1、第四章 点、直线和平面的投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,4.1 点的投影,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V
2、,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴（长对正）, aax= aaz=y=A到V面的距离（宽相等）, aaOZ轴（高平齐）,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,重影点：,空间两点在某一投影面
3、上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加( ),( ),a c,各种位置点的投影,四分角中的点,四,三,一,二,一般位置点:,空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为零，称该点为一般位置点。,一般位置点（X、Y、Z ）,V 面上点（X、0、Z）H 面上点（X、Y、0）W 面上点（0、Y、Z）,3.原点上的点: （0、0、0）,X 轴上点 （X、0、0）Y 轴上点 （0、Y、0）Z 轴上点 （0、0、Z）,1.投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。,2.投影轴上点:空间点的坐标值有两个为零。,特殊位置点:,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直
4、线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短ab=ABcos,4.2 直线的投影,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,平行于某一投影面，倾斜于另两个投影面,垂直于某一投影面,与三个投影面都倾斜,4.2.1 各种位置直线, 投影面平行线,水平线,实长,投影特性：,投影特性： 1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3. 反映
5、、大小,正平线,投影特性： 1 ab OX ; a b OZ2 a b=AB 3. 反映、大小,侧平线,投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH2 ab =AB3. 反映、大小,投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,实长,实长,实长, 反映实长的投影与投影轴的夹角，就是直线与相应投影面的倾角。,投影特性：1 a b 积聚 成一点2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB,铅垂线,正垂线,投影特性： 1 ab 积聚 成一点2 ab OX ; ab OZ3 ab =
6、 ab =AB,侧垂线,投影特性： 1 ab 积聚 成一点2 ab OYH ; ab OZ3 ab = ab =AB,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,投影特性：1 a b、 ab、a b均小于实长2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴3不反映 、 、 实角,一般位置直线,b,a(c),b,SB,SA,AC,SC,AB,BC,一般位置直线,一般位置直线,水平线,水平线,侧垂线,侧平线,AB为正平线；AC为正垂线；AD为铅垂线 。,( ),( ),从属于V 面的直线,从属于V 投影面
7、的铅垂线,从属于OX 轴的直线,4.2.3 求线段的实长和倾角,1.特殊位置直线的投影，能反映线段的实长及其对投影面的倾角。,2.一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映对投影面的倾角。直角三角形法,1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,|xA-xB|,直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。 知二求二:任何一个直角三角形都可以找出四个条件,只要知道其中两个条件,就能求出另外两个条件。实长AB-H 投影长（ab) -Z 坐标差|zA-
8、zB| - 角实长AB-V 投影长（ab） -Y 坐标差|yA-yB| - 角实长AB-W 投影长（ab）-X 坐标差|xA-xB| - 角,小 结：,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,ab,例2： 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。,方法一,方法二,1 直线上的点,4.2.4 直线上的点,若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。,反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。,注 意:,对于一般位置直线，只要观察两个投影即可确定。但对于投影面平行线，则应察看直线所平行的那个投影面上的投影。,a,b,k,a,b,k,X,o,YH,YW,Z,2 点分割线段
9、成定比,AC/CB =ac/cb= ac / cb,直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即：,例1：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一： （应用第三投影）,解法二： （应用定比定理）,a,b,例2 已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求分点C的投影c、c 。,例3 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的 点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,4.2.6 两直线的相对位置,* 4.2.5 直线的迹点,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,a,b,c,d,c,a,b,d,对于一般位置直线
10、，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,1 平行两直线,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行。,2.相交两直线,若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之亦然。,3.交叉两直线,若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线。,例题1 判断两直线的相对位置,例题2 判断两直线的相对位置,1d,c 1,4.2.7 直角投影定理,定理1：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影仍反映直角。,定理2（逆）：若相交两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一
11、条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,交叉垂直的两直线的投影,定理3：相互交叉垂直的两直线，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面的投影仍反映直角。,定理4（逆）：交叉两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,交叉垂直的两直线的投影,例1 试求A点至水平线BC的距离(投影和实长)。,1）作akbc，akbck；,2）由k求得kbc，则ak、ak为距离的两投影；,3）求距离的实长。,例题2 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。,例题3
12、 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,例题4 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,4.3.1 平面的表示法,用几何元素表示平面,4.3 平面的投影,平面的投影特性,真实性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面,与三个投影面都倾斜,4.3.2 各种位置平面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,
13、在水平投影面上的投影积聚成直线。,在另外两个投影面上的投影有类似性。,反映了、大小。,正垂面,投影特性：,在正面投影面上的投影积聚成直线。,在另外两个投影面上的投影有类似性。,反映了、大小。,侧垂面,投影特性：,在侧面投影面上的投影积聚成直线。,在另外两个投影面上的投影有类似性。,反映了、大小。,投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在水平投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,正平面,投影特性：,在正面投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,侧平面,投影特性：,在侧面投影面上的投影反映
14、实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,一般位置平面,一般位置平面三个平面图形,投影面平行面一个平面图形+两条线,投影面垂直面两个平面图形+一条斜线,SAB,SBC,SAC,ABC,一般位置平面,一般位置平面,侧垂面,水平面,点在平面上的条件：如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上 。,4.3.3 平面上的直线和点,直线在平面上的条件： 1、通过平面上的两个点。 2、通过平面上的一个点，且平行于平面上的一条直线 。,例题1 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,不属于,例题2 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。,d,例题3 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。,a,c,b,b,a,c,X,e,e,例题4 已知四边形平面ABCD的H投影abc和ABC的V 投影abc，试完成其V投影 。,4.3.4 平面上的特殊位置直线,平面上的投影面平行线,平面上的投影面平行线，有平面上的水平线、正平线和侧平线三种,平面上的投影面平行线,例题1 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,例题2 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。,本 章 结 束,
