1、控制工程基础 总复习,第二章 控制系统的数学模型2-2. 拉氏变换和反变换复数的概念和运算一 复数的概念定义虚数则,二 复数的表示方法直角坐标表示法：向量表示:模： 辐角： （逆时针为正）三角表示 指数表示：,复数运算法则 1 复数的加减法,2 复数的乘法a 复数的直角坐标表示法b 复数的指数表示法,2 复数的除法a 复数的直角坐标表示法,b 复数的指数表示法,二拉氏变换概念拉氏变换定义 ：拉氏变换存在的条件当 ta 半平面内 f(t) 的拉氏变换一定存在，且复变函数 F(s) 为解析函 数。,三拉氏变换性质线性定理：延迟定理：位移定理：,微分定理：设函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s)，
2、则零初始条件： 当 t = 0 时，,积分定理：设函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s)，则其中，,初值定理： 设函数 f (t) 及其一阶导数 均为可拉氏变换的，则 f (t) 的初值为终值定理：设函数 f (t) 及其一阶导数 均为可拉氏变换的，则 f (t) 的终值为,四拉氏反变换(一) 拉氏反变换的定义：已知函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，求 f (t) 的拉氏反变换，记为定义为 式中，r 为大于 F(s) 的所有奇异点实部的实常数。奇异点 F(s) 在该点不解析，即 F(s) 在该点及其邻域不处处可导。称 F(s) 为 f (t) 的象函数， f (t) 为 F(s)
3、的原函数。,简单函数的拉氏反变换查拉氏变换对照表考试时,要求同学背熟教材第 20 页上拉氏变换对照表中的 18 项。复杂的采用部分分式展开法。 部分分式展开法：设式中 n m。若 s1、s2、s3、sn 是 A(s) 的 n 个根，则,复杂的采用部分分式展开法。 一 A(s) = 0 无重根 ，其中 p 个实根，2 q 个复根( p + 2q = n )1 求系数 ki,2 确定系数 ki1 、 ki2 ：方法一： 方法二： 采用通分后，比较同类项的系数，列出方程组，求解各个系数。,例：求 的原函数。解：设将上式右边通分，比较上式两边分子，应有,二 A(s) = 0 有重根 ( 设有 个重根
4、s = s1 )系数确定：k2、k3kn- 同一。 为求k11、k12k1，在上式两边同乘以 ，,为求 k11 ，令式 (10) 中 s = s1 ，则为求 k1i ，,3. 传递函数的概念及基本环节的传递函数一传递函数的概念定义：当初始条件为零时，输出量 y(t) 的拉氏变换 Y(s) 与输入量 x(t) 的拉氏变换 X(s) 之比。即,二基本环节的传递函数典型的基本环节：比例环节 积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延时环节,4. 系统框图及其简化二系统构成方式及运算法则1 串联连接,2 并联连接,3 反馈连接 闭环传递函数,第三章 控制系统的时间响应分析1. 时间响应
5、及其典型输入信号一 时间响应的概念瞬态响应 ：系统在某一输入信号作用下，输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时,系统的输出。,二 典型实验输入信号2 典型实验信号单位阶跃信号单位斜坡信号,单位加速度信号 单位脉冲信号,正弦信号,瞬态响应指标1 单位阶跃输入瞬态响应时的性能指标延迟时间 td ：第一次达到稳定态的一半所需的时间。上升时间tr ：第一次达到稳定态所需的时间（输出产生振荡时）或从稳定态的 10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）。峰值时间 tp ：达到超调量的第一个峰值所需的时间。最大超调量 Mp ：超出稳态值(一般为1)的最大偏离量 Mp ;或%
6、 ：采用百分比表示：调整时间 ts ：第一次达到并保持在允许误差范围(一般为稳态值的=5%或 =2%)内所需的时间。,2. 一阶系统的时间响应一 一阶系统的数学模型,五 线性定常系统的重要特征对线性定常系统来说，对输入信号积分（或导数）的响应，就等于系统 对输入信号响应的积分（或导数），积分常数由零输出初始条件确定。,3. 二阶系统的时间响应一 二阶系统的数学模型,1 二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入信号：二阶系统的传递函数二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换,1. =1 ，临界阻尼情况：无超调，无振荡。 2. 1 ，过阻尼情况 :无超调，无振荡。,3. 01时 ，欠阻尼情况：无阻尼自然频率 n
