1、矢量分析和场论基础,第一章,1.1 标量和矢量 1.2 矢量的运算 1.3 标量场和矢量场 1.4 特殊正交曲线坐标系 1.5 场论 1.6 拉普拉斯算子 1.7 电磁场的分类和亥姆霍兹定理,1.1 标量和矢量,矢量分析和场论是学习电磁场理论必备的数学工具，本章简要介绍矢量分析和场论的基本概念和定理。,标量是指用单一数量就可以完整描述的物理量，比如质量、时间、温度和功等。,在本教材中用粗正体字母表示矢量，比如矢量A可以写成,(1-1),矢量是指既有大小又有方向的物理量，比如力、电场和磁场等。,单位矢量,作业要求写成：,1.2.1直角坐标系中矢量的表示,1.2 矢量的运算,在直角坐标系中，矢量A
2、可写为,(1-6),其中,矢量常用带箭头的线段表示,(1-3),1.2.2矢量的运算,1.矢量加法,(1-7),(1-8),式中,矢量满足结合律和交换律，即,(1-9),(1-10),2.矢量的标积,(1-11),矢量的标积是一个数量，并满足交换律、分配律和数乘，即,(1-12),(1-13),(1-14),坐标表示为,(1-15),矢量投影为：,3.矢量的矢积,(1-17),式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。,矢量的矢积不满足交换律：,(1-18),矢积满足分配律和数乘，即,(1-20),(1-19),矢量矢积的坐标表示为,(1-2
3、3),或简记为,利用 exey=ez， eyez=ex， ezex=eyexex= eyey= ezez=0 可直接证明。,矢量恒等式,(1-24),(1-25),例 1.1 计算由矢量A、B和C构成的平行六面体的体积，矢量 A=2ex+ey-2ez，B=-ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。,解 平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式,例 1.2 给定三个矢量 A=ex+2ey-3ez, B=-4ey+ez, C=5ex-2ey，试求 和 。,解,1.3 标量场和矢量场,从数学上讲，场是物理量随空间坐标变化的函数。物理量可以是标量或矢量，因而，场可以是标量场或矢量场。,如果
4、物理量仅随空间点而变化，不随时间变化，这种场称之为静态场，否则，称之为动态场或时变场。,1.4.1直角坐标系,1.4 特殊正交曲线坐标系,直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。,1.位置矢量,如图1-6所示。,2.距离矢量,如图1-7所示。,距离大小,体微分元,面微分元,线微分元,3.体、面和线微分元,1.4.2圆柱坐标系,与坐标对应的单位矢量为 ( ) 三者相互垂直，服从右手法则。,为位置矢量 r 在 X-Y 平面上投影的大小；,为XOZ平面与POZ平面之间的夹角，逆时针方向正;,z 是r 在
5、Z 轴上的投影。,和 是空间坐标点的函数,1.位置矢量,式中，,对于任意的r，,2.直角坐标与柱坐标之间的关系,取值范围,柱坐标的三个正交面如图1-11所示,3.体、面和线微分元,面微分元,线微分元,体微分元,4.单位矢量的变换,矩阵形式,逆变换,任意矢量的变换,(1-47),同理，已知直角坐标系的分量表达式，利用其逆变换可得柱坐标下的分量表达式。,1.4.3球坐标系,r 为位置矢量 r 的大小，,1.位置矢量,与坐标对应的单位矢量为( )，三者相互垂直，并服从右手法则。,在球坐标系下， 都是空间坐标点的函数。,是位矢r与正Z轴之间的夹角，,是X轴正向与位矢r在XY平面上的投影之间的夹角。,对
6、于任意的r，,2.直角坐标与球坐标之间的关系（见图1-1516）。,体微分元,面微分元,线微分元,3.体、面和线微分元,4.单位矢量的变换,5.任意矢量的变换,(c) 的投影。,图1-19 球坐标系和直角坐标系单位矢量间的变换,(b) 的投影,(a) 的投影,例 1.3 在圆柱坐标系中一点的坐标为 = 4,2/3,3，试求该点分别在直角坐标系和球坐标系中的坐标。,解 利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得,利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得,例 1.4 在柱坐标系中点 P(3,/6,5)有一矢量 A=3 +2 +5 ，在另一点Q(4,/3,3)有一矢量 B = ，在点 S(2,/4,4) 处有矢量 C
