1、1,第5章 数组和广义表（Arrays & Lists）, 元素的值并非原子类型，可以再分解，表中元素也是一个线性表（即广义的线性表）。 所有数据元素仍属同一数据类型。,5.1 数组的定义 5.2 数组的顺序表示和实现 5.3 矩阵的压缩存储 5.4 广义表的定义 5.5 广义表的存储结构,数组和广义表的特点：一种特殊的线性表,2,5.1 数组的定义,数组： 由一组名字相同、下标不同的变量构成,注意： 本章所讨论的数组与高级语言中的数组有所区别：高级语言中的数组是顺序结构；而本章的数组既可以是顺序的，也可以是链式结构，用户可根据需要选择。,答：对的。因为： 数组中各元素具有统一的类型； 数组元
2、素的下标一般具有固定的上界和下界，即数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。 数组的基本操作比较简单，除了结构的初始化和销毁之外，只有存取元素和修改元素值的操作。,讨论：“数组的处理比其它复杂的结构要简单”，对吗？,3,二维数组的特点：,一维数组的特点：,1个下标，ai 是ai+1的直接前驱,2个下标，每个元素ai,j受到两个关系（行关系和列关系）的约束：,一个mn的二维数组可以看成是m行的一维数组，或者n列的一维数组。,N维数组的特点：,n个下标，每个元素受到n个关系约束,一个n维数组可以看成是由若干个n1维数组组成的线性表。,4,N维数组的数据类型定义,n_ARRAY = (D, R),
3、其中：,Ri = | aj1,j2,jijn , aj1,j2,ji+1jn D ,数据关系：R = R1 ,R2，. Rn ,数据对象：D = aj1,j2jn| ji为数组元素的第i 维下标 ，aj1,j2jn Elemset,数组的抽象数据类型定义略，参见教材P90 疑问：为何书中写成i=2,n？,构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素,基本操作：,5,5.2 数组的顺序存储表示和实现,问题：计算机的存储结构是一维的，而数组一般是多维的，怎样存放？ 解决办法：事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存入存储器中。 例如：在二维数组中，我们既可以规定按行存储，也可以
4、规定按列存储。,注意： 若规定好了次序，则数组中任意一个元素的存放地址便有规律可寻，可形成地址计算公式； 约定的次序不同，则计算元素地址的公式也有所不同； C和PASCAL中一般采用行优先顺序；FORTRAN采用列优先。,6,补充：计算二维数组元素地址的通式 设一般的二维数组是Ac1d1, c2d2，这里c1,c2不一定是0。,无论规定行优先或列优先，只要知道以下三要素便可随时求出任一元素的地址（这样数组中的任一元素便可以随机存取！）：,二维数组列优先存储的通式为： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)*L,单个元素长度,aij之前的行数,数组
5、基址,总列数，即第2维长度,aij本行前面的元素个数,开始结点的存放地址（即基地址） 维数和每维的上、下界； 每个数组元素所占用的单元数,则行优先存储时的地址公式为： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)*L,7,例2：已知二维数组Am,m按行存储的元素地址公式是： Loc(aij)= Loc(a11)+(i-1)*m+(j-1)*K , 按列存储的公式是？,Loc(aij)=Loc(a11)+(j-1)*m+(i-1)*K （尽管是方阵，但公式仍不同）,例1软考题：一个二维数组A，行下标的范围是1到6，列下标的范围是0到7，每个数组元素用相邻
6、的6个字节存储，存储器按字节编址。那么，这个数组的体积是 个字节。,288,例3：00年计算机系考研题设数组a160, 170的基地址为2048，每个元素占2个存储单元，若以列序为主序顺序存储，则元素a32,58的存储地址为 。,8950,LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)*L 得：LOC(a32,58)=2048+(58-1)*(60-1+1)+32-1)*28950,答：请注意审题！,利用列优先通式：,答： Volume=m*n*L=(6-1+1)*(7- 0 +1)*6=48*6=288,8,Loc(j1,j2,jn)=LOC(0,0,
7、0),若是N维数组，其中任一元素的地址该如何计算？,其中Cn=L, Ci-1=biCi， 1in,一个元素长度,数组基址,前面若干元素占用的地址字节总数,第i维长度,与所存元素个数有关的系数，可用递推法求出,教材已给出低维优先的地址计算公式，见P93（5-2）式 该式称为n维数组的映像函数：,9,#define MAX_ARRAY_DIM 8 /假设最大维数为8typedef structELemType *base; /数组元素基址int dim; /数组维数int *bound; /数组各维长度信息保存区基址int *constants; /数组映像函数常量的基址Array;,即Ci信息保
