1、2.1 确知信号 2.2 随机过程的一般表述 2.3 平稳随机过程 2.4 高斯随机过程 2.5 窄带随机过程 2.6 正弦波加窄带高斯噪声 2.7 随机过程通过线性系统,第 2 章 信 号,2.1 确知信号,确知信号和随机信号 确知信号：取值在任何时间都是确定的和可预知的信号。 随机信号：取值不确定且不能事先确切预知的信号。能量信号和功率信号 信号的功率: 设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2 信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t),于是，信号的能量 E = s2(t)dt 能量信号：满足 平均功率： ，故能量信号的P = 0。功率信号：
2、P 0 的信号，即持续时间无穷的信号。 能量信号的能量有限，但平均功率为0。 功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。,2.1.1 确知信号的性质,频域性质 功率信号的频谱：设s(t)为周期性功率信号，T0为周期，则有式中，0 = 2 / T0 = 2f0 。 C(jn0)称为傅里叶系数信号s(t)的傅里叶级数表示法：信号s(t)的频谱为,【例2.1】 试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V 求频谱：,频谱图,【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为求频谱：信号的傅里叶级数表示式：,能量信号的频谱密度设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为
3、：S()的逆变换为原信号：【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：,【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。解：抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱密度为：和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。 【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：(t)的频谱密度：,Sa(t)及其频谱密度的曲线：函数的物理意义：高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。 用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质当 k 时，振幅 ，
4、波形的零点间隔 0，故有,函数的性质 对f(t)的抽样： 函数是偶函数： 函数是单位阶跃函数的导数：能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱C(jn0)的区别: S(f) 连续谱； C(jn0) 离散谱 S(f)的单位：V/Hz； C(jn0) 的单位：V S(f)在一频率点上的幅度无穷小。,【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-7)，上式可以改写为引入(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。,能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号
5、的频谱密度，为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：式中，G(f)|S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。 G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数，,功率谱密度定义(-,)上的s(t)平均功率为若s(t)为实函数，则有设s(t) 的频谱为S()，则有得到信号功率： 定义功率谱密度为：,时域性质 自相关函数 能量信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：性质： R()只和 有关，和 t 无关 当 = 0时，能量信号的R()等于信号的能量；功率信号的R()等于信号的平均功率。,互相
6、关函数 能量信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：性质： R12()只和 有关，和 t 无关；证：令x = t + ，则,2.2.1 随机过程自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：（1）确定性过程：变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。如：电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。（2）随机过程：没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。,2.2 随机过程的一般描述,时
7、间t的函数； 在进行一次实验前，不可能确切定义未来将观察到的波形。,设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明：尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。 定义：设Sk(k=1, 2, )是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就构成一随机过程，记作(t)。简言之，
8、无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图 2 - 1 所示。 ,图 2- 1样本函数的总体,显然，上例中接收机的输出噪声波形也可用图 2 - 1 表示。我们把对接收机输出噪声波形的观测可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，(t)取图 2 - 1 所示的样本空间中的某一样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。随机过程的基本特征：（1）它是一个时间函数；（2）在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值(t1)是一个不含t变化的随机变量。可以把随机过程看成依赖时间参数的一组随机变量。,2.2.2 随机过程的统计特性随机过程的两重性使我们可
9、以用与描述随机变量相似的方法，来描述它的统计特性。 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率P(t1)x1，简记为F1(x1, t1)，即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.2 - 1) 式(2.2 - 1)称为随机过程(t)的一维分布函数。如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有,则称f1(x1, t1)为(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说
