1、工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,工程力学,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,121 引言,第十二章 弯曲变形,122 挠曲轴（线）近似微分方程,123 计算梁位移的积分法,124 计算梁位移的叠加法,125 简单静不定梁,126 梁的刚度条件和合理刚度设计,12-1 引言,研究目的：,解超静定梁（变形几何条件提供补 充方程）。,对梁作刚度校核；,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,挠度：梁轴线上一点在梁的变形过程中沿垂直于轴线方向的线位移。用w 表示。,转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，反时针转动为正，反之为负。,挠曲线：变形后，梁轴线成为其纵向对称面内的一条光滑曲线，该
2、曲线称为挠曲线。,转角与挠度的关系：,小变形,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形, 122 挠曲线（线）的近似微分方程式,上式就是挠曲线近似微分方程。,小变形,挠曲线的曲率与内力弯矩间的关系为：,曲率与挠度间的关系为：,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,对挠曲线微分方程的两边作一次不定积分得：,123 计算梁位移的积分法,对上式两边再作一次不定积分得：,式中的 C、D 为积分常数。,积分常数由边界条件和连续性条件确定。,边界条件：,梁在支座处确定的挠度和转角。,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形, 简支梁或外伸梁的边界条件条：, 固定端的边界条件：,连续性条件：,挠曲线上作一点处的挠度
3、和转角是唯一的。,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,例：求图示等截面悬臂梁的弹 性曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩 方程,写出梁的挠曲线微分方程,对微分方程两边作不定积分得：,解：,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形, 利用边界条件确定积分常数,写出具体的转角方程和找挠度方程,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,例：求图示长为 l 的简支梁的弯曲变形。,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,应用边界条件求积分常数,写出挠曲线方程和转角方程,最大挠度及最大转角,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,例：求图示等截面悬臂梁的
4、弹性曲线、最大挠度及最大转角。,解：写出弯矩方程,P,写出梁的微分方程并积分,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,由连续性条件可知，当,再由固定端的边界条件,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,最后得到梁的转角方程和挠曲线方程：,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,124 计算梁位移的叠加法,在小变形且梁内的应力小于其比例极限应力的情况下，梁的挠曲线的微分方程是关于力的线性方程。,结构形式叠加（逐段刚化法）：,载荷叠加：多个载荷同时作用于梁而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,例：用叠加原理求图示简支梁A端的转角和中点C的挠度
5、。,解、载荷分解如图,查表求由每一种简单载荷产生的变形。,=,+,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,叠加求最终变形,=,+,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,例: 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。,=,+,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,125 简单静不定梁,求图示梁各约束处的约束反力。,用反力代替多余约束所得到的结构。,RA,RB,MA,解：取梁AB为研究对象，其受力如图所示。其静力平衡方程为：,该梁是一次静不定梁。,多余约束,多余约束反力,基本静定结构，静定基,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,=,MA,q,RB,静不定问题的求
6、解过程,1、解除多作约束，用相应的约束反力代替多余约束，确定静定基；,2、用叠加法求多余约束处主动力及多余约束反力共同生的变形；（物理条件）,3、令求得的变形等于多余约束处的实际变形，建立几何变形协调条件，从而得关于力的补充方程；,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,物理方程,+,=,几何变形协调关系，补充方程,4、求解补充方程得多余约束反力；,5、最后求其他约束处的约束反力以及梁的强度、刚度计算等。,建立静定基：悬臂梁,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,求解该方程得：,求解其它问题（反力）,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,解：建立静定基,例: 结构如图，求BC杆的拉力。,q,=,
7、+,=,x,lBC,y,q,l,A,B,物理方程,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,求解该方程得：,几何变形协调关系，补充方程,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,12-6 梁的刚度条件和合理刚度设计,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸； 、设计载荷。,(但：工程上，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,工程力学电子教案,第十二章 弯曲变形,二、提高梁的刚度的措施,梁的位移与梁的以下因数有关： 1、支撑条件 2、外荷载 3、材料：梁的位移与材料的弹性模量 成反比 4、横截面：梁的位移与截面的惯性矩 成反比 5、跨长：梁的位移与跨长 的 次幂成正比,由此为了减小梁的位移，可以采取以下措施：,1、增大梁的弯曲刚度 2、调整跨长和改变结构,工程力学电子教案,本章结束,
