1、1,第二章 无套利定价原理,河北经贸大学金融学院李吉栋,2,2.1 什么是套利,一、商品贸易中的“套利”行为 例如：某贸易公司：从生产商处买入铜，再以更高的价格卖给需要铜的厂家，从中赚取差价，这是一种正常的贸易行为。如果他可以同时与生产商和需求商签订合同，例如以15000元/吨的价格买进，以17500元/吨的价格卖出，从中赚取2500元/吨的差价。第一种情况下，该公司承担一定的风险，在第二种情况下，不承担风险。,3,2.1 什么是套利（续）,商业贸易中套利的困难信息成本（寻找合适的买家比较困难、商品的品质和等级不统一）空间成本（商品的运输、存储成本高）时间成本（利息费用，存储期间价格下降的风险
2、）税收,4,二、金融市场中的套利行为 案例：ETF套利 ETF：交易型开放式指数基金,ETF市值 ETF净值,二级市场买入一篮子股票,ETF基金申购,二级市场卖出ETF基金,2.1 什么是套利（续）,5,金融市场中套利更加便利 金融产品的标准化，交易的集中化和电子化使买卖双方的信息成本大幅度降低（交易的流动性增强）金融产品的无形化（一纸合约）基本消除了空间成本卖空机制使无风险套利更加容易（在商品贸易中只能先买后卖，卖空机制可以实现先卖后买；卖空机制与金融衍生品的结合使套利风险大大降低）金融产品在时间和空间上的多样化增加了套利机会,2.1 什么是套利（续）,6,金融市场的独特性使套利成为金融市场
3、的一种重要行为套利是指一种能产生无风险收益的交易策略。在实际的套利中，纯粹的无风险套利很少，大部分情况是一种风险套利，但相对于其盈利来说风险较小,2.1 什么是套利（续）,7,2.2什么是无套利定价原理,一、金融资产的三种定价方法 基于现金流贴现的估价方法 (绝对估值)基本思想：是资产当前的价值应该由其未来现金流的贴现值所决定 代表性成果：红利贴现模型；盈余贴现模型 缺点：未来现金流的估计和折现率的估计有很大的主观成分,8,基于风险/收益的定价方法(相对估值)基本思想：资产的收益与风险成正比；资产的系统风险可以得到收益补偿，非系统性风险可以分散化 提出者： Markovitz(1952)；Sh
4、arpe（1964）、Litner（1965）和Mossin（1966）；Ross(1976)；Fama and French, 1992-2002 代表性成果：现代资产组合理论；CAPM模型；APT模型；三因子模型 缺点：是一种相对估值方法；风险因子的确定没有达成共识；风险因子具有时变性，估计较为困难,2.2什么是无套利定价原理（续）,9,基于无套利均衡的定价方法 基本思想：以无套利均衡定义市场均衡；利用资产之间的复制关系进行定价，即市场达到均衡时，可以相互复制的资产和资产组合具有相同的价值 提出者：Black and Scholes（1973）；Merton等 代表性成果：Black-Sc
5、holes期权定价公式；期权二项式定价方法等,2.2什么是无套利定价原理（续）,10,二、无套利定价原理的含义及存在的条件金融市场上的套利非常方便和快捷，使得套利机会一旦出现，马上会导致投资者竞相套利，套利机会很快消失，无套利均衡重新建立因此无套利均衡可以被用于金融资产的定价无套利定价原理：金融资产的合理价格是市场达到无套利均衡时的价格我们可以通过资产之间的复制关系来构造套利组合，当市场达到均衡时套利组合的收益为0,2.2什么是无套利定价原理（续）,11,无风险套利机会存在的条件（市场非均衡状态的描述）存在两个资产组合，他们的未来收益（现金流）相同，但它们的成本（价格）不同存在两个相同成本（价
6、格）的组合，但第一个组合在所有状态下的收益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的收益大于第二个组合一个组合的构建成本为0，但在所有状态下这个组合的收益都不小于0，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的收益大于0,2.2什么是无套利定价原理（续）,12,例如：股票价格为32元，无风险利率为10，一年后到期的执行价格为33元的看涨期权和看跌期权的价格分别是3元和2元，判断是否存在套利机会，如果有套利机会，构造套利组合。 期初现金流 期末现金流 组合1 ST33 ST15.44 ST4.62,14,无套利均衡（市场均衡状态的描述）的三个等价性推论同损益同价格：如果两种证
