。,【友情提示】用自己的话叙述定理、结论，将其转化为自己的东西。,【学习要求】 向量组的线性关系,41,42,43,1若向量组 线性无关，则 t 应满足条件_.,44,2、选择 若向量组 1, 2, 3 线性无关； 1, 2, 4 线性相关，则（ ） （A）1 必可由 2, 3 , 4 线性表示； （B）2 必不可由 1, 3 , 4 线性表示； （C）4 必可由 1, 2, 3 线性表示； （D）4 必不可由 1, 2, 3 线性表示；,C,45,3. 设向量 1, 2, n-1, n中，前n-1个向量线性相关，后n-1个向量线性无关。证明,46,课后习题 习题二 8(3)，9 10(3)，11，14，15,
