概率论第四章.ppt

1、1,关键词：数学期望方差协方差相关系数,第四章 随机变量的数字特征,2,问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察居民的家庭收入情况，我们既要知道家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；,3,1 数学期望,例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下：评定他们的成绩好坏。,解：计算甲的平均成绩：,计算乙的平均成绩：,所以甲的成绩好于乙的成绩。,4,定义：定义：,数学期望

2、简称期望，又称均值。,5,例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。解：,问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？,只要求出一般指数分布的期望（即E(X1)，就可得到E(N).,6,例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,解：X的分布律为：,7,例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万

3、元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？,解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，,设Y表示一周内所获利润，则,8,例5：,9,例6：,10,11,12,例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截面面积S的数学期望。,13,例8：,14,例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：,也可以这么求E(Y):,15,16,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,17,证明：,下面仅对连续型随机变量给予证明：,18,例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出

4、发，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立),本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于 随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。,解：引入随机变量：,19,例12：,20,2 方差,设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？,单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值10

5、00小时的偏离程度。方差正是体现这种意义的数学特征。,21,定义：,22,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得方差计算公式：,23,例1：设随机变量X具有数学期望,24,例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：解：,25,例3：解：,26,例4：,解：X的概率密度为：,27,例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：,即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数,28,方差的性质：,29,证明：,30,例6：,例7：解：,33,例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的

6、概率。,34,表1 几种常见分布的均值与方差,数学期望 方差,分布率或 密度函数,分布,35,切比雪夫(Chebyshev)不等式：,36,例：在n重伯努利试验中，若已知每次试验事件A出现的概率 为0.75，试利用契比雪夫不等式估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。,37,3 协方差及相关系数,对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。定义：,38,协方差的性质：,39,相关系数的性质：,注：工程中常用均方误差(Mean-Square-Error, MSE) 来计算两个物理量（测量量）的相似性程度,40

7、,41,42,例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：X -1 0 1P 1/4 1/2 1/4 已知P(|X| = |Y| )=0,判断X和Y是否不相关？是否不独立？,43,由第三章知道：,44,例3：设X,Y相互独立服从同一分布，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一定不相关，是否一定独立？,45,4 矩、协方差矩阵(了解即可),46,47,利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。,48,49,n维正态变量具有以下四条重要性质：,50,复习思考题 ：,1.叙述E(X)和D(X)的定义。,51,4.设XN(,2),用如下两种方法求E(X2)：(1

8、)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2；(2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=2；两种结果不一样，哪一种错？为什么？5.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7,则D(XY)=D(X)D(Y)=67=10,这与任意一个随机变量的方差都不小于零相矛盾，为什么？6.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)对吗？,52,7.已知一包水泥的重量X满足正态分布XN(50,2.52),且每包水泥的重量Xi 是独立同分布的，求100包水泥的总重量满足什么分布？ 考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示：(1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,100, 由题意知, Xi N(50,2.52),Y=Xi , 则YN(100*50,100*2.52)；(2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 XN(50,2.52)。若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则：E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52YN(100*50,1002*2.52)这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后者方差是前者的100倍)，试问哪一种正确？ （第一种正确）,