1、2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,第6节第一型线积分和面积分,第一型（对弧长的）曲线积分的计算第一型（对面积的）曲面积分的计算,( Line integrals and Surface integrals of the first type,(or Line integrals with respect to arc length and surface integrals with respect to area ),2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,定理,由第1节，,1. 第一型曲线积分的定义：,2. 性质：,3. 可积性：,与定积分类似,2009年
2、5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,注意：,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,1. 对弧长曲线积分的计算,定理,基本思路:,计算定积分,求曲线积分,证:,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,注,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,12a,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,特殊情形,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,推广:,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,例1,解,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,11
3、,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,例,解,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,解 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例4,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,例5,解法一,由对称性, 知,进一步,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,解法二,化为参数方程,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,2. 几何与物理意义,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,解,由对称性,2009年5月,南京航空航天大学 理学
4、院 数学系,19,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,例2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,故质心坐标为,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,例3,解(1),2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,解(2),2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,小结,1、对弧长曲线积分的计算,2、对弧长曲线积分的应用,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,练习题,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,2009年5月,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,练习题答案,
