1、1,高等数学方法,主讲教师: 王升瑞,第一讲,2,唯有奋斗,最风流!,惜时如金,3,培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智，,数学使人精细。,马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用,数学，才算真正发展了。,伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书，,如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，,华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。,科学家语录,什么也看不清。,勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。,4,华罗庚 （1910 - 1985）,“聪明在于勤奋, 天才在于积累”,“学而优则用, 学而优则创”,“由薄到厚 ,由厚到薄”,注意问题：认真听课，扼要记录，多做题目，总结规律。,5,此刻打盹，你
2、将做梦，,学习时的痛苦是暂时的，,未学到的痛苦是终身的；,学习这件事，不是缺乏时间，,学习不是人生的全部，,请享受无法回避的痛苦；,哈佛图书馆的训诫,但是人生的一部分;,只有比别人更早，更勤奋的努力，,此刻学习，你将圆梦；,而是缺乏努力；,学习也无法征服，还能做什么呢？,才能尝到成功的滋味；,6,谁也不能随随便便成功，,狗一样地学习，,绅士一样地玩；,今天不走，明天要跑；,教育程度代表收入；,哈佛图书馆的训诫,没有艰辛，便无所获。,它来自彻底的自我管理和毅力；,即使现在，对手也不停地翻动书页；,7,科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的桥梁。,数学方法是数学的灵魂,高
3、等数学方法 （上）,8,参 考 书,张晓宁、李安昌：高等数学方法中国矿业大学出版社，2002.,9,目 录,第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题方法 第二讲 研究函数与极限的基本方法 第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析,10,前言,一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段),1. 科学方法的重要性,科学,是什么 , 为什么:,技术,做什么 , 怎么做:,科学方法,桥梁与钥匙。,反映自然、,社会、思维的客观规律的分科的,知识体系。,进
4、行物资资料生产所凭借的方法和能力。,11,数学,思维的体操,科学的语言,生活的需要,(思路),(表达),(应用),数学方法,对数学规律的认识,思维方法,解题方法,(是数学的灵魂),2. 数学方法的含义,12,二. “高等数学方法”的结构与学习方法,(参考前言第二、三段),第一部分 (第一至第七章),每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题,第二部分 (第八至第十一章),包括综述和提高,(从古典数学向近代数学靠拢 ),学习方法:,1. 掌握数学内容和数学方法相结合；,2. 重视分析问题和解决问题的方法；,3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养。,13,第一讲,高等数学中的分析问题和解决
5、问题方法,14,一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 ),数学模型,客观实际问题内在规律性的数学,具有形式化、符号化、简洁化的特点.,是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种解释 .,数学建模方法,实验归纳法,理论分析法 ( P514 ),物理模型,数学模型,求解和分析,结构.,许多物理中的概念都要借助于高等数学中的,数学结构才能说的清楚。,15,可无限逼近,例如 , 为什么用,及,语言定义极限 ?,用圆内接正多边形面积逼近圆面积A .,圆内接正n边形的面积为,(正整数) ,当,时,有,记作,精度要求,边数足够多,找出,利用极限知识可求出 :,16,测量圆面积,直接观测量为r
6、,间接观测量为A.,半径真值为,面积真值为,测量圆半径得,计算圆面积为,任给精度,要使,寻找精度,让,记作,17,又如 , 为什么用增量比的极限定义导数 ?,运动规律,平 均 速 度,速度函数,平 均 加速度,转动规律,平 均 角速度,电量函数,平 均 电流强度,质量分布,平均线密度,光滑曲线,割 线 斜 率,( 描述变化率问题 ),18,再如 , 椅子稳定问题 (P515P516),假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 .,建模:,设 A , C 两脚与地面的距离之和为,B , D 两脚与地面的距离之和为,不妨设,且对任意,有,证明存在,使,19,证明: 设,又,由连续函数零点定理可知
7、, 存在,使,即,又知,所以,思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?,提示：,相邻两脚之和，并旋转1800。,20,二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455),1. 简化方法 2. 直观分析法 3. 逆向分析法 4. 类比法,1. 简化方法,复杂问题,简单问题,分解法 变换法 换元法 递推法 转化法,21,单调递减。,提示: 令,则转化为讨论下述函数,在 t 0 时单调递减 .,注意,说明 1.,与,具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值,2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单,例1. 证明,问题与单调性问题 .,函数链的单调性传递得出 . 如 P445例