7、券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益与某一个证券相同，则这个资产组合的价格与这个证券价格相等。这个组合称为该证券的“复制组合”动态组合复制定价：如果一个自融资交易策略的最终收益与某一个证券相同，则该证券的价格等于自融资交易策略的成本。自融资交易策略：资产组合的价值变化完全取决于交易的盈亏；持有期间没有资金的流入与流出；组合中的证券调整的资金全部来源于组合自身的收益或损失。（例如投资1万元购买股票，期间不增加投资，也不取出资金）,2.2什么是无套利定价原理（续）,15,三、确定状态下无套利定价原理的应用 1同损益同价格例2-2：假设两个零息票债券A
8、和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,2.2什么是无套利定价原理（续）,16,根据无套利定价原理，两个证券损益相同，损益B的合理价格是98元如果B的价格为97.5元，市场存在套利机会，投资者可以卖出证券A并买入证券B并持有到期，可以实现0.5元的无风险收益。,2.2什么是无套利定价原理（续）,17,2静态组合复制定价例2-3：假设3种零息
9、票的债券面值都为100元，它们的当前市场价格分别为： （1）1年后到期的零息票债券的当前价格为98元； （2）2年后到期的零息票债券的当前价格为96元； （3）3年后到期的零息票债券的当前价格为93元；并假设不考虑交易成本和违约。 问题：（1）息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格应该为多少？ （2）息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,2.2什么是无套利定价原理（续）,18,我们考虑如何用三个零息票债券复制债券A,10,10,110,2.2什么是无套利定价原理（续）,19,复制策略：（1）购买0.
10、1张1年后到期的零息票债券 1年后的现金流为10元； 0.198=9.8（2）购买0.1张2年后到期的零息票债券， 2年后的现金流为10元； 0.196=9.6（3）购买1.1张2年后到期的零息票债券， 3年后的现金流为110元。 1.193=102.3 =121.7债券A的价格应该等于该复制组合的价格如果债券A的市场价格为120，则存在套利机会，应该卖出复制组合，买进债券A，可实现1.7元的收益。,2.2什么是无套利定价原理（续）,20,3动态组合复制定价例2-4：假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元。从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元（远期价格）。并且假设
11、不考虑交易成本和违约情况。成本和违约情况。 问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？ （2）如果现在开始2年后到期的零息票债券的价格为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？如果债券价格为95元，应该如何套利？,2.2什么是无套利定价原理（续）,21,三个债券的损益图：,100,Z01,价格：98元,100,Z12,价格：98元,100,Z02,价格：?元,2.2什么是无套利定价原理（续）,22,我们考虑一个复制债券Z02的自融资策略：(1)当前购买0.98份的债券Z01，持有到期可以获得98元的现金(2)在1年末用出售债券Z01得到的98元购买1份债券Z12，持有到
12、期可以获得100元现金,2.2什么是无套利定价原理（续）,23,如果债券Z02的价格为97元，存在套利机会，套利策略是买进自融资策略组合，卖出债券Z02,2.2什么是无套利定价原理（续）,24,如果债券Z02的价格为95元，存在套利机会，套利策略是卖出自融资策略组合，买进债券Z02,2.2什么是无套利定价原理（续）,25,4.存在交易成本时的无套利定价原理当存在交易成本时，上面的无套利定价原理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，所构造的套利策略不一定能盈利。无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个价格上限和下限。,2.2什么是无套利定价原理（续）,26,例2-
