1、1,4 平方根法和改进的平方根法,若A对称矩阵， 则A正定等价于下列任何一个条件,2, 4.1 平方根法(Cholesky分解法）,3,4,矩阵相乘比较得计算公式,5,6,计算顺序：,7,方程求解公式：,8,9,10,11,Cholesky 分解,计算量：,算法稳定，无须选主元。,缺点：需做n次开方运算。,12, 4.2 改进的平方根法( 分解法）,13,记,14,15,方程求解公式：,16,17,18,19,例 设有方程组,=,20,解 ：,=,21,22,23,平方根和改进的平方根方法的优点：,事实上,有,24,MATLAB 函数,25,正定性,绝对齐次性,三角不等式,5 误差分析,5.1
2、 向量和矩阵的范数,（一）向量的范数,26,常用向量范数,1范数,2范数,27,两种范数等价的定义:,28,（二）矩阵的范数,则称矩阵范数与向量范数满足相容性条件,29,由向量范数诱导的矩阵范数：,定义：若,注:由向量范数诱导的矩阵范数满足此条件,30,常用矩阵范数,1范数（列范数）,2范数（谱范数）,F范数,31,注：,1.矩阵的1，2，范数是分别由向量的1，2，范数诱导出的矩阵范数；,2.所有矩阵范数都是等价的,32,33,34, 5.2 方程组的状态与条件数,例,当方程组的系数矩阵或右端项出现微小 变化（扰动），而引起解的巨大变化时 称方程组是病态的.,35,分析方程的病态是有什么因素造
3、成的？,相容性,36,37,系数矩阵A的条件数刻画了方程组Ax=b的 “病态”程度，条件数越大，“病态”越严重,方程组的病态程度只与系数矩阵有关，与右端项无关,通常称条件数大的方程组为“病态”方程组,38,常用条件数,39,条件数的性质,40,例: 求A的条件数,解：,下列情况，病态的可能性较大(1)系数矩阵行(或列)近似相关时(2)系数矩阵元素数量级差异很大(3)用选主元消去法时，主元素绝对值很小,41,42,norm(A): 求矩阵的2范数norm(A, p): 求矩阵的p范数( p=1,2,inf等)cond(A): 求矩阵用2范数表示的条件数cond(A, p): 求矩阵的p范数表示的
4、条件数( p=1,2,inf等),MATLAB 函数,43, 5.3 误差分析,44,结论：当A非病态时，残量的大小可刻划近似解的准确程度。当A病态严重时则不然。,45,46,47,注: 当A不是非常病态时，可以用下述方法改善解的精度,48,49,6 超定线性方程组的最小二乘解,称为超定方程组.,50,残向量:,51,由多元函数求极值的必要条件知，最小二乘解应满足：,52,最小二乘解应满足：,53,.,54,例 求方程组,的最小二乘解.,解,55,正则方程组,所以方程组的最小二乘解为,56,第二章 总结Gauss消去法，列主元素法 三角分解法 平方根法(Cholesky分解法) 改进的平方根法 三对角矩阵的追赶法 向量，矩阵的范数，条件数及误差分析 超定线性方程组的最小二乘解,57,Ex. P58.1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 11, 12,
