1、2.3连续型 随机变量及其概率密度 1.定义 设 随机变量 X的分布函数 为 F(x)， 若存在非负 函数 f(x)，使对于任意实数 x，有 则称 X为 连续型随机变量 ，其中函数 f(x)称为随机变量X的概率密度函数，简称为 概率密度 。 例如：在 0， 1取点的例，设 X为取得点的坐标，则随机变量 X的分布函数为 2.3.1连续型 随机变量及其概率密度,则 X为连续型随机变量。 2. 连续型随机变量的分布函数 F(x)性质（ 1）连续型 随机变量的分布函数 F(x)是连续函数。（ 2）对于 连续型随机变量 X来说，它取任一指定实数 a的概率均为零，即 PX=a=0。事实上，设 X的分布函数
2、为 F(x)，则 PX=a=F(a)-F(a-0)而 F(x)为连续函数，所以有 F(a-0)=F(a)，即得：PX=a=0.这里 PX=a=0 ，而事件 X=a并非不可能事件。就是说，若 A是不可能事件 ,则有 P(A)=0；反之，若 P(A)=0 ， A并不一定是不可能事件。同样的，对必然事件也有类似的结论。（ 3）在计算连续型随机变量 X落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或闭区间或半开区间。例如有Pa0.1。 解 : (1)由于 , ，解得k=3.于是 X的概率密度为 (2)从而 例 2: 确定常数 A， B使得函数 为连续型随机变量 X的分布函数，并求出 X的概率密度及概率
3、P-1o为常数，则称 X服从参数为 的指数分布。容易验证 : 指数分布的分布函数为f(x)及 F(x)的图形 f(x)x1F(x)x指数分布的一个重要特性是 ”无记忆性 ”.设随机变量 X满足：对于任意的 so， t0,有 则称 随机变量 X具有无记忆性。 设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 因此 PXs+t|Xs=PXt，即指数分布具有 ”无记忆性 ”. 例 设设备在任何长为 t 时间内发生故障的次数 N(t)(t) 的 Possion分布 ,求相继两次故障间的时间间隔 T的分布函数。解 ：关键 ： t0时 ,Tt=N(t)=0.时间间隔大于 t，在 0， t时间内未发生故障。因为 T
4、t=N(t)=0,服从参数为 的指数分布。指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命 .高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线 是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。验证 f(x)是一个合理的概率密度函数 : 显然， f(x) 0； 下面验证（ 1）定义 1：设随机变量 X的概率密度为 其中 ， （ 0） 为常数，则称 X服从参数为 ,2的 正态分布 ,记为 XN(,2)。3正态分布对于积分 ，作代换 ，则 定义 2： 当 =0， =1时称 X服从 标准正态分布 ，记为XN(0， 1)
5、，其概率密度为标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 .(2) 正态密度函数 f(x)的几何特征 因为得：驻点： x=,为函数的极大值点；拐点 ： x=.作图如下所以 曲线关于 x=对称，这表明对于任意 ho，有P-hX= PX+h ； 当 x=时取到最大值X离 越远， f(x)的值越小，表明对于同样长度的区间，当区间离 越远， X落这个区间上的概率越小。 在 x=处曲线有拐点，又由于 ，所以曲线以 x轴为水平渐近线。 如果固定 ，改变 的值，则 图形 沿着 Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线 y=f(x)的位置完全由参数 所确
6、定， 称为位置参数。如果固定 ，改变 ，由于最大值 ，可知当 越小时图形变得越尖，因而 X落在 附近的概率越大。正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 .正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布 .德莫佛德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是 正态分布的首次露面 .如我们遇到过的年降雨量和身高 ,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布 .(3) 正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算若 XN(0， 1)，则概率密度 ，如图。 X的分布函数为：
