1、（1646-1716）,（1642-1727）,前言,微积分的创始人被归于Newton（牛顿）与Leibniz（莱布尼茨）,微积分的诞生源于十七世纪60年代80年代，牛顿与莱布尼兹在前人工作的基础上，利用不严密的极限方法建立了微积分学，至今这仍然是世界数学史上最为光辉灿烂的成果之一。,下面介绍的微积分的两个基本问题的例子及其解决问题的思路，是微积分学中的两个重要概念导数与积分的最原始的模型。,1）变速直线运动的瞬时速度； 2）曲线围成的平面图形的面积。,1 变速直线运动的速度,当 t 很小时，速度可近似看作匀速，则,连续变化的微小量之比,而且 t 越小，精确度越高。,现在用上述的方法导出落体的
2、瞬时速度,上述求速度的过程也就是所谓求函数的“导数”的过程。,曲边形面积、圆面积如何计算？,2 曲线围成的平面图形的面积,用初等数学方法至多只能计算多边形的面积事实上由矩形面积公式可以推出平行四边形面积，接着是三角形面积，最后可以计算多边形面积。,解 把区间 0,1 分成 n 等分，得分点,过各分点作 x 轴的垂线，把曲边形分割成n个窄曲边形，对每个窄的曲边形，用它的底边为底、它的左直边为高的矩形来近似。第 i 个矩形面积是,而且当分割越细（即 n 越大），此和越接近于曲边形的面积，于是当 n 无限增大时，An 所逼近的值（不难看出，此值是 1/3 ）就是该曲边形的面积。,上述求曲边图形面积的
3、方法：拆分区间、以直代曲（以矩形代替曲边图形）、无限累加，这种方法带有普遍意义。,-这也就是积分概念的最原始模型。,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例1,不含任何元素的集合称为空集.,例2,规定,空集为任何集合的子集.,记A=B.,一、基础知识,2.数域:,对加减乘除封闭的数的集合,实数集的基本性质：,1.实数集是数域,2.对加、乘运算满足交换律、结合律、分配律,3.实数域是有序数域：两个不同的数有大小关系，并且在加法和乘法运算中保持大小关系,4.实数域的完备性（连续性）：实数域中的任何一个单调有界序列一定有极限存在,单调递增序列，单调递减序列称
4、为单调序列,(集合中的任意两个数做加减乘除运算,结果仍在此集合中),1.有理数集是数域,有理数集的性质：,2.有理数集对加法和乘法运算满足交换律、结合律、分配律,3.有理数集是有序数域,3.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.,开区间:,闭区间:,(a,b)=,(a,b)=,这两个实数叫做区间的端点.,半开区间,有限区间,无限区间,4.绝对值:,运算性质:,由绝对值的定义，易得命题2，3，主要是绝对值不等式,不等式解法（命题4）:,例3,解不等式： |X-2|5,设U=X-2,解:,则 |U|5,-5U5,即 -5X-25,故 -3X7,5.邻域:,记,6.常量与变量:,在某过程中数值保
5、持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,二、函数概念,例4 圆内接正多边形的周长,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,对应法则f,定义域,值域,定义域与对应法则.,函数的两要素：,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,x =0 时，y=a,是多值函数.,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,(2) 取整函数 y=x x表
6、示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3) 狄利克雷函数,(4) 取最值函数,例10,解,故,基本初等函数,1、幂函数,2、指数函数,3、对数函数,4、三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5、反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,复合函数 初等函数,1、复合函数,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数,称为初等函数.,例,解,综上所述,反函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,将 x=(y) 记为 y= (x),三、函数的特性,有界,无界,1函数的有界性:,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,4函数的周期性:,通常说周期函数的周期是指其最小正周期。,例12,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,1、双曲函数,奇函数,有界函数,双曲函数常用公式,2、反双曲函数,奇函数,奇函数,
