1、7-4 应力函数,为了寻求一个更为普遍的解法，为此，引入一个与应力分量有确定关系的函数，据此求得的应力分量同时应满足平衡方程和相容方程。,设：,为式(7-10)的特解，,由：,使表达式：,成为某一函数A(x,y)全微分的充要条件。于是有：,又由：,同样存在一个函数B(x,y)，且,同样有：,(7.48),比较(7.47)、(7.48)两式得：,(7.49),由(7.49)式推断，一定存在一函数，使其成为一全微分，即,于是有：,代入(7.47)、(7.48)两式得：,(7.50),叠加通解和特解得应力函数与应力分量之间的关系式为,(7.51),只要(x,y)确定，则应力分量也就确定了。为艾雷18
2、62年提出，所以称为Airy应力函数。,用应力法求解平面问题，应力分量除满足平衡方程外，还应满足相容方程，将式(7.51)代入(7-10)式的第三式得：,一般为常数，故上式为,即，,(7.52),即用应力函数表示的相容方程，是一个双调和方程,(x,y)则为双调和函数。如果不计体力，即，则方程(7-12)简化为,(7.53),综上所述，按应力函数法求解平面问题时，只要引入一个应力函数(x,y) ，即可将求解平面问题时的三个方程(7-10)归结于解一个方程(7-52)，原来需求解三个未知数xy和 ，现只需求解一个未知应力函数(x,y) ，因而使问题的求解大为简化。,7-5 用多项式应力函数解平面问
3、题,求解外力作用下的应力边值问题，如果体力是常数，可以归结为在应力边界条件下求解偏微分方程(7-52)，即寻求一应力函数在物体内处处满足双调和方程，并在边界上满足边界条件。要选择一个函数满足式(7.52)并不难，但要求由它求出的应力分量同时满足边界条件却是不易。通常采用逆解法或半逆解法求解平面问题。,所谓逆解法，就是先假设出满足式(7-52)的应力函数，由式(7-12)求出应力分量，并考察这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么样的问题。,所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设出一部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函
4、数，然后，将应力函数代入双调和方程(7-52)，确定出应力函数的具体形式，再由式(7-51)求出应力分量，并考察它们是否满足应力边界条件，如果所有的条件都能满足，自然也就得出正确的解答。否则，则要另选应力函数重新进行考察。因此，应力函数选取什么样的函数形式一般与物体的外形和边界的荷载有关。常采用的是代数多项式、三角级数或复变函数。,在不计体力的情况下，如果物体的周界简单，边界上的荷载又可用代数整函数表示，则应力函数可用代数多项式的形式，即,(7.54),下面先用逆解法求出几个简单平面问题的多项式解答。, 、(x,y)取一次多项式：,(7.55),相容方程(7-52)总能满足，由公式(7-14)
5、得出的应力分量为,由此可见，线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的自然状态，因此在平面问题的应力函数中加上或减掉一个线性函数，并不影响应力分量。, 、(x,y)取二次多项式：,显然，相容方程(7-52)也总能满足，由公式(7-53)得出应力分量为,(7.57),考察(7.57)式中每一项能解决什么样的问题。,对应于图7-6a所示矩形板在y方向受均布拉力(a0)或均布压力(a0)的问题。,对应于图7-6c所示矩形板在x方向受均布拉力(c0)或均布压力(c0)的问题。, 设为纯三次多相式,(7.58),式(7.58)恒满足双调和方程(7-52)，相应的应力分量为,对应于图7-6b所示矩形板受均
6、布剪力的问题.,由式(7.59)可知：纯三次式可求解面力按直线分布的平面问题。如重力坝受水压力作用的问题。,对应于图7-7a所示矩形板和坐标系，应力函数 能解决矩形梁受纯弯曲的问题。,如图7-7b所示， 对应于偏心受拉或受压状态。,(7.59),例7-4 如图7-8所示矩形截面简支梁，高度为h，宽度为1，在两端力偶作用下发生纯弯曲(不计体力). 求梁内应力分量。,解：1. 应力函数的选取: 此题为纯弯曲问题，可选应力函数为,相应的应力分量为,(7.61),2.用边界条件定积分常数,1)、梁的上下边界是主要边界，边界条件必须严格满足.,由式(7.61)可见，式(7.62)在梁的上下边界自然成立。
7、,同理，在梁的左端和右端，没有铅直面力，分别要求,自然成立,2）、在梁的左右两端次要边界，应用圣维南原理( 静力等效)，使边界条件近似满足。即首先应满足；,由于z轴通过截面形心，上式总能自然满足。,其次，要求水平力对z轴之矩为力矩M，即,即，,故，,这就是矩形截面梁受纯弯曲时的应力分量，与材料力学结果完全相同。,应当指出，组成梁端的力偶的面力必须按直线分布，上述解答才完全精确。如果两端面力按其它方式分布，按圣维南原理，上述解答在梁的两端有显著误差，而在离开梁端较远处，误差是不计的。因此，上述解答对于长度远大于高度的梁，才有意义。而对于与等同的深梁，则上述解答无任何实用意义，只有用级数、变分或有
8、限元才能给出深梁的正确解答。,例7-5 如图7-9所示一悬臂梁长为L，高为h, 厚为1，右端固定，左端受集中力P的作用，不计体力，求梁中应力分布。,根据(7-11)式给出的应力分量与截面内力或边界上的外力的分布规律的关系，并结合应力函数与应力分量的关系式(7-53)可知：,解：1.采用半逆解法寻求应力函数.,(7.67),由式(a)的任何一个应力分量的形式可以反推出应力函数.,如由(7.67)的第1式积分2次得,(7.68),将式(7.63)代入相容方程(7-52)后有,(7.69),因此有：,积分得：,代入式(7.68)得应力函数为,(7.70),对应的应力分量为,(7.71),2).用边界
9、条件定常数,1)、上下边界： 由(7.71)的第2式有,于是有：,和,因此，B=F=C=G=0,应力分量(7.71)式简化为,(7.72),2)、在左端边界满足圣维南原理，即静力等效：,即,得：,3.故应力分量为,(7.73),以上结果与按材料力学所得应力相同，只有当梁在上边界无荷载的特殊情况下才有上面的结论。一般情况下，如当梁上边界有分布荷载作用时，弹性力学解与材料力学解不同。注意：根据圣维南原理对于离梁端集中力较远的区域式(7.73)才是正确的。,例7.6如图7-10a所示简支梁受均布荷载作用，求梁的应力分布。,解：1. 采用半逆解法,积分二次得：,设,(7.74),(7.75),得：,(
10、7.76),(7.77),积分(7.77)前两式，则有,(7.78),由(7.77)的第3式有：,(7.79),因此，,2.相应的应力分量为,(7.81),因为 是x的偶函数， 是x奇函数，根据(7.81)式有,(7.82),(1)在 上，边界条件为,将式(7.81)代入式(7.82)得：,解得：,代入式(7.81)得：,(7.83),(2)在 两端边界上，根据圣维南原理静力等效,(7.84),由(7.84)的第1式：,由(7.84)的第3式：,表达式中，第1项是主项，与材料力学解答相同，第2项是修正项，对于浅梁，修正项很小，对于深梁，则需注意修正项。,另外，该题也可以根据梁截面的剪力 ，由式(7-11)的关系：,(7.86),可以假设：,所以，,(7.87),令，,则，,(7.88),这里的(7.88)式与前面的式(7.75)具有相同的形式，,