8、1.,22,设, 求,提示：将函数化为,则,例2.,23,2. 直观分析法, 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论., 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示., 有关几何应用画出图形找几何关系 ., 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.,24,的图形关于,例1. 设定义在实数域上的函数,直线,及,对称 , 试证,为周期,函数 . ( P.447 例4 ),直观分析:,任取一个实数,因此有,是周期为,的函数 .,它关于直线,的对称点为,而,关于直线,的对称点为,显然可猜想,25,的图形关于,例1. 设定义在实数域上的函数,直线,及,对称 , 试证,为周期,函数 . ( P.447 例4 )
9、,证:,有,26,拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,证毕,27,例2 证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数?,分析:,由图可知 , 设辅助函数,(C 为任意常数 ),都可使 F( x ) 在 a , b 上,因此所设辅助函数不唯一 .,满足罗尔定理条件 ,28,例3.如何求函数,的斜渐近线,分析:,由图可知,
10、 若曲线,有斜渐近线,则必有,从而,29,例如 , 求曲线,的斜渐近线。,解:,所以曲线有斜渐近线,30,的斜渐近线方程。,解,所求 斜渐近线方程为,2、求曲线,2005考研,31,在,上连续, 在,内,存在 , 连接两点,的直线交曲线,于,且,试证至少存在一点,使,提示:如图所示, 有,在,上应用Rolle定理。,对,（ P118 题7 ）,例4.已知,32,逆向思维,反推 执果溯因,反证 利用正命题与逆否命题等价，,反例 找反例说明原命题不正确,3. 逆向分析法,多用于否命题。,33,设函数 在 0,1 上二阶可导 , 且,证明至少存在一点 ,使,提示:,设辅助函数,在0,1上满足 Rol
11、le 定理 ,可知有, 再对 F(x) 在,从结论入手, 注意到,利用,上用 Rolle 定理.,例1.,34,在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得,提示:,转化为证,上满足 Lagrange 定理条件 ,使,则只需证明,可见只要对,上用 Cauchy 中值定理.,( P450,考研98 ),由于,在,则有,及,在,例2. 设函数,35,无实根. ( P451 例7 ),提示:,用反证法. 假设有实根,代入,上式两边异号, 矛盾, 假设不真!,利用,显然,则有,例3. 证明方程,36,高等数学方法,主讲教师:王升瑞,第二讲,37,类比是找相似性, 是发现问题和解决问题的 重要方法。,4.
12、 类比方法,38,计算极限,提示:,类比下列极限,例 1,( P453 例9),39,计算极限,提示:,类比下列极限,例 1,( P453 例9),40,练 习,(1),(2),求下列极限 :,提示：如例1类推,41,练 习,(3),求下列极限 :,( 提示 :,42,利用Lagrange 微分中值定理易推出 :,例2. 证明下列不等式 :,43,提示: 将不等式改写为,设,易证,44,提示: 设,易证,45,说明: 类似应用 Cauchy 中值定理易推出,若,则,利用此不等式可证明很多有用的不等式 . 例如,提示: 原式可为,令,易证,在 严格单调增加 .,只需证,46,在 严格单调增加 .
13、,易证,令,即,则,47,三.几种常用的证题方法,1.分析综合法,2. 设辅助函数法,3. 反证法,证明题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型,通过“执果溯因”寻找证明的途径,利用“由因导果”写出证明过程.,1. 分析综合法,48,设 为正实数,试证,提示:,为,上的上凹函数,在 上，,( P473 例12 ),例1.,满足,49,在 上可导, 且 , 证明至少存在,一点 使,提示: 方法1,因为,可考虑对函数,在区间 a , b 上用 Cauchy 中值定理 .,( P81 例10 ),例2 设,50,例2 设,一点 使,提示:,令,方法2,故可考虑对,问题等价于证明,R
14、olle 中值定理.,在 a , b 区间上用,在 上可导, 且 , 证明至少存在,即,51,利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如:,寻找辅助函数一般用逆向分析法.,通过设辅助函数, 利用微分或积分中值定理证明等式或方程零点的存在.,通过讨论辅助函数的单调性或最值,证明相关不等式.,2. 设辅助函数方法,52,例1. 设,在 上连续且可导, 并有 n 个不同的,零点,证明: 对任意常数 a ,在 上至少有,提示: 设辅助函数,n -1 个不同的零点.,53,设函数 和 在 上二阶可导, 且,提示:,只要证,且,依据乘积导数法则想到设辅助函数,(用反证法),再证明,上满足 Rol
15、le 定理条件,试证至少存在一点,使,( P475 例15,考研95 ),例 2.,即,54,例3. 设,在 上二阶可导,且,证明: 存在 使,提示: 只需证,即证:,设辅助函数,证明,在 a , b 上满足Rolle 定理 .,55,设 , 求证,提示:,方法1. 设,证明它在,单调增;,方法2. 设,证明它在,单调减。,例4.,56,3. 反证法,反证法是一种逆向分析方法,是通过否定命题的,结论 ,引导出与题设条件或已知结论矛盾的结果来证明,明原命题的正确性.,反证法多适用于直接推证时已有知识点较少或比较,困难的命题.,如果所证结论中含有,“不可能”、,“不存在”、,“至多”、,“至少”、
16、,“唯一”、,“大于” 或 “小于”,等字眼时 , 一般多考虑用反证法.,57,常用几个的初等函数公式,58,59,例1.,证明 不存在 ( 为自然数).,提示:,假设,则,矛盾,( P474 例13),60,设 在 上存在二阶导数, 且,又,试证在 内,提示:,假设存在,使,则由 R0lle 定理, 有,使,再对,在,上用 Rolle 定理, 就有,使,矛盾 !,( P474 例14),例2.,61,例3. 设函数,在 内连续 , 且,证明在 内至少有一点,满足,提示: 用反证法.,假设对于所有,都有,令,则 F(x) 在 内连续且,不变号.,若,则,即,于是,与题设矛盾 .,（几何上与x轴无交点。）,
