1、东南大学远程教育,离 散 数 学,第 五十五 讲,主讲教师：仲新宇,第四篇 图论,图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴学科。它最早起源于一些数学游戏的难题研究，如1736年欧拉（L.Euler)所解决的哥尼斯堡七桥问题。以及在民间广为流传的一些游戏问题：例如 迷宫问题、棋盘上马的行走路线问题等等。这些古老的问题当时吸引了许多学者的注意，从而在这些问题研究的基础上，又提出了著名的四色猜想和环游世界各国的问题。,第四篇 图论,图论不断发展，它在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博奕论以及计算机科学等各个领域的问题时，显示出越来越大的效果。 对于这样一门应用广泛的学科，其包含的内容是丰富的
2、，本篇我们只准备介绍基本的概念和定理，为今后有关学科及课程的学习和研究提供方便。,第四篇 图论,第七章 图论 1图的基本概念 2路与回路 3图的矩阵表示 4欧拉图和汉密尔顿图 5平面图 6树与生成树,1图的基本概念,1.基本名词和定义定义一个图G是一个三元组, 其中V(G)为有限非空结点（或叫顶点）集合, E(G)是边的集合， G是从边集E到结点偶对集合上的函数。 讨论定义：(1). V(G) =V1，V2，Vn为有限非空集合,Vi称为结点,简称V是点集。(2). E(G)=e1，em为有限的边集合,ei称为边， 每个ei都有V中的结点对与之相对应,称E为边集。 即每条边是连结V中的某两个点的
3、。,1图的基本概念,(3).若中每一条边e与有序偶对或无序偶对(vi,vj)相关系，则可说边e连接结点vi和vj (4).可用e 或e (vi,vj)，以结点来表示图的边，这样可把图简化成：。 例：有图如下，试写成定义表达式 ， 其中v1,v2,v3,v4,v5 x1,x2,x3,x4,x5,x6,1图的基本概念,例：对有向图可表示为： 、， 其中a、b、c、d,下面定义一些专门名词： (1)有向边：在图中对应有序偶对的边（或者：在图中带有箭头方向的边或弧线）,1图的基本概念,(2)无向边：在图中对应无序偶对的边（或：在图中不带箭头的边） (3)邻接结点：由一条边（有向或无向） 连接起来的结点
4、偶对 (4)（，）图：具有个结点（顶点），条边的图 (5)有向图：在中每一条边均为有向边 (5)有向完全图：在n个结点的有向图G=中，如果EVV，则称G为有向完全图。 例：,东南大学远程教育,离 散 数 学,第 五十六 讲,主讲教师：仲新宇,1图的基本概念,对有向简单完全图讲 ： n(n-1) （没有自回路）,1图的基本概念,(6)无向图：每一条边均为无向边的图 (7)无向完全图：每两个结点之间均有连线的无向图。n个结点的无向完全图的边数为：例：,1图的基本概念,(8)混合图：既有有向边，又有无向边的图 (9)互相邻接的边： 连接于同一结点的二条（或若干条）边 例：,1图的基本概念,(10)闭
5、路（自回路）：图中起始且终止于同一结点的边 (闭路的箭头方向是没有意义的 )例：,(11)多重边（平行边）：二个结点之间方向相同的二条（多条）边 例：,1图的基本概念,定义：含有多重边的图称为多重图，非多重图称为线图。 简单图：无自回路的线图称为简单图。由定义可见，简单图是没有自回路和多重边的图。 例：,1图的基本概念,定义：有权图（赋权图）是一个三元 组、或四元组、，其中为结点集合，为边的集合，f是定义在上的函数，g是定义在边集合上的函数。 实际上，有权图可以用一句话概括：每一条边或结点均注上数字的图（数字可以为整数、正实数） 例：给出一个有权图 、，其图如下： 其中 v1,v2,v3e1,
6、e2,1图的基本概念,(12)孤立结点：不与任何结点相连接的结点 (13)零图：仅包含孤立结点的图，又称（，）图 (14)平凡图：只有一个结点的图（1，0）图 定义：在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数，称为结点v的引出度数， 记作 ；以v点为终点的边的条数称为v的引入度数，记作 结点的v的引入度数和引出度数之和称为v的度数，用deg（v）表示。由定义可见： 度数deg（v） 对无向图讲：结点的度数等于和该结点关联的边的条数,1图的基本概念,例：,(15)正则图：所有结点均具有同样度数的简单无向图 例：,1图的基本概念,定理： 每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。,1图的基本概
