1、第二章 习题课,1. 基本内容 2. 常见习题类型 3. 例题,1.本章基本内容,矩阵运算 常用算律几类特殊矩阵的运算方阵可逆的判定及求逆矩阵分块的思想方法,(1)加减法,(2)数乘,(3)矩阵乘法,(4)转置,(一定条件下),矩阵的几种运算,(5)方阵特有的运算,常用算律,(1),(2),(3) 设A是任意方阵，则,若A是可逆阵，则,注意,(1)一般情况下，,(2),，从而,(3) 方阵,几类特殊矩阵的运算,(1)对角阵,几类特殊矩阵的运算,(2)A=PP-1时,(3) 主对角分块对角阵,(4) 次对角分块对角阵,(5) 4块的分块下三角阵,均可逆时，,可逆，且,(1) 通过分块将高阶矩阵的
2、运算转化为两重低阶矩阵的运算. 最后将,(2) 特殊分块阵的性质要熟悉.,方阵可逆的判定及求逆,定理2 方阵A可逆,推论,A可逆时，,矩阵分块的思想方法,第二重运算的结果写入第一重运算所得形式矩阵的相应位置时,只写元素!,(3) 解题时要有意识地使用分块法来简化计算.,2. 常见习题类型,是非判断题: 考察基本概念、运算律等；矩阵的基本计算: (1) 具体矩阵的基本运算注意通过算律的使用降低运算量，必要时 使用分块法简化计算；(2) 求抽象方阵的行列式的值.,求解矩阵方程: 先化为如下标准方程形式之一(1) AX=B, 其中A可逆, 则X=A-1B;(2) XA=B, 其中A可逆, 则X=BA
3、-1;(3) AXB=C, 其中A,B都可逆, 则X=A-1CB-1.,证明题： (1)关于对称阵的概念的; (2)关于方阵可逆的判定(及求逆)的;(3)关于方阵行列式的值的; (4)与伴随矩阵相关的.,3. 例题,例1 判断下列命题的正误，并说明理由或举出反例:,是n阶方阵,且, 则,(1),(3) 若,(2),(5) 若,(4),满足, 但,分析:(1),(2)(3)上例中的A,B都不是零矩阵.,(5)在AB=O的两端左乘A-1即得结论.,矩阵乘法的消去律： 若AB=AC,且A可逆,则B=C; 若BA=CA,且A可逆,则B=C.,使,例2 设,成立,问参数a,b应满足什么条件?,解:由分配
4、律知,故要使, 应有,事实上,令,的对应元素相等,得,可见,AB=BA只在特殊条件下成立,即矩阵的乘法没有交换律!,解: 注意到,例3 已知, 求,从而,例4 已知,解:,于是，原问题化为求更特殊的方阵的乘幂：,由于E与B是可交换的，故,此矩阵记为B.,P55第7题与此题类似.,由于 AA = A A = |A|E , 所以,|A| |A | = |A|n .,下面分三种情形讨论:,(1) |A| 0, 即 A 可逆, 上式两端除以 |A| 即,得 |A | = |A|n-1.,(2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A = O, 结论显然成,立.,证明,例 5 设 A 为 n ( n
5、 2 )阶方阵,证明,|A| = |A|n-1.,(3) |A| = 0, 但 A O, 反设 |A | 0, 则 A 可逆,因而 A = (AA)(A)-1 =(|A|E)(A)-1 = |A|(A)-1 = O,故 A = O, 与 A O 矛盾, 所以, |A | = 0 = |A|n-1.,是两个2维列向量,例6 设,求,解法1,解法2,解:(1),例6 设,由方阵行列式的性质知,(2)法1,解:,(2)法2,例6 设,解:,故,例7 已知,解: 因为A可逆，从而,例8 已知,解及证：由已知得,例9 已知方阵A满足,证明A-E可逆,并用A的,多项式表示(A-E)-1.,于是,方阵A-E
6、可逆,且,解: 原矩阵方程可化为,例10 设,提取公因子得,再提公因子得,其中,证明: 由已知得,例11 证明:,于是,从而,又因为,(1),所以,再由(1)式知,必有,P56页习题17 设,解:,提公因子得,将含有未知矩阵和不含未知矩阵的项分置等号两端.,已求得形式解,注:第56页18题与此例相似先利用算律充分化简，再进行数据计算.,已化为矩阵方程的标准形式.,1次求伴随阵,2次求逆,1次乘积.,1次求逆.,练习1 (1)已知,试证:,可逆,且求,(2) 设 n 阶方阵 A 与 B 满足,证明,把已知等式,左边含有 A 的项分解成含有因子,得,移项得,(1) 解,上式两边取行列式, 得,所以,可逆, 且,已知方程,变形得,所以,则,即,可逆.,(2) 证明,(1) 式两边左乘,得,证毕,练习2. 设 A 为五,阶方阵, 且,(1) 求,(2) 求,由 AA-1 = E, A = |A|A-1 , 得|AA-1| = |A|A-1| = 1 ,所以,当,时,(1) 解,(2) 解,练习3. 设三阶行列式 A, B 满足关系式,且,求 B.,已知等式,变形得,两边右乘,得,所以,解,而,故,所以,
