1、复变函数 与积分变换,主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月,大学数学多媒体课件,2018/10/13,2,参考用书,复变函数与积分变换, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解, 华中科大, 高等教育出版社,复变函数, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5,2018/10/13,3,目 录,第二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 解析函数的级数表示,第五章 留数及其应用,第六章 傅立叶变换,第七章 拉普拉斯变换,第一章 复数与复变函数,2018/10/13,4,第六章 傅里叶变换,2018/10
2、/13,5,第六章 傅里叶变换,6.1 傅里叶变换的概念 6.2 单位脉冲函数 6.3 傅里叶变换性质 本章小结思考题,2018/10/13,6,第一节 傅立叶变换的概念,一、周期函数展为傅立叶级数的三角式,三角形式,2018/10/13,7,2018/10/13,8,上式称为傅氏级数的复指数形式,指数形式,2018/10/13,9,2018/10/13,10,2018/10/13,11,例1,解：,2018/10/13,12,例2,解：,2018/10/13,13,二、傅立叶积分与傅立叶变换,定理1 傅立叶积分,上式(4)称为傅立叶积分公式的复指数形式,2018/10/13,14,傅立叶变换
3、,傅立叶逆变换,2018/10/13,15,2018/10/13,16,例3,解：,2018/10/13,17,2018/10/13,18,例4,解：,例5,解：,2018/10/13,19,2018/10/13,20,例6,解：,2018/10/13,21,2018/10/13,22,第二节 单位脉冲函数及其傅氏变换,一、引言,傅立叶级数与傅立叶变换以不同形式反映了周期函 数与非周期函数的频谱特性，是否可以借助某种手段将它 们统一起来？更具体的说，是否能够将离散频谱以连续频 谱的方式表现出来？这就需要引入下面将要介绍的单位脉 冲函数与广义傅立叶变换在工程实际中，有许多物理现 象具有一种脉冲特
4、征，它们仅在某一瞬间或某一点出发， 在物理学中常常有质点、点电荷、瞬时力等抽象模型如： 瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等等，这些物理量都 不能用通常的函数形式去描述，为了描述这一类抽象的概 念我们介绍单位脉冲函数,2018/10/13,23,这就表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示 上述电路的电流强度，为了确定电流强度，我们引入一个新函数，称 为单位脉冲函数，,2018/10/13,24,二、单位脉冲函数的概念及其性质,1.定义,2018/10/13,25,性质1（函数的筛选性质）,证明：,2018/10/13,26,性质2,性质3,2018/10/13,27,三、单位脉冲函
5、数的傅氏变换,2018/10/13,28,例1,解：,2018/10/13,29,例2,证明：,2018/10/13,30,例3,解：,在这个例子中显示，在广义傅氏变换意义下，周期函数也可 以进行傅氏变换，其频谱仍然是离散的，这一点与傅氏级数展开 是一致的所不同的是，这里用冲激强度来表示各频率分量的幅 值的相对大小,2018/10/13,31,定理（对一般的周期函数 ）,证明：,2018/10/13,32,例4,解：,由单位阶跃函数的傅氏积分表达式:,2018/10/13,33,例5,解：,2018/10/13,34,重要公式,2018/10/13,35,第三节 傅立叶变换的性质,一、基本性质
6、,2018/10/13,36,证明：,2018/10/13,37,说明当一个函数（或信号）沿时间轴移动,后，它的各频率成分的大小不发生改变，但是相位发生了变化；,被用来进行频谱搬移，这一技术在通信,系统中得到了广泛的应用,例1,解：,2018/10/13,38,例2,解：,2018/10/13,39,证明：,2018/10/13,40,例3,解：,2018/10/13,41,证明：,2018/10/13,42,推论：,证明：,2018/10/13,43,证明：,2018/10/13,44,例4,解：,方程两边取傅氏变换，得：,求上述傅氏逆变换，可以得到：,运用傅氏变换的线性性质，微分性质及其积
7、分性质可以把 线性常系数微分积分方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换， 可以得到此微分积分方程的解,2018/10/13,45,这一等式称为帕赛瓦尔（Parseval）等式,证明：,2018/10/13,46,例5,解：,由于被积函数是偶函数，所以又有,2018/10/13,47,例6,解：,2018/10/13,48,二、卷积与卷积定理,本节介绍傅氏变换的另一类重要性质：卷积与卷积定理,1.卷积的概念,2018/10/13,49,2卷积的性质,（1）交换律,证明：,（2）结合律,（3）分配律,证明：,2018/10/13,50,例1,解：,2018/10/13,51,例2,解：,讨论：,201
8、8/10/13,52,例3,解：,2018/10/13,53,2卷积定理,证明：,(1)由卷积定义,（位移性质）,2018/10/13,54,(2)由卷积定义,推论：,利用卷积定理可以简化卷积的计算及某些函数的傅氏变换,2018/10/13,55,例4,解：,由前面讨论知:,由卷积定理有:,2018/10/13,56,例5,解：,利用傅氏变换性质和卷积定理求傅氏变换,2018/10/13,57,例6,解：,由位移性质得:,所以由象函数的位移性质得:,所以由象函数的微分性质:,2018/10/13,58,例7,解：,根据卷积定理：,由位移性质：,由卷积定理：,2018/10/13,59,例8,证明：,由卷积定理：,2018/10/13,60,三、综合举例,例1,证明：,据题意，有,2018/10/13,61,2018/10/13,62,例2,证明：,2018/10/13,63,例3,证明：,2018/10/13,64,例4,解：,2018/10/13,65,又有已知条件，有,