7、=A+B，试求C矢量。,解 显然A和B两矢量不在同一 =常数的平面上，在柱坐标系下不能直接按分量形式求和，首先必须把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系。,P点矢量A的直角坐标表示为,同理， Q点矢量B的直角坐标表示为,于是得,再将C变换到柱坐标系中点S(2,/4,4)处的矢量,1.5 场论,1.5.1数量场的等值面和矢量场的矢量线,1.数量场的等值面,场的整体性描述：,标量场 u 的等值面方程,场的局部特性描述：,等值面、等值线和矢量线,标量场，方向导数和梯度；,矢量场，散度和旋度。,同理，如果标量场是二维函数， 令u(x, y)=c 得到等值线。,比如地形图上的等高线，地面气象图上的等温线、
8、等压线等，都是平面标量场等值线的例子。,常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个 空间； 标量场的等值面互不相交。,等值面的特点：,2.矢量场的矢量线,直角坐标表示:,概念：矢量线是这样的曲线，在曲线上每一点处矢量场的方向都在该点的切线方向上。,静电场的电场线、磁场的磁场线和流速场的流线等都是矢量线的例子。,意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。,共线矢量 dr 与 A(x, y, z) 满足,或,(1-64),此即矢量线所满足的微分方程组。求解该方程组可得一矢量线族；矢量线通常互不相交。,假设 P(x, y, z) 为矢量线上任
9、一点，则过点 P 沿矢量线的位移元 dr 与矢量 A(x, y, z)共线。,矢量线方程：,求解该微分方程，得到矢量线方程为,可见，该矢量场的矢量线 为同心圆，见图1-22。,例 1.5 有一二维矢量场 F(r) = -yex+xey，求矢量线方程，并定性画出该矢量场的图形。,解 由场的表达式可知，Fx= -y，Fy=x，则根据式（1-64）可得到矢量线的微分方程为,1.5.2标量场的梯度和方向导数,标量场u(x, y, z)的两个等值面u和u+du如图1-23所示，,P点到Q点的位移元为,(1-65)两边同除以 dl ，得到标量场u(x, y, z)在P点沿dl 方向的方向导数,1.梯度的定
10、义及其方向导数,根据全微分定义,(1-65),设位移元 dl 的方向余弦为 ，即,所以方向导数表示为,其中,u的梯度,dl的单位矢量,引入梯度算子,由,u的梯度表示为,可知,当al与G平行时，方向导数 取得最大值|G|。,梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向；梯度的大小表示标量u的空间变化率的最大值。,所以,梯度在柱坐标系下的表达式,梯度在球坐标系下的表达式,2.梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式,梯度在直角坐标系下的表达式,梯度运算的基本公式：,例1.6 求标量函数u(x, y, z)=x2yz的梯度，并求在空间坐标点P(2, 3, 1)处，沿方向 的方向导数。,解,代入P点的空间坐标
11、 (2,3,1)，得方向导数值为,补充例题：,其中，,2）,求：1）,解：,1.5.3矢量场的通量和散度,1.通量的定义,如图，矢量场A=A(x, y, z)在有向曲面S上的通量定义为,面元dS的法向n与张着S的环线L满足右手螺旋关系。,在直角坐标系中,对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为,矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观描述，要描述每一点的情况，需引入散度的概念。,通量计算存在三种情况,1)0，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，正源,2)0，表明闭合曲面内部有吸收矢量线的源，负源,3)=0，表明闭合曲面内部可能无源，或正源负源相等,2.散度的定义,散度是单位空间体积中的的通量源，
12、有时也简称为源通量密度，记为divA或 ，即,如果divA0，表明M点有发出矢量线的正源；,如果divA0，表明M点有吸收矢量线的负源；,如果divA=0，表明M点无源，矢量线在该点连续。,4.散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式,球坐标系下的表达式,3.散度在直角坐标系下的表达式,柱坐标系下的表达式,散度的有关公式：,5. 高斯散度定理,如图，矢量场场A(x, y, z)的散度在体积V上的三重积分等于矢量场A(x, y, z)穿过包围V 的闭合曲面S的通量，即,图1-26 高斯定理,物理意义 V内的通量源总和与穿过S的总通量相等。,或,例1.7 设有一矢量场 ，（1）求该矢量场的散度；（2）取
