1、变换与密码,所谓变换即是针对某些对象的变化过程，包括：移动、旋转、镜像、比例缩放和倾斜等。 数学上所研究的变换包括：线性变换、几何变换、仿射变换、射影变换等。变换理论在数学学科占有重要的地位。,德国数学家克莱茵 (F.Klein) 1872 年在德国爱尔兰根大学 的一次学术报告中提出, 几何学的任务就是研究在一定的几何变换 (这些变换组成一个群) 下图形的不变性质.比如欧几里德平面几何学里的变换是平面图形的平移, 转动, 轴对称.在这些变换下, 长度, 角度保持不变. 克莱茵所阐述的这一著名观点被称为爱尔兰根纲领.,一、单（多）表密码,假定明文用英文撰写, 将明文的每个字母用另一预先指定的字母
2、代替, 即形成密文. 即将26个字母作一个置换, 形成一张对照表, 加解密过程都由该表确定.即这张表构成了密钥.,1. 单表密码,一、单（多）表密码,2. 多表密码,准备几张密码表轮流使用, 搅乱字母出现频率的不均衡性.可由单表密码出发, 构造多表密码.,一、单（多）表密码,2. 多表密码,一、单（多）表密码,3.现代密码体制公开密钥法,怎样实现公开密钥呢?人们想了各种方法 (都与数学有关) 如RSA方法即是目前普遍采用的一种方法, 它的原理主要是基于很大的自然数的因子分解的困难.,RSA : 非对称密码算法, 所谓非对称, 即指该算法需要一对密钥, 使用其中一个加密, 而需要用另一个才能解密
3、.,RSA涉及三个参数 : n, h, d;n为两个大素数的乘积, 即n = pq;h与 (p - 1) (q - 1) 互素; h*d = 1 (mod (p - 1) (q - 1);,h*d-1能被 (p-1)(q-1)整除,3.现代密码体制公开密钥法,RSA涉及三个参数 : n, h, d;n为两个大素数的乘积, 即n = pq;h与 (p - 1) (q - 1) 互素; h*d = 1 (mod (p - 1) (q - 1);,如果不知道d,解密需要：在模n的同余类中求f(m)的h次方根。,二、Hill2密码,1. 加、解密问题,甲方收到与之有秘密通信往来的乙方的一个密文信息,
4、密文内容如下 : WOWUYSBACPGZSAVCOVKPEWCPADKPPABUJCQLYXQEZAACPP,按照甲方与乙方的约定, 他们之间的密文通信采用Hill2密码密钥为二阶矩阵：,且汉语拼音的26个字母与025之间的整数建立一一对应的关系,称之为字母的表值。,二、Hill2密码,问题1：,汉语拼音的26个字母与025之间的整数建立一一对应的关系,称之为字母的表值。,问这段密文的原文是什么?,1. 加、解密问题,二、Hill2密码,2.破译问题,经分析,这段密文是用Hill2密码编译的,且这段密文的字母UCRS依次代表字母 TACO.,甲方截获了一段密文 : OJWPISWAZUXAU
5、UISEABA UCRS IPLBHAAM MLPJ JO TENH,问能否破译这段密文的内容?,三、Hill2密码的数学模型,Hill2密码是一种传统的密码体制它的加密过程可用 以下的框图描述:,1）根据明文字母的表值, 将明文字母用数字表示, 设明文信息只需要26个拼音字母AZ,也可以不止26个,如还有数字,标点符号等,通信双方给出这26个,2）选择一个二阶可逆整数方阵A,称为Hill2密码的加密矩阵,它是这个加密体制的 “密钥“,密钥是加密的关键,仅通信双方掌握.问题中已给出了这个二阶矩阵.,三、Hill2密码的数学模型,3）将明文字母依次逐对分组,Hill2密码的加密矩阵为二阶矩阵,则
6、明文字母2个一组,以推广至Hilln密码,则每n个明文字母为一组.若最后一组只有一个字母,补充一个没有实际意义的哑字母,这样使每一组都由2个明文字母组成.查出每个明文字母的表值,构成一个二维列向量.,4） 用A乘以a,得一新的2维列向量=A,由的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文字母.,以上4步即为Hill2密码的加密过程。解密过程为上述过程的逆过程.,四、Hill2密码实例,1. 1 加密问题：,1)明文YICHUFA,Y,I,C,H,U,F,A,A,哑字母, 25,9, 3,8, 21,6,1,1, Q,A, S,X, G,R,C,C,2)密文QASXGRC, 17,1, 19,2
7、4, 7,18,3,3,四、Hill2密码实例,1.1 加密问题：,四、Hill2密码实例,1. 1加密问题：,将明文字母分为每2个一组,并适当补充哑字母,四、Hill2密码实例,1. 1加密问题：,四、Hill2密码实例,1.1 加密问题：,下面的程序,任意给出明文(小写字母,字母间用逗号隔开),可马上得到相应的密文.,四、Hill2密码实例,1. 2解密问题：,要将密文解密,将上述加密过程逆转回去,将密文按同样方式分组查表即可.,四、Hill2密码实例,1.2 解密问题：,关键：如何由17,1得到25,9等等?,关键：如何由17,1得到25,9等等?,由17,1得到25,9，不是线性代数中
8、的求逆问题，而是经过模26运算的结果！怎样才能得到原来的向量呢?这可以归结为在模运算意义下的解如下线性方程组的问题:,方阵在模26意义下可逆的条件:,已知：n阶矩阵可逆(普通意义下)的充分必要条件为其行列式不等于零,在模26意义下, 矩阵可逆与一般的矩阵可逆是不同的！,模26意义下矩阵可逆的定义：,模26意义下数的倒数的定义：,如：由3*9=1（mod26)，所以，3-1(mod 26)=9,命题：元素属于Zm的方阵A模m可逆的充分必要条件是m和detA没有公共素数因子.,模26意义下矩阵可逆的条件：,四、Hill2密码实例,1. 2解密问题,解密的实现：设密文,eee=w,o,w,u,y,s
9、,b,a,c,p,g,z,s,a,v,c,o,v,k,p,e,w,c,p,a,d,k,p,p,a,b,u,j,c,q,l,y,x,q,e,z,a,a,c,p,p,四、Hill2密码实例,2. 破译问题：,经分析,这段密文是用Hill2密码编译的,且这段密文的字母UCRS依次代表字母 TACO.,甲方截获了一段密文 : OJWPISWAZUXAUUISEABA UCRS IPLBHAAM MLPJ JO TENH,问能否破译这段密文的内容?,其中,其中,计算A1,(mod26),(mod26),破 译,密文向量,明文向量,明文：Clinton is going to visit a country in Middle East,OJWPISWAZUXAUUISEABA UCRS IPLBHAAM MLPJ JO TENH,