7、 阻尼自然频率,振荡频率为阻尼自然频率d；振幅为指数衰减，由系统参数n、决定。随着的减小，调整时间 ts 变短，但振荡变严重。一般阻尼比= 0.40.8 。,4.二阶系统的瞬态响应指标一 欠阻尼状态时的瞬态响应指标1 上升时间 tr ：第一次达到稳定态所需的时间。,2 峰值时间 tp : 达到超调量的第一个峰值所需的时间。故 tp 为阻尼振荡周期的 Td 一半，它的变化趋势与上升时间相同。,3 最大超调量 Mp ：超出稳态值（一般为1）的最大偏离量 Mp 。,4 调整时间 ts 当允许误差范围为2% 时当允许误差范围为5% 时 n，ts，ts,二 结论二阶系统的瞬态指标由和n共同决定。 增大无
8、阻尼自然频率n，可提高系统的快速响应性能，而不会改变超调量。增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，使系统的相对稳定性增加，但会使系统的快速性变差。当允许误差范围为 0.02 0.05 时调整时间在=0.7 左右时最小，故称为最佳阻尼比。一般，综合考虑系统的稳定性和快速性能，选择在= 0.40.8 的范围 内。,第四章 控制系统的频率特性分析1. 频率特性的基本概念频率特性（频率响应） 控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应。稳态正弦响应 系统稳定状态时，输出量的振幅和相位随输入正弦信号的频率变化的规律。输入信号：输出信号：频率特性：,G(j)是一复数，可将其分解为实部和虚部，并
9、在复平面s中用矢量表示，如图。实频特性虚频特性幅频特性相频特性,2. 频率特性的表示法及基本环节的频率特性一 频率特性的表示法1 幅相频率特性图又称奈魁斯特(Nyquist)图，简称奈氏图极坐标系。频率特性 G(j) 是一个复数，是的函数。当=0，G(j) 在复平面上的轨迹，就是奈魁斯特图。,2 对数频率特性图（伯德图，Bode 图)设系统的频率特性为对数幅频特性L() 的单位是分贝(dB)。对数相频特性,分贝 若数N1、N2满足则称， N2N1 ，且两者相差 1 dB。对数频率特性图 由对数幅频特性图和相频特性图两张图组成，统称为频率特性的对数坐标图；对数幅频特性图纵坐标的单位是“分贝”，而
10、相频特性图纵坐标的单位是“度”； 十倍频程 在横坐标轴上取两点1、2，若即,1、2在横坐标轴上的距离为一个单位长度，称为一个“十倍频程”， 以dec表示 。,二 基本环节的频率特性比例环节a 奈氏图,伯德图,2 积分环节 传递函数 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性,积分环节的伯德图对数幅频特性通过(1,0) 点、斜率为 -20 dB/dec 的直线。对数相频特性,积分环节的伯德图,3 微分环节 传递函数 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性,b 伯德图对数幅频曲线L()是通过(1,0)点，且斜率为 +20 dB/dec 的直线 。相频曲线,微分环节的伯德图,4 惯性环节传递函数频率
11、特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性,a 奈氏图 惯性环节的奈氏图是一个圆心在 (0.5 , j0) 半径为 0.5 的圆。,b 伯德图对数幅频特性 低频渐近线惯性环节在低频段的渐近线是一条零分贝线。高频渐进线惯性环节的高频渐近线是斜率为 -20dB/dec ，通过点 的直线。转角频率相频特性,惯性环节的伯德图,一阶微分环节 传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性,a 奈氏图,b 伯德图对数幅频特性低频渐近线：高频渐进线：一阶微分环节的高频渐近线是斜率为 20dB/dec ,通过点 的直线。转角频率 。 对数相频特性,一阶微分环节的伯德图,振荡环节 传递函数频率特性,实频特性虚频特性
12、幅频特性相频特性,振荡环节的奈氏图,b 谐振频率与谐振峰值在阻尼比 较小时，振荡环节的幅频特性|G(j)|有极大值，称为谐振峰 值Mr。产生谐振峰值的频率，称为谐振频率r。谐振频率r谐振峰值Mr,d 伯德图对数幅频特性 低频渐近线：振荡环节的低频渐近线是一条“零分贝”线。高频渐进线：振荡环节的高频渐近线是一条斜率为40 dB/dec ，且通过 点的直 线。相频特性,伯德图,二阶微分环节传递函数频率特性 实频特性虚频特性幅频特性相频特性,二阶微分环节的奈魁斯特图,伯德图对数幅频特性 低频渐近线：二阶微分环节的低频渐近线也是一条“零分贝”线高频渐进线：二阶微分环节的高频渐近线是一条斜率为 40 d
