1、,第十三章 能量方法,材料力学,变形能： U,U = W,在弹性变形范围内,在准静载荷(Quasi Static Loads)的作用下,13-1 概述,外力功：W,准静载荷：外力是逐渐缓慢地从0增大到最终值，在加载的每一个 瞬间，弹性体都保持平衡。,1、轴向拉伸或压缩变形：,外力功：,若,13-2 杆件变形能的计算,注意：恒载做功：,准静载荷做功：,?,对于 杆C,先加,再加,特性1：计算U时不能用叠加原理。,(a),(c),(b),例：现有a，b，c三根杆，已知其长度l 和刚度EA 相等，求：各杆的变形能。,特性2：U 只与载荷的最终数值有关；与加载方式无关。,2、扭转变形：,外力功：,若,
2、3、弯曲变形：,外力功：,若,？,（横力弯曲）,注：横力弯曲的,，但对于细长梁,，所以,则总的变形能:,*注：此式仅适用于线弹性变形,广义位移与广义力不仅要在种类上匹配，而且还要在位置和方向上匹配。 即：广义位移与广义力要求能量共轭。,13-3 变形能的普遍表达式,假定：外载荷按照同一比例变化,注意：Pk， k (k=1,2,)应理解为广义力和广义位移,将克拉贝依隆原理应用到组合变形中：,问题：此处变形能的计算为什么用叠加的形式？,解: 1),BC杆,AB杆,扭转变形,弯曲变形,2),求:1)刚架的变形能U; 2)截面C沿y方向的位移,又,例1:,已知:,已知:,求:A截面的转角,解:,1),
3、2) 列弯矩方程,(以A为原点),3) 计算变形能,4),又,利用 ，只能求外力作用点沿外力方向的位移。,1）先加,2）再加,13-4 互等定理,1）先加,2）再加,功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功就等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。,又如果,i 表示位移产生的位置和方向，,j 表示引起位移的力的作用位置和方向。,所以位移互等定理又可表示为,注：位移互等定理中位移一般用双角标表示，即,例1：,要求在只有一个挠度计的情况下，测出P力作用在梁的5点时：1、2、3、4各点的挠度。,解：,P的作用下而引起1点的挠度应该是,P的作用下而引起2点的挠度应该是,P的作用下而引起
4、3点的挠度应该是,P的作用下而引起4点的挠度应该是,所以应把挠度计放在5点上,分别让P作用在1,2,3,4点上,这样测出的挠度就是题中要求的挠度.,例2:,已知：P作用在C点时，在C，E，D点产生的挠度分别是,（C点）,解：1） 求,根据功的互等定理：,2） 求,（D点）,根据功的互等定理：,3） 求,（E点）,根据功的互等定理：,静定基 （基本静定系统）,相当系统,1、变形协调方程：,2、物理方程：,B,=,+,3、平衡方程:,作业,13-1 13-3 13-4,13-5 卡氏定理,（二）卡氏定理的应用,2. 当需要求广义位移之处并无对应的广义力作用时，可以虚加一广义力Pk，对此力求导数后，令其为零：,（13-11(a)）,3. 组合变形（不计剪力的影响）,(13-13),由式（13-11）得 ：,（二）求 B 处的转角,由于 B 处没有相应的力偶与转角相对应，可假设在 B 作用一力偶 见图b 。,由式（13-11）得：,令式中 ，则有,令： 则有,