10、明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。 任给两个时刻t1, t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1), (t2)，称F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 (2.2 3) 为随机过程(t)的二维分布函数。,如果存在下式,则称f2(x1,x2; t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。 同理，任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn,如果存在,则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为(t)的
11、n维概率密度函数。 n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。,2.2.3 随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 1. 数学期望设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则(t1)的数学期望为,注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期
12、望，记作a(t)， 于是,a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。 2. 方差,D(t)常记为2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。 3. 相关函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。 协方差函数定义为,B(t1,t2)=E (t1)-a(t1
13、)(t2)-a(t2)= f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2,式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。 相关函数定义为 R(t1, t2)=E(t1) (t2),协方差函数与相关函数的关系为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) (2.2 - 10) 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间
14、间隔,即相关函数是t1和的函数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，引入互协方差及互相关函数。,B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) (2.2 - 11) 而互相关函数定义为 R(t1, t2)=E(t1)(t2) (2.2 - 12),设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为,2.3 平稳随机过程,2.3.1 定义所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程(t)，tT,若对于任意n和任意选定t1t2tn, tkT，k=
15、1, 2, , n，以及h为任意值，且t1, t2, , tnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn) = fn(x1, x2, , xn; t1+h, t2+h, , tn+h)(2.3 - 1) 则称(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布, 则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即有,f1(x1, t1)=f1(x1) (2.3 - 2) 和 f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ) (2.3 - 3) 以上两式可由式（2.3 - 1）分别令n=1和n
16、=2, 并取h=-t1得证。 于是， 平稳随机过程(t)的数学期望,为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。平稳随机过程(t)的自相关函数,R(t1, t2)=E(t1)(t1+)=,仅是时间间隔= t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。 平稳随机过程(t)具有“平稳”的数字特征：它的数学期望与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即 R(t1, t1+)=R()用来判断随机过程是否平稳，满足上述两个条件称为“宽平稳”。,设有一个随机过程(t)，它的数学期望为常数，自相
17、关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。相应地，称按式（2.3 - 1）定义的过程为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、二维概率密度有关的数字特征。一个严平稳随机过程必定是广义平稳随机过程，但反过来不一定成立。 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。 ,2.3.2 各态历经性(遍历性)平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现
18、的时间平均值来替代。 设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为,如果平稳随机过程依概率1使下式成立：,则称该平稳随机过程具有各态历经性，或者遍历性平稳随机过程。 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能满
19、足各态历经条件。 例题：,2.3.3 平稳随机过程自相关函数的性质对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数：（1）平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；（2）自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在联系。设(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数 R()=E (t)(t+) (2.3- 8) 具有下列主要性质： （1）R(0)=E 2(t) = S；(t)的平均功率 (2.3- 9) （2）R()=E2 (t); (t)的直流功率 (2.3-10),这里利用了当时，(t)与(t+)没有依赖关系，即统计独立，而且认为(t)中不含周期分量。（3） R()=R
20、(-); R()是的偶函数 (2.3 - 11) 这一点可由定义式（2.3 - 8）得证。 （4） |R()|R(0); R()的上界 (2.3 - 12) 考虑一个非负式 即可得证。 （5） R(0)-R()=2; 方差，(t)的交流功率 (2.3 - 13) 当均值为0时， 有R()=0, R(0)=2。,2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为 能量谱（2.3-14）式中，FT()是f(t)的截短函数fT(t)（见图 2 - 2）所对应的频谱函
21、数。,图 2-2 功率信号f(t)及其截短函数,可以把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（2.3 - 14）来表示。由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即,(t)的平均功率S则可表示成,(2.3-15),虽然式（2.3 - 15）给出了平稳随机过程(t)的功率谱密度P()，但我们很难直接用它来计算功率谱。 那么，如何方便地求功率谱P()呢？ 确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有
