1、二阶线性微分方程,7.6二阶线性微分方程 7.7二阶常系数齐次线性微分方程 7.8二阶常系数非齐次线性微分方程,7.6 二阶线性微分方程,7.6.1 二阶齐次线性微分方程解的结构,要解决这一问题，需要引入两个函数线性相关与线性无关的概念.,练习：书本7.6 题1 （1）（3）（5）,二阶齐线性微分方程解的结构,的两个线性无关的解，则,是方程 (1) 的通解。,7.6. 2. 二阶非齐线性微分方程解的结构,(1) 解的性质,的一个特解，则,是原方程的一个特解。,的一个特解，则,是方程,的一个特解。,是其对应的齐方程,的一个特解。,的一个特解。,如何求特解？,的通解，则,是方程 (1) 的通解。,
2、二阶常系数齐次线性方程的解法,代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).,(3),(2),故它们线性无关,因此(2)的通解为,(3),情形1,情形2,情形3,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,解,特征方程为,故通解为,例3,特征根为,练习：习题7.7 题1 （2）（4）2(2),作业：习题7.7,题1：（3）（5） 题2（1）（3）,自测题7 3月19日检查自测题7
3、.,对应齐次方程,三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；,2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .,定理2,那么方程(1)的通解为,问题归结为求方程(1)的一个特解.,只讨论 f (x) 的两种类型.,用待定系数法求解.,对应齐次方程,(1),(2),那么方程(1)的通解为,定理2,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,则,情形1,若 r 不是特征根,即,情形2,若 r 是特征方程的单根,即,情形3,若 r 是特征方程的二重根,即,综上讨论,设特解为,其中,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,得,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程, 得,解,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,此时原方程的通解为,练习：习题7.8 题1 （1）、（7）,作业：习题7.8 1 （2）（5）（7）,自测题7,一、 选择题 题8：,选择题第9题：,第七章练习题,