13、5：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得元100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元。 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？,2.2什么是无套利定价原理（续）,27,例题分析：在没有交易成本，B的合理价格为98元。不管大于或小于98元，都存在套利机会。如果存在卖空和出售债券费用，在价格不等于98时，不一定存在套利机会。
14、比如，债券B的当前价格为97.5元，按照前面的套利思路为：卖空债券A，获得98-1=97元，不够用于买进债券B（97.5元）；因此，在卖空和出售债券需要1元费用情况下，债券B的无套利价格区间为：97, 99。当债券B低于下限97元时，可以通过卖空债券A，买进债券B赢利；当债券B高于上限99元时，可以通过卖空债券B，买进债券A赢利。债券B的当前价格是97.5元，落在无套利区间内，将无法使用套利策略获得盈利。,2.2什么是无套利定价原理（续）,28,进一步讨论：尽管债券B价格落在97，99区间内时，无法通过套利使其价格回到98元的合理位置上，但实际上这两个债券的价格会趋向一致（为什么）我们上述的套
15、利没有用到出售债券也要支付1元费用的条件。（为什么）如果没有这一条件,我们考虑一个已经持有债券A的投资者，如果债券B的价格为97.5元，他会卖出债券A，买进债券B，实现0.5元的利润，我们的分析就得不到一致的结果。在上例中,如果卖空债券的成本为1元,出售一个债券的成本为0.5元,无套利均衡价格是多少?,2.2什么是无套利定价原理（续）,29,例2-6：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。不考虑违约情况。假设卖空1份债券需要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份债券需要0.5元费用。如果债
16、券A的当前价格为98元。 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ 的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？例题分析： 任何一个套利交易策略都要涉及买卖两个交易，总的交易成本为1.5元，所以债券B的无套利区间为96.5，99.5,2.2什么是无套利定价原理（续）,30,四、不确定状态下无套利定价原理的应用1同损益同价格例2-7：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场价格会出现两种可能的状态：在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为：在状态1时上升至105，在状
17、态2时下跌至95元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）证券B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为99元，是否存在套利？例题分析：在两种可能的状态下A和B的收益都相同，所以A与B应具有相同的价格,2.2什么是无套利定价原理（续）,31,2、静态组合复制定价例：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场有两种状态，在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为：状态1时上升至120元，状态2时下跌至110元。另外，假设借贷资金的年利率为0，不考虑交易成本。 问题：（1）证券B的合理价格为多少呢？ （2）如果证券
18、B的现在价格为110元，是否存在套利机会？如果有，如何套利？,2.2什么是无套利定价原理（续）,32,例题分析：,PA=100,A1=105,A2=95,PB=？,B1=120,B2=110,1,1,1,为了对证券B进行定价，我们用证券A和无风险资产构造一个与证券B具有相同损益的组合,PA=100,A1=105,A2=95,PB=？,B1=120,B2=110,1,1,1,x=?,y=?,+,=,1,2.2什么是无套利定价原理（续）,33,解得： 所以证券B的价格为：,2.2什么是无套利定价原理（续）,34,如果证券B的价格为110元，则存在套利机会，套利策略是买进证券B，卖出复制组合,2.2