22、类似的关系。P()= 其傅里叶反变换为,（2.3 - 15）,因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，P()必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。 平稳随机过程的功率谱密度P()与其自相关函数R()是一对傅里叶变换关系, 即,简单推导：,简记为 R() P(),关系式（2.3 - 18）称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。 根据上述关系式及自相关函数R()的性质，不难推演功率谱密度P()有如下性质： ,(2.3-18),（1） P()0，非负性； (2.3 20)（2） P(-)=P(
23、)，偶函数。 (2.3 21),例 2 1 某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。 （1） 求(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论(t)是否具有各态历经性。 ,解 (1) 先考察(t)是否广义平稳。(t)的数学期望为,(t)的自相关函数为,因为，(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔有关， 所以(t)为广义平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R() P(),因为 cosc (-c)+(+c) 所以，功率谱密度为 P()= (-c)+(+c) 平均功率为 S=R(0) =A2/
24、2,(2) 现在来求(t)的时间平均。 根据式（2.3 - 6）可得,比较统计平均与时间平均，得a= , R()= ，因此，随机相位余弦波是各态历经的。,思考题：已知平稳随机过程n(t)的功率谱密度为Sn(w),求Yn(t)= n(t) - n(t-T)的功率谱密度。,解：因为n(t)为平稳随机过程，故Yn(t)也平稳。根据,2.4 高斯随机过程,2.4.1 定义若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn),式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|
25、为归一化协方差矩阵的行列式，即,(2.4-1),b12 b1n b21 1 b2nbn1 bn2 1,|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，,2.4.2重要性质（1）由式(2.4 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 （2）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义(严)平稳的。 （3）如果高斯过程在不同时刻的
26、取值是不相关的，即对所有jk有bjk=0，这时式（2.4 - 1）变为,fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= (2.4 - 2) 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么它们也是统计独立的。高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为,=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn),式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。f(x)曲线如图 2 - 3所示。,(2.4-3),图2-3 正态分布的概率,由式（2.4 - 3）和图2 - 3可知f (x)具有如下特性： (1) f (x)对称于x = a这条直线。
27、 (2) ,且有,(3) a表示分布中心，表示集中程度。f (x)图形将随着的减小（增大）而变高（变低），随着a的变化左右平移。 当a = 0， = 1时，称f (x)为标准正态分布的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P(x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即,这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来。几种常用的特殊函数： ,(2.4-6),（1） 误差函数和互补误差函数 误差函数的定义式为,它是自变量的递增函数，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=erf(x)。称1
28、-erf(x)为补误差函数，记为erfc(x), 即,erfc(x)=1-erf(x)=,它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。,（2） 概率积分函数： 概率积分函数定义为(x)= (2.4 - 10) ,现在让我们用以上特殊函数来表示正态分布函数F(x)。 若对式（2.4 - 6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/， 就有dz= dt，再与概率积分函数定义式（2.4 - 10）联系，则F(x)= (2.4 - 11) 若对式（2.4 - 6）进行变量代换， 令新积分变量t=(z-a)/ ，就有dz= dt，再利用式（2.4
29、 -6 ），则不难得到,(2.4-6),由上式可以推出：用误差函数或补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。,F(X)=,2.4.3 高斯白噪声信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声：它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 P()= (2.4-17) 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫（W/Hz）。白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即,R( ) =,(2.4-18),白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。,图 2 - 4 画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形（参见
30、书P42图2.6.6）。,如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。(2.4-18)由式(2.4 18)可以看出：高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。前面讨论过的热噪声和散弹噪声就是近似白噪声的例子。,2.5 窄带随机过程,随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必
