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类型高等数学方明亮版数学课件8.4 重积分的应用.ppt

  • 上传人:dreamzhangning
  • 文档编号:3330633
  • 上传时间:2018-10-14
  • 格式:PPT
  • 页数:23
  • 大小:1.05MB
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    高等数学方明亮版数学课件8.4 重积分的应用.ppt
    资源描述:

    1、2018年10月14日星期日,1,第四节 重积分的应用,第八章,(Application of Multiple Integrals),一、曲面的面积,二、质心,三、转动惯量,四、引力,五、小结与思考练习,2018年10月14日星期日,2,一、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,(Area of Surface),2018年10月14日星期日,3,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,2018年10月14日星期日,4,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,20

    2、18年10月14日星期日,5,解:,2018年10月14日星期日,6,二、质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的质心坐标,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,为,即:,采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心,(Centroid),2018年10月14日星期日,7,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,2018年10月14日星期日,8,则得形心坐标:,同理可得,2018年10月14日星期日,9,若物体为占有

    3、xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度, 对 x 轴的静矩, 对 y 轴的静矩,2018年10月14日星期日,10,的方程为,内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上,,采用柱坐标, 则炉壁方程为,因此,故,自重, 求它的质心. (补充题),若炉,不计炉体的,其坐标为,例2 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线,2018年10月14日星期日,11,2018年10月14日星期日,12,三、转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的

    4、转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,(Moment of Inertia),2018年10月14日星期日,13,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,类似可得:,2018年10月14日星期日,14,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,如果物体是平面薄片,2018年10月14日星期日,15,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,设球,所占域为,(用球坐标),(补充题),例3 求密度为均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,2018年10月14日星期日,16,G 为

    5、引力常数,四、引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,(Gravitation),2018年10月14日星期日,17,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,2018年10月14日星期日,18,对位于,的单位质量质点的引力.(课本 例6),解: 利用对称性知引力分量,点,例4 求半径 R 的均匀球,2018年10月14日星期日,19,2018年10月14日星期日,20,内容小结,几何应用:曲面的面积,物理应用:质心、转动惯量、,对质点的引力,课外练习,习题84 1 ; 2 ;3;4(3);7(3);9(2);14,2018年10月14日星期日,21,思考练习,( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小时? (2001考研),2018年10月14日星期日,22,记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则,(用极坐标),提示:,2018年10月14日星期日,23,由题意知,令,得,(小时),因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100,小时.,

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