1、第七章 系统函数,本章主要内容：,第七章 系统函数,系统函数与系统特性系统的因果性和稳定性信号流图系统的结构,第七章 系统函数,7.1 系统函数与系统特性,一、系统函数的零、极点分布图,LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即,A(.)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，m称为系统函数H(.)的零点。,将零极点画在复平面上 得零、极点分布图。,例,7.1 系统函数与系统特性,举 例,已知H(s)的零、极点分布图如下所示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。,解:,由分布图可得,根据初值定理，有,二、系统函数H()与时域响应,1.连续因果系统,
2、7.1 系统函数与系统特性,讨论H()极点位置与其所对应响应（自由响应、冲激响应等）的函数形式。,7.1 系统函数与系统特性,极点位于左半平面,以上三种情况：当t时，响应均趋于0。暂态响应。,p= (0),(s+),Ce-t(t),p12=-j,(s+)2+2,Ae-tcos(t -)(t),(s+)r或 (s+)2+2r,重极点,Citi e-t(t)或 Aiti e-t cos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1),7.1 系统函数与系统特性,极点位于虚轴上,稳态响应,递增响应,极点位于右半平面,分析同左半平面，三种情况下：当t时，响应均趋于。,递增响应,p= 0或p12=j,s或s2+
3、2,C(t)或 Acos(t -)(t),重极点,sr或(s2+2)r,Citi(t)或 Aiticos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1),7.1 系统函数与系统特性,结 论,LTI连续因果系统自由响应、冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。,H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。 暂态响应,H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。,H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t时，响应均趋于。 递增响应,7.1 系统函数与系统特性,2.离散因果系统,H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆
4、内、在单位圆上和在单位圆外三类。,根据z与s的对应关系：,H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k时，响应均趋于0。暂态响应,H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列为稳态响应。,H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。 即当k时，响应均趋于。 递增响应,结 论,7.1 系统函数与系统特性,7.1 系统函数与系统特性,三、系统函数与频率响应,H(j)=H(s)|s= j,频率响应：,极点位置：均在左半开平面，收敛域包含虚轴。,连续因果系统,离散因果系统,极点位置：均在单位圆内，收敛域包含单位圆。,7.1 系统函数与系统特性,举 例,例：某
5、离散因果系统的系统函数：,求其频率响应。,解：,收敛域包含单位圆，故,7.1 系统函数与系统特性,系统的幅频特性：,系统的相频特性：,系统的频率响应：,第七章 系统函数,7.2 系统的因果性与稳定性,一、系统的因果性,因果系统是指，系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)之前的系统。,连续因果系统的充分必要条件是：h(t)=0, t0,离散因果系统的充分必要条件是：h(k)=0, k0,7.2 系统的因果性与稳定性,二、系统的稳定性,稳定系统的定义,一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。,即，若系统对所有
6、的激励 |f(.)|Mf ， 其零状态响应 |yzs(.)|My， 则称该系统稳定。,7.2 系统的因果性与稳定性,稳定系统的充要条件,连续系统：,若H(s)的收敛域包含虚轴，则必是稳定系统。,离散系统：,若H(z)的收敛域包含单位圆，则必是稳定的系统。,绝对可积,绝对可和,7.2 系统的因果性与稳定性,举 例,例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)(1) 若为因果系统，求h(k)，并判断系统是否稳定。(2) 若为稳定系统，求h(k)。,解：,(1)为因果系统，故收敛域为|z|2，所以,h(k)=0.4(0.5)k(k) + 0.4(-2)k(-k-1),h(k)=0
7、.40.5k-(-2)k(k),不稳定。,(2)为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2 ，所以,复 习,系统函数零极点分布图 系统函数与频率响应 连续因果系统 离散因果系统 因果系统、稳定系统的充要条件,7.2 系统的因果性与稳定性,因果稳定系统的充要条件,连续因果系统：,若H(s)极点都在左半开平面，则必是因果稳定系统。,离散因果系统：,若H(z)的极点都在单位圆内，则必是因果稳定系统。,半开平面指不包含虚轴,例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/(s+1)(s+2),设加法器的输出信号X(s),X(s),X(s)=KY(s)+F(s),