19、什么是无套利定价原理（续）,35,假设黄金现货价格为800美元/盎司，美元利率为4，6个月后到期的期货合约的合理价格应该是多少？如果期货价格为820美元/盎司，是否存在套利机会，如何套利。（忽略所有的交易成本，包括期货交易的保证金） 利用期货合约和现货的相反头寸可以复制一个无风险资产组合，交易策略如下：,2.2什么是无套利定价原理（续）,36,如果市场达到无套利均衡，两种套利策略都不能获得收益，所以期货合约的合理价格为816元,2.2什么是无套利定价原理（续）,37,如果期货价格为820元，存在套利机会，应按照策略1进行套利交易,2.2什么是无套利定价原理（续）,38,静态组合复制定价（期权定
20、价）股票A的当前价格为10元，一年后的价格有两种可能，12元或9元。无风险利率为5%，行权价格为10元的欧式看涨期权的合理价格是多少？,S0=10,S1=12,S2=9,C0=？,C1=2,C2=0,B0=1,B1=1.05,B2=1.05,股票A：h,看涨期权：-1,无风险资产组合：N,2.2什么是无套利定价原理（续）,39,期权的合理价格为：,2.2什么是无套利定价原理（续）,40,在本题中，也可以考虑用股票和无风险资产复制一个期权,S0=10,S1=12,S2=9,h0.667,B0=1,B1=1.05,B2=1.05,N-5.71,+,C0=？,C1=2,C2=0,1,2.2什么是无套
21、利定价原理（续）,41,3、动态组合复制定价设证券A当前价格为100元。证券市场未来有三种状态，证券A在三种状态下的价格分别是144元、108元和81元，证券B在未来三种状态下的价格为128元、110元和101元。设无风险利率为0。 问题（1）证券B的合理价格为多少？ （2）如果证券B的价格为110元，是否存在套利机会？如何套利、如果B的价格为105元，如何套利。,2.2什么是无套利定价原理（续）,42,如果利用静态组合复制的方法，我们假设用x单位的证券A和y单位的无风险资产复制证券B，则可列出如下方程组：,PA=100,A1=144,A2=108,A2=81,PB=？,B1=128,B2=1
22、10,B2=101,1,1,1,1,(1),(2),(3),解（1）和（2）得：x=0.5, y=56,解（2）和（3）得：x=1/3, y=74,2.2什么是无套利定价原理（续）,43,如果利用静态组合复制的方法，我们假设用x单位的证券A和y单位的无风险资产复制证券B，则可列出如下方程组：,PA=100,A1=144,A2=108,A2=81,PB=？,B1=128,B2=110,B2=101,1,1,1,1,(1),(2),(3),解（1）和（2）得：x=0.5, y=56,解（2）和（3）得：x=1/3, y=74,2.2什么是无套利定价原理（续）,44,我们考虑用动态复制的方法，将证券
23、持有周期分成两部分，三种证券的收益如下：,A：,PB,PB1,PB2,128,110,101,100,120,90,144,108,81,B：,无风险资产：,1,1,1,1,1,1,2.2什么是无套利定价原理（续）,45,复制策略的确定用倒推法：,（1）在t=0.5时刻：,当PA120时：,当PA90时：,2.2什么是无套利定价原理（续）,46,（2）在t=0时刻：,2.2什么是无套利定价原理（续）,47,动态复制策略为：,在t=0时刻：,0.4：A,68：无风险资产,1个B,在t=0.5时刻，若PA120,在t=0.5时刻，若PA90,0.4：A,68：无风险资产,1/3：A,74：无风险资
24、产,卖出1 /15（6元）,存款增加6元,2.2什么是无套利定价原理（续）,48,若PB110元，存在套利机会，套利策略为：,持有证券B空头,持有动态复制策略多头,2.2什么是无套利定价原理（续）,49,若PB105元，存在套利机会，套利策略为：,持有证券B多头,持有动态复制策略空头,2.2什么是无套利定价原理（续）,50,例：执行价格为11元欧式看涨期权的定价问题：,股票,C0,C1+,0,3.4,0,0,10,12,9,14.4,10.8,8.1,期权,无风险资产：,1,1,1,1,1,1,2.2什么是无套利定价原理（续）,51,在t=0.5时刻：,当PA120时：,在t=0时刻：,2.2
25、什么是无套利定价原理（续）,52,复制策略：,在t=0时刻：,17/45：股票,-17/5：无风险资产,1个看涨期权,在t=0.5时刻，若S12,17/45：股票,-17/5：无风险资产,36/34：股票,-10.2：无风险资产,买入17/30股票（6.8元）,无风险资产减少6.8,在t=0.5时刻，若S9,17/45：股票,-17/5：无风险资产,0：股票,0：无风险资产,卖出17 /45（3.4元）,无风险资产增加3.4,2.2什么是无套利定价原理（续）,53,2.3 无套利定价原理的一般理论,2.3.1 无套利定价的Arrow-Debreu模型,54,1.市场环境假设,市场上有N个证券：