8、存区,数组的基本操作函数说明（有5个） （请阅读教材P93-95）,N维数组的顺序存储表示（见教材P93）,10,Status InitArray(Array /*ap为va_list类型，是存放变长参数表信息的类型,dim参数的写法是类C的*/,数组的基本操作函数说明（5个） （见教材P93-95）,11,for(i=0;i=0;-i)A.constantsi=A.boundsi+1*A.constantsi+1;return OK;,12,数组基址指针,各维长度保存区指针,映像函数Ci保存区指针,Status DestroyArray(Array ,13,Status Locate(Arr
9、ay A, va_list ap, int ,14,Status Value(Array A, ElemType ,15,Status Assign(Array ,16,顺序存储方式：按低地址优先（或高地址优先）顺序存入一维数组。,行指针向量,补充： 链式存储方式：用带行指针向量的单链表来表示。,注：数组的运算参见下一节实例（稀疏矩阵的转置）,（难点是多维数组与一维数组的地址映射关系）,17,5.3 矩阵的压缩存储,讨论： 1. 什么是压缩存储？ 若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的存储空间，且零元素不占存储空间。 2. 所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？ 未必，要看矩阵是否具备以上压
10、缩条件。 3. 什么样的矩阵具备以上压缩条件？ 一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等。 4. 什么叫稀疏矩阵？ 矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%）,重点介绍稀疏矩阵的压缩和相应的操作。,18,一、稀疏矩阵的压缩存储,问题： 如果只存储稀疏矩阵中的非零元素，那这些元素的位置信息该如何表示？ 解决思路： 对每个非零元素增开若干存储单元，例如存放其所在的行号和列号，便可准确反映该元素所在位置。 实现方法： 将每个非零元素用一个三元组（i，j，aij）来表示，则每个稀疏矩阵可用一个三元组表来表示。,二、稀疏矩阵的操作,19,例1 ：,三元素组表中的每个结点对应于稀疏矩阵的一
11、个非零元素，它包含有三个数据项，分别表示该元素的 、 和 。,行下标,列下标,元素值,例2：写出右图所示稀疏矩阵的压缩存储形式。,( 1,2,12) ，(1,3,9)， (3,1,-3)， (3,5,14)，(4,3,24)， (5,2,18) ，(6,1,15)， (6,4,-7),法1：用线性表表示：,20,法2：用三元组矩阵表示：,注意：为更可靠描述，通常再加一行“总体”信息：即总行数、总列数、非零元素总个数,稀疏矩阵压缩存储的缺点：将失去随机存取功能 : (,21,法三：用带辅助向量的三元组表示。,方法： 增加2个辅助向量： 记录每行非0元素个数，用NUM（i）表示； 记录稀疏矩阵中每
12、行第一个非0元素在三元组中的行号，用POS（i）表示。,7,6,5,3,1,3,用途：通过三元组高效访问稀疏矩阵中任一非零元素。,规律：POS(1)1POS(i)POS(i-1)+NUM(i-1),22,法四：用十字链表表示,用途：方便稀疏矩阵的加减运算； 方法：每个非0元素占用5个域。,同一列中下一非零元素的指针,同一行中下一非零元素的指针,十字链表的特点： 每行非零元素链接成带表头结点的循环链表； 每列非零元素也链接成带表头结点的循环链表。 则每个非零元素既是行循环链表中的一个结点；又是列循环链表中的一个结点，即呈十字链状。,以刚才的稀疏矩阵为例：,23,#define MAXSIZE 1
13、25000 /设非零元素最大个数125000typedef structint i; /元素行号int j; /元素列号ElemType e; /元素值 Triple; typedef structTriple dataMAXSIZE+1; /三元组表，以行为主序存入一维向量 data 中int mu; /矩阵总行数int nu; /矩阵总列数int tu; /矩阵中非零元素总个数 TsMatrix;,三元组表的顺序存储表示（见教材P98）：,/一个结点的结构定义,/整个三元组表的定义,24,二、稀疏矩阵的操作,三 元 组 表 a.data,三 元 组 表 b.data,M,T,（以转置运算为
