1、1,第二类换元积分法,2,定理1 设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f j(t)j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式,其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.,这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,3,例1 求,令,解,根式代换(去根式),4,解,令,根式代换(去根式),则,例2 求,5,三角代换,去根式,作代换,去根式,作代换,去根式,作代换,6,解,令,辅助三角形,回代,例3 求,7,解,令,回代,辅助三角形,例4 求,8,解,当xa 时,(C1Clna),回代,辅助三角形,例5 求,9,当xa 时,(C1Clna),练习,例5 求,10,假设函数f(x)在
2、区间a, b上连续, 函数x(t)满足条件: (1)(t)在, (或, )上具有连续导数; (2)(a)a, ()b, 且(a,b)=a,b, 则有,定理2,换元公式,证明,是,的原函数,因此有,则,设F(x)为f(x)的一个原函数,11,解 令,则,原式=,例6 计算,12,例7 计算,解 令,则,原式 =,当x =0时, t =2;,当x =1时, t =1,13,解,或,提示：,提示：,换元一定要换积分限 不换元积分限不变,例8 计算,14,证明,例9 设f(x)在a, a上连续, 证明,并计算,15,注:,例9 设f(x)在a, a上连续, 证明,(1) 当f(x)为奇函数时,(2) 当f(x)为偶函数时,练习,16,证明,令,则,当 x=a 时, t =b;,注: 若f(x)在0, 1上连续, 则有,当 x=b 时, t =a.,例10 设f(x)在a, b上连续, 证明,17,例11 求,令,解,18,解,令,可作倒代换,一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方幂,较高时),例12 求,19,作 业 习题4.4 (P174): 3. (6) (10) (11) 习题4.5 (P188): 2. (1) (2) (3),20,三角代换,练习1,练习2,练习3,