26、S1,S2,SN。我们考虑两个时刻：开始时刻0和最后时刻1。投资者在0时刻构造包含N个证券的组合，在1时刻获得N个证券组合的收益。假设市场是没有摩擦的市场，允许卖空投资者可以持有任意证券或证券组合的多头或空头市场上第i个证券在0时刻的价格为pi，N个证券的价格组成价格向量：,55,未来时刻有M个状态，第i个证券在第j个状态下的收益为dij，则这N个证券的收益矩阵为：,M个状态,N个证券,56,证券组合向量 ，其中 表示持有第i个证券的数量， 表示多头头寸， 表示空头头寸 证券组合在初始时刻的投资为：组合在1时刻的收益为 ，是一个M维行向量，每个元素 对应第j个状态下的收益：,57,2.套利组合
27、,套利组合满足如下条件：,对于所有的状态,至少存在一个状态,或满足：,对于所有的状态,58,3.无套利均衡等价定理,定理1：市场不存在套利机会的等价条件是：存在一个正向量 ，使得 。即对于其中每一个证券：,59,2.3.2 Arrow-Debreu模型的经济涵义,1.纯证券纯证券是指在某一个状态下的收益为1，在其他状态下的收益为0的证券。如果构造分别对应着M个状态的M个纯证券，则任意一个证券的收益支付都可以由这M个纯证券的线性组合表示。,60,如例题2-8：,我们可以用A和F构造如下两个证券： E1（1 0） E2（0 1）,2.3.2 Arrow-Debreu模型的经济涵义,61,设E1为构
28、造证券E1的策略， E1（ 1A 1F）,设E2为构造证券E2的策略， E2（ 2A 2F）,62,2.状态价格,纯证券的当前价格等于状态价格在前面的例题中，根据纯证券的复制策略，可以计算两个纯证券的均衡价格,63,所以，由证券A和无风险资产确定的状态价格向量为：,证券B在未来两个状态下的收益分布为120和110，因此可以计算出证券B的合理价格为：,64,3.风险中性概率,下面我们建立状态价格与风险中性概率测度的关系考虑一个无风险资产，当前价格为1，无风险利率为5，则未来收益为：（1.05 1.05 1.05）,65,考虑贴现关系，设M个状态发生的概率为：,因此状态价格与概率之间存在如下关系：
29、,3.风险中性概率,66,由于市场不存在交易成本，由N个证券中的至少M个证券（NM）可以复制无风险资产组合所有风险厌恶的理性投资者的投资组合都应该是经过风险对冲的无风险组合，因此所有投资者所要求的风险溢价为0因此我们可以假设所有投资者都是风险中性的任何证券的估值贴现率都是无风险利率由于状态价格与风险中性概率测度是一一对应的，因此有以下推论：如果市场不存在套利机会，而且假设无风险利率为r，则存在风险中性测度，使得任意一个资产的价格等于其未来可能损益的期望值以无风险利率贴现的贴现值。上述推论可以用于风险证券（如期权）的定价,3.风险中性概率,67,q,1-q,风险中性概率用于解决期权定价问题：某看
30、涨期权的标的资产当前价格为10，未来有两种状态，12或9，无风险利率为5，期权执行价格为10。求期权价格应该是多少？,S0=10,S1=12,S2=9,C0=？,C1=2,C2=0,3.风险中性概率,68,4.完全市场与非完全市场,定义：一个具有N种证券，M种状态的市场，如果对于任意一个未来损益向量 ，都存在一个N种证券的组合 ，其未来损益等于 ，则我们称市场是完全的。,69,市场完全性的定义要求如下的线性方程存在解：,即：,对于所有的j，1 j M,根据线性代数知识，对于任意一个未来损益向量d，上述方程有解的条件是未来损益矩阵D的秩等于M，即矩阵D的M个列向量可以生成整个空间RM。,4.完全
31、市场与非完全市场,70,定理2：在市场不存在套利组合的假设下，市场是完全的充要条件是存在唯一的状态价格和风险中性概率,4.完全市场与非完全市场,71,例：市场上有两个证券，A和B，它们的当前价格和未来的收益如下： (1)由A和B构成的市场中，无风险收益率是多少? (2)两个状态的状态价格和风险中性概率是多少? (3)如果证券C在两个状态的收益分别是30和20 ，它的价格应该是多少?,100,120,90,10,15,5,PC,30,20,证券A,证券B,证券C,72,解:(1)设策略=(A B) 可以复制当前价格为1的无风险资产,则:,所以无风险资产的期末收益为:,因此无风险资产的收益率为1/14,73,(2)设两个状态的状态价格分别为：1和2，风险中性概率为q1和q2,74,(3)证券C的合理价格:,