7、念,例：若图有n个顶点，（n+1）条边，则中至少有一个结点的度数。 证明：设中有n个结点分别为v1,v2,vn，则由握手定理：而结点的平均度数=结点中至少有一个顶点的度数,1图的基本概念,推论： (1)在图中，所有度数之和必为偶数； (2)在图中，度数为奇数的结点必定有偶数个。,1图的基本概念,定理：在任何有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。,1图的基本概念,子图和图的同构： 定义：设，是二个图 若，,则称是的子图； 若或,则称是的真子图； 若，,则称是的生成子图(支撑子图)。 例：图如下：的真子图： 支撑子图：,1图的基本概念,说明： （1）也是的生成子图； （2），也是的生
8、成子图。 它们统称为平凡子图。 定义：设，是的子图，若有另一个图，且满足关系， 为E中边的相关结点的集合，即（ ），则称：为关于的补图（相对补图）。 例：,1图的基本概念, 关于的补图 定义：给定一个图，由中的所有结点和使成为完全图的边所组成的图，称为的补图（绝对补图），记为:,1图的基本概念, 定义：设、和，是两个图，若存在一双射函数：，当且仅当eg(vi),g(vj)是中的一条边，才能使evi,vj是中的一条边，则称和同构。,1图的基本概念,讨论定义： （1）和是互为同构的； （2）对无向图讲“一一对应”是指保持结点之间的邻接关系； （3）对有向图讲“一一对应”不但是指结点之间的邻接关系，
9、而且 还应保持边的方向和边的重数。 例1：,1图的基本概念,例：下面给出二个无向图，试求出同构函数 ：1,2,3,4,5,6,1图的基本概念,两图同构的必要条件： 1.结点数相等。 2. 边数相等 3.度数相同的结点数相等 不是充分条件。,东南大学远程教育,离 散 数 学,第 五十七讲,主讲教师：仲新宇,1图的基本概念,子图和图的同构： 定义：设，是二个图 若，,则称是的子图； 若或,则称是的真子图； 若，,则称是的生成子图(支撑子图)。 例：图如下：的真子图： 支撑子图：,1图的基本概念,说明： （1）也是的生成子图； （2），也是的生成子图。 它们统称为平凡子图。 定义：设，是的子图，若有
10、另一个图，且满足关系， 为E中边的相关结点的集合，即（ ），则称：为关于的补图（相对补图）。 例：,1图的基本概念, 关于的补图 定义：给定一个图，由中的所有结点和使成为完全图的边所组成的图，称为的补图（绝对补图），记为:,1图的基本概念, 定义：设、和，是两个图，若存在一双射函数：，当且仅当eg(vi),g(vj)是中的一条边，才能使evi,vj是中的一条边，则称和同构。,1图的基本概念,讨论定义： （1）和是互为同构的； （2）对无向图讲“一一对应”是指保持结点之间的邻接关系； （3）对有向图讲“一一对应”不但是指结点之间的邻接关系，而且 还应保持边的方向和边的重数。 例1：,1图的基本概
11、念,例：下面给出二个无向图，试求出同构函数 ：1,2,3,4,5,6,1图的基本概念,两图同构的必要条件： 1.结点数相等。 2. 边数相等 3.度数相同的结点数相等 不是充分条件。,2路与回路,1.路径和循环 定义：在一个图中，从某一结点出发经过某些结点到达终点的边的序列称为图的路径，而路径中边的条数称为路径的长度（路长）。 讨论定义： （1）从一个结点到某一结点的路径，（若有的话）不一定是唯一的； （2）路径的表示方法： (a)边的序列表示法：设，为一有向图， ，则路径可以表示成：(,.),2路与回路,(b)结点表示法： （3）路径长度：若二个结点之间有一条路经，则路径|中边的条数。 例：
12、给出有向图，求起始于，终止于的路径,2路与回路,下面介绍一些专有名词： (1)穿程全部结点的路径：经过图中所有结点的路径。 (2)简单路径：在有向图中经过边一次且仅一次的路径。 (3)基本路径：在有向图中，穿程结点均不相同的路径。 (4)循环：起始且终结于同一结点的路径。 (5)简单循环：每一条边出现一次且仅一次的循环。 (6)基本循环：通过每个结点一次且仅一次的循环。 例：在上例中，列出下列循环，判断为何种循环,2路与回路,(7)非循环图：没有任何循环的简单有向图。 讨论：一定不包含自循环 不是基本路径的任何路径都会包含循环，而去掉这些循环就可以得到基本路径 2.可达性： 定义：设图为简单有