13、B/dec ，通过 点的直线。 转角频率:相频特性,伯德图,8 延时环节 传递函数频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性,b 伯德图 对数幅频特性对数相频特性,绘制奈氏图：1 由 绘制奈氏图2 由 绘制奈氏图,三 绘制伯德图 的步骤将传递函数转化为由典型环节组成的形式（串联） 列出各环节的转角频率，从小到大排列 画出各个环节的对数幅频特性曲线（或渐近线） 画出各个环节的相频特性曲线 修正渐近线（一般0.380.71之间时可不进行修正），得精确曲线对数幅频特性曲线为各典型环节的幅频特性曲线的叠加 相频特性曲线为各典型环节的相频特性曲线的叠加,第五章 控制系统的稳定性分析1. 控制系统稳定性的基
14、本概念一 稳定性的定义稳定性定义： 系统在一定的干扰作用下，偏离了稳定的平衡状态，在干扰消除后，能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态的能力。稳定性是系统固有的特性。 大范围内稳定 不论系统的外界扰动信号的幅值多大，系统都能保持稳定； 小范围内稳定 只有在初始偏差信号小于某一定值时，系统才能保持稳定。,二 判别线性系统稳定性的基本准则 设系统的特征方程为则该系统是稳定系统的充分必要条件是：系统的特征方程的 n 个根全部落在复平面的左半部。三 如何寻找系统的特征方程设系统的传递函数为只需令系统传递函数的分母多项式A(s)为零，即可得到系统的特征方程,2. 控制系统的稳定判据一 代数稳定判据罗斯(Ro
15、uth)稳定判据 二 几何稳定判据 奈魁斯特稳定判据,一 代数稳定判据通过对特征方程的系数进行分析，来判断系统的稳定性的方法。1 必要条件：ai 0 ，2 充分条件 ：罗斯稳定判据,罗斯(Routh)稳定判据列罗斯计算表设系统的特征方程为,罗斯稳定判据的充分条件：罗斯计算表的第一列各元素的符号全为正，则说明无正实部的根， 系统稳定。否则系统不稳定，第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数 目。两种特殊情况： 第一列出现零的情况时，用一个小的正数代替0进行计算后，再令 0+，求其极限，从而判别第一列系数的符号。如出现一行全零时，则用上一行的系数组成一个辅助方程，对方程求导 后得到的系数代替原为零
16、的各项，再继续。解辅助方程得的根即为特征方程根 的一部分 。,二 几何稳定判据一 奈魁斯特稳定判据当在s平面上，从 变化到 + 时，在 GH 平面所的奈氏曲线逆时 针围 (1，j0) 点的圈数为 N = PR ZR 其中，PR 为开环右极点个数，ZR 为闭环右极点的个数。,四 奈氏判据的用法求出开环特征方程的根，确定落在复平面右半部的根的个数 PR ； 由开环传递函数 G(s)H(s) 求出开环频率特性 G(j)H(j) ； 画出当 从 时，开环频率特性 G(j)H(j) 的轨迹； 根据开环频率特性 G(j)H(j) 的轨迹，求出轨迹包围点 (-1 , j0) 的圈数 N； 求出 特征函数 F
17、(s) 的右零点数 ZR ZR = PR N 判别闭环系统的稳定性：若 ZR = 0 ，闭环系统稳定；若 ZR 0 ，闭环系统不稳定。,几个问题： 奈氏曲线= 0，仅画了整个曲线的一半，所以或 2N = PR ZR ZR = PR 2N2. “穿越”的概念：所谓“穿越”是指奈氏开环曲线穿过 (1, j0) 点左侧的实轴。“正穿越”与“负穿越” ： 若由上向下穿越时为正穿越，正穿越的次数记为 N+; 反之，由下向上穿越为负穿越，负穿越的次数记为 N- 。 N = N+ N穿越的计数方法： 穿越一次，则穿越次为； 若曲线始于或止于 (1, j0) 点左侧的实轴上时，则穿越次数为 。,3. 当有开环
18、极点落在虚轴（或原点）上时，奈氏曲线不封闭，所以需作辅助圆这样，s = j沿虚轴从 移动的过程由三段组成： s = j 沿虚轴从 0 ； s = j 沿半径为无穷小的半圆，从 0 0+ ； s = j 沿虚轴从 0+ + ；设系统中有个积分环节 ，则 s = j的路径的转角从 90逆时针转到 +90时，G(s)H(s) 的路径 的转角从(+90)顺时针转到(90)。,4. 开环稳定和闭环稳定根据奈氏判据， N = PR ZR 若 ZR = 0，则闭环系统稳定。PR 是特征函数F(s)的右极点数，也是开环传递函数的特征方程的落在复 平面右半部的根的个数。PR = 0，开环系统稳定； PR0，开环
19、系统不稳定。若 PR=0，即开环系统稳定，则当 N = 0 时，ZR = 0 ，闭环系统稳定；若 PR0，即开环系统不稳定，则当 N = PR 时，ZR = 0，闭环系统稳定；,第六章 控制系统的误差分析和计算1. 误差与稳态误差的基本概念一 误差控制系统的误差 er(t) 定义为期望输出 cr(t) 与实际输出 c(t) 之差，即对上式两边作拉氏变换，控制系统的偏差 e(t) 定义为输入 rr(t) 与主反馈 b(t) 之差，即对上式两边作拉氏变换，,误差与偏差的关系二 稳态误差稳态误差 误差信号的稳态分量。利用拉氏变换的终值定理，稳态误差包括：给定稳态误差ess 在给定输入信号作用下产生的稳态误差；扰动稳态误差essd 在扰动信号作用小引起的稳态误差；,三 给定稳态误差在输入信号作用下，误差信号,