14、例）,目的：,25,答：肯定不正确！ 除了： （1）每个元素的行下标和列下标互换（即三元组中的i和j互换）； 还应该：（2）T的总行数mu和总列数nu与M值不同（互换）；（3）重排三元组内元素顺序，使转置后的三元组也按行（或列）为主序有规律的排列。,上述（1）和（2）容易实现，难点在（3）。,若采用三元组压缩技术存储稀疏矩阵，只要把每个元素的行下标和列下标互换，就完成了对该矩阵的转置运算，这种说法正确吗？,有两种实现方法,压缩转置 (压缩)快速转置,提问：,26,方法1：压缩转置,思路：反复扫描a.data中的列序，从小到大依次进行转置。,三 元 组 表 a.data,三 元 组 表 b.da
15、ta,1,1,2,2,col,q,1,2,3,4,27,Status TransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix ,压缩转置算法描述：（见教材P99）,/用三元组表存放稀疏矩阵M，求M的转置矩阵T,/q是转置矩阵T的结点编号,/col是扫描M三元表列序的变量,/p是M三元表中结点编号,28,1、主要时间消耗在查找M.datap.j= =col的元素，由两重循环完成: for(col=1; col=M.nu; col+) 循环次数nufor(p=1; p=M.tu; p+) 循环次数tu 所以该算法的时间复杂度为O(nu*tu)-即M的列数与M中非零元素的个数之积
16、 最恶劣情况：M中全是非零元素，此时tu=mu*nu， 时间复杂度为 O(nu2*mu ) 注：若M中基本上是非零元素时，即使用非压缩传统转置算法的时间复杂度也不过是O(nu*mu) （程序见教材P99） 结论：压缩转置算法不能滥用。 前提：仅适用于非零元素个数很少（即tumu*nu）的情况。,压缩转置算法的效率分析：,29,方法2 快速转置,三 元 组 表 a.data,三 元 组 表 b.data,思路：依次把a.data中的元素直接送入b.data的恰当位置上（即M三元组的p指针不回溯）。,关键：怎样寻找b.data的“恰当”位置？,q,3,5,30,如果能预知M矩阵每一列(即T的每一行
17、)的非零元素个数，又能预知第一个非零元素在b.data中的位置,则扫描a.data时便可以将每个元素准确定位（因为已知若干参考点）。,技巧：利用带辅助向量的三元组表，它正好携带每行（或列）的非零元素个数 NUM(i)以及每行（或列）的第一个非零元素在三元组表中的位置POS(i) 等信息。,设计思路：,不过我们需要的是按列生成的M矩阵的辅助向量。,规律：POS(1)1 POS(i)POS(i-1)+NUM(i-1),请回忆：,请注意a.data特征：每列首个非零元素必定先被扫描到。,31,令：M中的列变量用col表示； num col ：存放M中第col 列中非0元素个数， cpot col ：
18、存放M中第col列的第一个非0元素的位置， （即b.data中待计算的“恰当”位置所需参考点）,讨论：按列优先的辅助向量求出后，下一步该如何操作？ 由a.data中每个元素的列信息，即可直接查出b.data中的重要参考点之位置，进而可确定当前元素之位置！,规律： cpot(1)1 cpotcol cpotcol-1 + numcol-1,M,3 5 7 8 8,col 1 2 3 4 5 6,32,Status FastTransposeSMatrix（TSMatirx M, TSMatirx ,快速转置算法描述：,/M用顺序存储表示，求M的转置矩阵T,/先统计每列非零元素个数,/再生成每列首
19、元位置辅助向量表,/p指向a.data，循环次数为非0元素总个数tu,/查辅助向量表得q，即T中位置,/*重要语句修改向量表中列坐标值，供同一列下一非零元素定位之用！同时cpot向量应该有备份以便以后对转置后的矩阵进行其他的操作*/,33,1. 与常规算法相比，附加了生成辅助向量表的工作。增开了2个长度为列长的数组(num 和cpot ）。,传统转置：O(mu*nu) 压缩转置：O(mu*tu) 压缩快速转置：O(nu+tu)牺牲空间效率换时间效率。,快速转置算法的效率分析：,2. 从时间上，此算法用了4个并列的单循环，而且其中前3个单循环都是用来产生辅助向量表的。for(col = 1; col =M.nu; col+) 循环次数nu; for( i = 1; i =M.tu; i +) 循环次数tu; for(col = 2; col =M.nu; col+) 循环次数nu;for( p =1; p =M.tu ; p + ) 循环次数tu; 该算法的时间复杂度(nu*2)+(tu*2)=O(nu+tu）,讨论：最恶劣情况是tu=nu*mu(即矩阵中全部是非零元素）， 而此时的时间复杂度也只是O(mu*nu)，并未超过传统转置算法的时间复杂度。,小结：,稀疏矩阵相乘的算法见教材P101-103,