13、向图，且 ，若从vi到vj存在任何一条路径的话，则称vi到vj是可达的。 可达性一定满足：自反性：可传递性：,东南大学远程教育,离 散 数 学,第 五十八讲,主讲教师：仲新宇,1图的基本概念,讨论定义： （1）和是互为同构的； （2）对无向图讲“一一对应”是指保持结点之间的邻接关系； （3）对有向图讲“一一对应”不但是指结点之间的邻接关系，而且 还应保持边的方向和边的重数。 例1：,2路与回路,定义：从vi到vj的最短路径的长度称为距离，并记作： 讨论定义： (1) d=0 (2) d0 (3) d+dd,2路与回路,(4)规定：若vi到vj是不可达的，则 (5)若vi到vj是可达的，且vj
14、到vi也是可达的，则d不一定等于d 例：,2路与回路,3.连通性 定义：对于无向图中的任何结点偶对来讲，若任何二个结点是相互可达的，则称此图是连通的。 对于有向图来讲 定义：对于简单有向图的伴随无向图（或称底图），若是连通的，则称此图为弱连通的；若图中任何结点偶对中至少有一点到另一结点是可达的，则称此图是单侧连通的；如果两结点均是互相可达的，则称是强连通的。 注：伴随无向图即为去掉箭头方向的图,2路与回路,例：判定下列图是何种连通图：,2路与回路,定理：一个有向图是强连通的充要条件是：它包含一个循环，该循环至少包含每个结点一次。 证明：,2路与回路,定义：设，为一简单有向图，且是的子图。对于某
15、一性质而言，若没有其他包含的子图具有这种性质，则称子图是相对于该性质的极大子图。 具有强连通性质的极大子图称为强分图； 具有单侧连通性质的极大子图称为单侧分图； 具有弱连通性质的极大子图称为弱分图。,2路与回路,例：,2路与回路,定理：在任一简单有向图，中，有向图的每一个结点恰好处于一个强分图之中。 证明：,3图的矩阵表示,矩阵是研究图的有关性质的最有效的工具， 可运用图的矩阵运算求出图的路径、循环和其它一些性质。 图的邻接矩阵表示方法 定义：设，是简单有向图，其中V=v1,v2,vn定义一个nxn的矩阵A，并把其中各元素aij表示成：,则称矩阵A为图G的邻接矩阵。,3图的矩阵表示,例：设图，
16、如下图所示 讨论定义： （1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，又称为布尔矩阵； （2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，只要进行行和行、列和列的交换，则可得到相同的矩阵。,3图的矩阵表示,若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对某一矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。 （3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵； （4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0； （5）在图的邻接矩阵中，行中1的个数就是行中相应结点的引出次数列中1的个数就是列中相应结点的引入次数,东南大学远程教育,离 散 数 学,第 五十九讲,主
17、讲教师：仲新宇,3图的矩阵表示,矩阵的计算：,3图的矩阵表示,主对角线上的数表示 结点i（或j）的引出次数。,主对角线上的数表示 结点i（或j）的引入次数。,3图的矩阵表示,表示i和j之间具有长度为2的路径数，表示i和j之间具有长度为3的路径数，表示i和j之间具有长度为4的路径数，,3图的矩阵表示,bij表示从结点vi到vj有长度分别为1，2，3，4的不同路径总数。 此时， bij0，表示从vi到vj是可达的。,3图的矩阵表示,定义：设，是简单有向图，其中|V|=（ ），定义一个 矩阵P，它的元素为：则P称为图G的可达性矩阵。 由 矩阵可计算出可达性矩阵，其方法是： 若 中（i ,j）是非“0