13、中心在原点的一个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方体表面的积分，验证散度定理。,解（1）,（2）A对中心在原点的单位立方体的积分为,矢量A对单位立方体表面的积分为,可见，散度定理成立。,补充例题：,其中，,2）,求：1）,解：,如图，式中L是空间有向闭合曲线，dl是曲线L上的线微分元， 是在空间点P处矢量A与dl的夹角。,1.5.4 矢量场的环量和旋度,环量的定义,A(x, y, z)沿闭合曲线L的曲线积分称为沿L的环量，即,环量描述了L内的总涡旋源。,图1-27 矢量场的环量,旋度的定义,为了定义旋度，首先考察环量密度，即单位面积的环量,显然，对于给定矢量场A，环量密度的大小与所取面
14、元S的方向n有关，如图1-29 所示。,可以看出，当面元S沿某特定方向n时，环量密度将取得最大值；定义该最大值与n之积构成的矢量称为矢量场A的旋度，记作rotA或 ，即,物理意义 矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流量面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。,柱坐标系下的表达式,球坐标系下的表达式,旋度在直角坐标系下的表达式,斯托克斯定理,旋度不为零的场是有旋场，如磁场、流速场等。,物理意义 斯托克斯定理将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。,例 1.8 设有一平面流
15、速场,其流线的分布如图1-32所示，图中有些流线是闭合曲线。如果取闭合积分回路L与闭合流线重合，计算流速环量,显然，积分结果不等于零，表明对于这样的流速场，流体的运动具有涡旋性。,旋度的有关公式：,课堂作业,（1）标量场的梯度构成的矢量场是无旋场； （2）矢量场的旋度构成的矢量场是无散场。,证明：,即 证明数学恒等式（参见例1.11和例1.12）,（95）,（93）,补充例题：,其中，,2）,求：1）,解：,一、标量拉普拉斯运算, 拉普拉斯算子,直角坐标系,计算公式：,圆柱坐标系,球坐标系,概念：,1.6 拉普拉斯算子,二、矢量拉普拉斯运算,概念：,直角坐标系,拉普拉斯方程,如果矢量场A的拉普
16、拉斯为零，即,必然有每个分量的拉普拉斯为零，,调和函数,1.7 电磁场的分类和亥姆霍兹定理,根据矢量场满足散度运算关系和旋度运算关系的不同组合，可将场分为四种类型，不同类型的电磁场问题，求解的方法也各有差异。,第一类场 满足,该矢量场A可通过令 ，进而求解u的拉普拉斯方程 而得解。,第二类场 满足,该矢量场A可通过令 和 ，进而求解u的泊松方程 而得解。,第三类场 满足,该矢量场A可通过令 和 ，进而求解G的泊松方程 而得解。,第四类场 满足,该矢量场A可分解为无旋场G和无散场H来求解，即通过令 ，其中G和H分别满足,类似与第二、三类场的分析，必存在u和F，满足,因而,若矢量场 A 在无限空间
17、中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场 A 可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。,亥姆霍兹定理,即该矢量场必然由相应的标量源 和矢量源J产生：,可见，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和；矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,对于在介质不连续的边界上，描述矢量场基本方程的微分形式失去意义，必须从矢量场的通量和环量去研究，即,上式称为矢量场基本方程的积分形式，根据该方程可得到相关矢量场的边界条件。,第一章 小结,一、标量和矢量,二、矢量的运算,三、 标量场和矢量场,直角坐标系,四、特殊正交曲线坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,五、场论,1、数量场的等值面和矢量场的矢量线,2、标量场的梯度和方向导数,3、矢量场的通量和散度,4、矢量场的环量和旋度,数学恒等式,1、标量拉普拉斯运算,六、拉普拉斯算子,2、矢量拉普拉斯运算,七、电磁场的分类和亥姆霍兹定理,1、,2、,3、,4、,亥姆霍兹定理,