8、Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s),H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s),H(s)的极点为,系统因果稳定，要求极点均在左半开平面,7.2 系统的因果性与稳定性,解：,=1/(s2+3s+2-k),7.2 系统的因果性与稳定性,H(s)的极点,分为两种情况：,综上：,即当k2，系统稳定。,共轭虚根：,实根：,7.2 系统的因果性与稳定性,例2：如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a的取值范围。,设加法器输出信号X(z),X(z),z-1X(z),X(z)=F(z)+az-1X(z),Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/
9、(1-az-1)F(z),为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内，,解：,故 |a|1,H(z)的极点为： z = a,复 习,因果系统的充要条件 稳定系统的充要条件 因果稳定系统的充要条件,对应的系统函数收敛域（极点）？,第七章 系统函数,7.3 信号流图,方框图描述系统的功能比较直观 信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。 信号流图首先由Mason于1953年提出的，应用非常广泛。 连续系统和离散系统从流图的角度而言，分析方法相同，一并讨论,7.3 信 号 流 图,一、信号流图,定 义,信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化
10、系统的表示，并便于计算系统函数。,常用术语,结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。,支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。,7.3 信 号 流 图,即用一条有向线段表示一个子系统。,源点、汇点与混合结点： 仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。 有入有出的结点为混合结点,通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回路： 沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路 若通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路,7.3 信 号 流 图,通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回
11、路： 若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路（回路）。 相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。 只有一个结点和一条支路的回路称为自回路（自环）。,前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。,前向通路增益，回路增益： 前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。 回路中各支路增益的乘积称为回路增益。,7.3 信 号 流 图,信号流图的基本性质,信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出 = 支路的输入支路增益。,当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。,如：,x4= ax1+bx2+dx5 x3= cx4 x6
12、= ex4,7.3 信 号 流 图,流图化简的基本原则,（1）支路串联：支路增益相乘。,X2 = H2X3 = H2H1X1,（2）支路并联：支路增益相加。,X2 = H1X1+H2X1 = (H1+H2) X1,7.3 信 号 流 图,（3）混 联：,X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2,X3=H2X2=H1H2X1 X4 = H3X2 =H1H3X1,7.3 信 号 流 图,（4）自环的消除,X3=H1X1+H2X2+ H3X3,所有来向支路除以(1 H3),反复化简只包含一个源点和一个汇点，从而得到系统函数。,7.3 信 号 流 图,举 例,化简
13、流图，求系统函数。,解：,消x2,消x4,消自环,消x3,系统函数,7.3 信 号 流 图,二、梅森公式系统函数,为所有不同回路的增益之和；,为所有两两不接触回路的增益乘积之和；,为所有三三不接触回路的增益乘积之和；,式中称为信号流图的特征行列式,i 前向通路标号； pi 增益 i 特征行列式的余因子,与第i条前向通路不接触的,7.3 信 号 流 图,例 求下列信号流图的系统函数,(1)首先找出所有回路：,L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5,(2)求特征行列式,=1-（L1 + L2 + L3）+ L1L3,(4)求各前向通路的余因子：,(3)然后找出所有的前向通路：,
14、p1 = 2H1H2H3 p2 = H1H4,解：,1 =1 ， 2 =1 - L1,第七章 系统函数,7.4 系统的结构,一、直接实现,Mason公式是由流图 H(s)或H(z) 本节讨论由H(s)或H(z) 流图或方框图,由梅森公式,系统函数,令：任意前向通路与所有回路都接触,7.4 系统的结构,7.4 系统的结构,例 某连续系统的系统函数如下，用直接形式模拟此系统。,将系统函数写为：,解：,根据梅森公式，上式的流图为：,2条前向通路3个接触回路,7.4 系统的结构,二、级联实现,将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即 H=H1H2Hn,一、二阶子系统函数：,三、并联实现,将H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。,小 结,系统函数的概念（由零极点确定系统函数表达式）系统因果性与稳定性的判别（系统函数收敛域与极点位置）由信号流图确定系统函数（梅森公式）由系统函数画出信号流图,第七章 系统函数,