18、”元素，则对应的 ，否则 。,3图的矩阵表示,定义：设无向图，其中 ，则称B为无向图G的完全关联矩阵。,令,3图的矩阵表示,例：,讨论定义： （1）完全关联矩阵为布尔矩阵； （2）对应B中行均为0的结点为孤立结点， 只有一个“1”的行的结点一定为悬挂的边，且一定不在任一循环中 全部为1的行的结点必定联结图中所有的结点。,4欧拉图和汉密尔顿图,欧拉路径：穿程图G的每一条边一次且仅一次的路径。 欧拉循环：穿程图G的每一条边一次且仅一次的循环。 欧拉图：具有欧拉循环的图。 定理：无向图G具有一条欧拉路径，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度数的结点。推论：无向图G具有一条欧拉循环，当且仅当G是连
19、通的，且所有结点度数全为偶数。,4欧拉图和汉密尔顿图,例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题,4欧拉图和汉密尔顿图,定理：设G是一连通有向图，则 当且仅当G中每一个结点的 ，G才有欧拉循环； 当且仅当除了二个结点（其中一个的引入次数比引出次数大，另一个的引入次数比引出次数小）以外的所有结点的 ，则图G才有欧拉路径。,4欧拉图和汉密尔顿图,汉密尔顿路径：穿程无向图的每一个结点一次且仅一次的路径。 汉密尔顿循环：穿程无向图的每一个结点一次且仅一次的循环。 汉密尔顿图：具有汉密尔顿循环的图。到目前为止，还没有找到哈密尔顿路径存在的充分必要条件。下面介绍两个定理。,4欧拉图和汉密尔顿图,定理：设，是具有n 个
20、结点的简单无向图，若在G中每对结点次数之和大于或等于(n-1)，则在G中一定存在一条汉密尔顿路径。 实际上，此定理只是充分条件，而不是充分必要条件。例：，见图： 每对结点次数为， 但确有一条汉密尔顿路径。,4欧拉图和汉密尔顿图,定理：若图G=具有汉密尔顿循环，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(GS)|S|成立。 讨论： (1)W(GS)为从G中删除S后，所得图的连通分支数。 (2)该定理给出的条件是哈密尔顿图的必要条件。 例：,东南大学远程教育,离 散 数 学,第 六十 讲,主讲教师：仲新宇,5平面图,先看一个例子： 有六个结点的图如右， 试问：能否转变成与其等价的， 但没有任何交线的平面
21、上的图？定义：设G=是一个无向图，如果能够把G的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其它的交点，就称G是一个平面图。,5平面图,讨论定义： （1）平面上的图，一开始就画成如定义所讲的图； 例：（2）原来在平面上的图形似交叉，但经过若干次的改画后，变成符合定义所规定的图；,5平面图,（3）并非所有的图经过处理之后都可变为平面图。 如何判断一个图是否为平面图，介绍以下几种方法： 1.观察法： 找出基本循环，将交叉的边分别放置在基本循环内或外而避免交叉。,5平面图,2欧拉定理： 定义：平面图中四周为边所包围之最小平面块称为平面图的区域亦称面。包围区域的诸边称为此区域的边界。区域面积
22、为有限者称为有限区域，区域面积为无限者称为无限区域。 例：,5平面图,定理：(欧拉公式)设图G是一个(n,m)连通平面图，它的区域数为r，则有nmr2。 推论：设图G是一个(n,m)连通简单平面图，若n3则m3n-6。 定理和推论给出了是平面图的必要条件，若不满足这些条件，则一定不是平面图。 例：,5平面图,3库拉托夫斯基（Kuratowski 波兰数学家）定理： 给定两个图： 我们做以下的工作： (1)在左边图的中间联线上插入一个度数为2的结点， 则把一条边分成了二条边； (2)在右边图中去掉一个度数为2的结点， 则把二条边变成一条边。 此二项工作不会影响图的平面性。 2度结点内同构。,5平
23、面图,定义：设G1、G2是二个图，如果它们是同构的，或可以通过反复插入或删除度数为2的结点，使得G1和G2同构，则称G1 、 G2为2度结点内同构。 例：下列二对图是度数为2的结点同构,5平面图,定理：（Kuratowski定理） 设G是一个图，当且仅当G不包含任何在度数为2的结点内与K3,3和K5图同构的子图时，则G才是平面图。 这一定理给出了一个图是平面图的充要条件。,6树与生成树,1.无向树（树） 定义：连通的且无循环的无向图称为无向树。 例：专用名词： 树叶(终点)：树中度数为1的结点。 内点(分枝点)：树中度数大于1的结点。 森林：每个连通分图均为树的图。,6树与生成树,树的性质：
24、定理1：设T是一棵树，vi,vj为T中两个不同的结点，则：1) vi和vj仅有一条路径相连通。2)在T中加一条边vi,vj，则由此而形成的图，仅有一个循环。 例：,东南大学远程教育,离 散 数 学,第 六十 一讲,主讲教师：仲新宇,6树与生成树,定理2：在一棵(n,e)树中有e=n-1。(n表示结点数，e表示边数) 证明：,6树与生成树,推论：设F是由t棵树组成的(n,e)森林，则有e=n-t。定理3：在结点大于2的(n,e)树中，所有结点的度数之和为2(n-1)。 定理4：在任一(n2)的树T中，至少有二片树叶。,6树与生成树,2.生成树 定义：一个无向图G的生成子图是树TG，则称TG是G的
25、生成树(支撑树)。 讨论定义： 1)G的生成树不是唯一的。 例：,6树与生成树,2)如何在连通图G中寻找一棵生成树：若G没有循环，则G本身就是一棵树；若G仅有一条循环，从此循环中删去一条边，仍保持图的连通性，得到一棵生成树。若G有多条循环，则逐个对每条循环重复中操作，直到打断G中所有循环，得到一棵生成树为止。定理：任何连通图至少有一棵生成树。,6树与生成树,给定一个连通图，寻找其生成树的数目是图论中树的计数问题。 定理：含n(n1)个结点的标记完全图Kn有nn-2棵标记生成树。 例：,6树与生成树,定义：生成树T中的边称为树枝，不在生成树T中但属于图G的边，称为树T的弦，弦的集合称为树T的补。
26、 例： 定义：在一个连通赋权图中，树枝的权之和为最小的生成树称为最小生成树。 Kruskal算法： 设G有n个结点，m条边，先将G中所有边按权的大小次序进行排列，不妨设：W(e1)W(e2)W(em)， k1，A。,6树与生成树,若Aek导出的子图中不包含简单循环，则A Aek 若A中已有n-1条边，则算法终止，否则K K+1，转至。 例：,6树与生成树,这一算法假设G中权均不相同，对于边权任意情况也完全适用。这时求得的最小生成树不唯一。 例：,东南大学远程教育,离 散 数 学,第 六十二 讲,主讲教师：仲新宇,7有向树与根树,定义：若有向图在不考虑边的方向时是一棵树，称之为有向树。 定义：一
27、棵有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1，则称为根树。入度为0的结点称为根，出度为0的结点称为叶，出度不为0的结点称为分枝点或内点。任何结点的级(高度)是从根出发到该结点的路径长度(边的条数)。 例：,7有向树与根树,定义：指明了根树中结点或边的次序的树称为有序树。在有序树中，如每个结点有明确的级，同一级的结点排在同一行，并明确它们的位置，则这样的树称位置树。 例：,7有向树与根树,定义：在根树中，若每一个结点的出度小于或等于m，则称这棵树为m叉树。若每个结点的出度恰好等于m或零，则称这棵树为完全m叉树，若其所有树叶层次相同，称为正则m叉树。 特别，当m=2时，称为二叉树
28、。 很多实际问题可用二叉树或m叉树表示。任何一棵有序树都可以把它改写为一棵对应的二叉树。 定义：在有向树T中，由结点V和它的所有子孙所构成的结点子集V以及从V出发的所有有向路中的边所构成的边集E组成T的子图T=，称为是以V为根的子树。,7有向树与根树,方法： 设有序树T中结点Vi的r棵子树有根Vi1,Vi2,Vir,其顺序自左向右，则在二叉树T中Vi1是Vi的左儿子，Vi2是Vi1的右儿子，Vi3是Vi2的右儿子.， Vir是Vir1的右儿子。 例：,本篇小结,通过本篇的学习应达到以下基本要求： (1)牢记图论基本定理(握手定理)，并能灵活地应有它。 (2)记住简单图的概念，弄清楚那些概念是用
29、简单图定义的。 (3)明白图之间同构的概念，会根据定义判断阶数n较小的两个图是否同构。 (4)弄清图中路径和循环的概念及其分类。 (5)在讨论图的连通性时，要特别注意有向连通图的分类及它们之间的关系。 (6)在图的矩阵表示中，可以用有向图的邻接矩阵及各次幂，求图中的路径数。,本篇小结,(7)明确只存在欧拉路径而无欧拉循环的图不是欧拉图，同样，只存在汉密尔顿路径不含汉密尔顿循环的图不是汉密尔顿图。 (8)注意对于汉密尔顿图，我们只给出了汉密尔顿图存在的充分条件和必要条件。仍没有找到充分必要条件。 (9)掌握平面图的概念及判定平面图的几种方法。 (10)掌握树的定义和性质并利用握手定理求树中结点的度数，会求连通图的生成树，用Kruskal算法求最小生成树。 (11)掌握根树、有序树、m叉树的概念，任何一棵有序树都可以改写成为二叉树。,