31、是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2 - 6(b)所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。,图2-6 窄带过程的频谱和波形示意,窄带随机过程(t)可用下式表示: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (2.5 - 1) 等价式为 (t)=c(t)cosct-s(t)sin ct (2.5 - 2)其中，c(t)=a(t)cos(t) (2.5 - 3)s(t)=a(t) sin(t) (2.5 - 4) 式中, a(t)及(t)分别是(t)的包络函数和随机相位函数，c(t)及s(t)分别称为(t
32、)的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。,由式(2.5 1) 至 (2.5 - 4)看出：(t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性，则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。,2.5.1 同相分量和正交分量的统计特性设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为 。下面将证明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。1. 数学期望对式(2.5 2)求数学期望:E(t)=Ec(t)cosct - Es(t)s
33、inct (2.5 - 5) 由于(t)是平稳的，且均值为零，也就是说，对于任意时刻t，有E(t)0，可得,(t)=c(t)cosct-s(t)sin ct (2.5-2),Ec(t)=0Es(t)=0 (2.5 - 6) 2. 自相关函数 R(t, t+)=E(t)(t+)=Ec(t)cosct-s(t) sinctc(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+) = Rc(t,t+)cosct cosc(t+)-Rcs(t,t+)cosct sinc(t+) -Rsc(t,t+) sinct cosc(t+)+Rs(t, t+) sinct sinc(t+) (2.5-7),式中:
34、Rc(t, t+)=Ec(t)c(t+)Rcs(t, t+)=Ec(t)s(t+)Rsc(t, t+)=Es(t)c(t+)Rs(t, t+)=Es(t)s(t+) 因为(t)是平稳的，故有 R(t, t+)=R()这就要求式（2.5 - 7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔有关。若取使sinct=0 的所有t值，则式（2.5 - 7）应变为,R()=Rc(t, t+) cosc-Rcs(t, t+)sinc (2.5 - 8) 这时，显然应有 Rc(t, t+)=Rc()Rcs(t, t+)=Rcs() 所以，式（2.5 - 8）变为R() = Rc()cosc-Rcs() sinc (
35、2.5 - 9) 再取使cosct=0的所有t值，同理可求得R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (2.5 - 10),其中应有 Rs(t, t+)=Rs()Rsc(t, t+)=Rsc() 由以上的数学期望和自相关函数分析可知：如果窄带过程(t)是平稳的，则c(t)与s(t)也必将是平稳的。 进一步分析， 式（2.5 - 9）和式（2.5 - 10）应同时成立， 故有 Rc()=Rs() (2.5 - 11)Rcs()=-Rsc() (2.5 - 12) 可见，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有,Rcs()=Rsc(-) 将上式代入
36、式（2.5 - 12），可得Rsc()=Rsc(-) (2.5 - 13) 同理可推得 Rcs()= Rcs(-) (2.5 - 14) 式（2.5 - 13）、（2.5 - 14）说明:c(t)、s(t)的 互相关函数Rsc()、Rcs()都是的奇函数，在=0时，Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是， 由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到,R(0) = Rc(0) = Rs(0) (2.5 - 16)即 (2.5 - 17) 这表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。 因为(t)是平稳高斯过程，所以(t)在任意时刻的取值都是
37、服从高斯分布的随机变量，故在式（2.5 - 2）中有,R() = Rc()cosc-Rcs() sinc (2.5 - 9),R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (2.5 - 10),(t)=c(t)cosct-s(t)sin ct (2.5-2),取t=t1=0 时，(t1)=c(t1)取t=t2=/(2c)时，(t2)= -s(t2)所以c(t1)，s(t2)也是高斯随机变量，从而c(t)、 s(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.5 - 15）可知，c(t)、 s(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，因而它们还是统计独立的。 重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)
38、，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。,2.5.2 包络和相位的统计特性由上面的分析可知，c和s的联合概率密度函数为f(c, s)=f(c)f(s)=,设a(t),(t)的联合概率密度函数为f(a,)，则利用概率论知识， 有f(a, )=f(c, s),根据式(2.5 3)和式(2.5 4)在t时刻随机变量之间的关系 c(t)=a(t)cos(t)s(t)=a(t)sin(t),得到,cos sin -asin acos,=,于是,f(a,) =af(c, s) =,注意：这里a0, 而在(
39、0，2)内取值。 再利用概率论中边际分布知识，将f(a,)对积分， 可求得包络a的一维概率密度函数为,=a ,a服从瑞利分布。当发射机和接收机之间没有很强的视距传播路径时，瑞利分布是一个很好的信道传播模型。如市区街道的信道条件：高楼会阻碍视距传播路径，而且信号被各种物体反射，无直射波。同理，f(a, )对a积分可求得相位的一维概率密度函数为 f()=,服从均匀分布。,综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零， 方差为 的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即f(a,)=f(a)f()
40、 (2.5 - 23),2.6 正弦波加窄带高斯噪声,信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。通信系统中常遇到的一种情况是正弦波加窄带高斯噪声的合成波。下面讨论合成信号的包络和相位的统计特性。 ,其中，n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct 为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为n2 。正弦信号的幅度为A, c均为常数，是在(0, 2)上均匀分布的随机变量。 于是r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct=zc(t)cos
41、ct-zs(t) sinct=z(t)cosct+(t) (2.6 - 2),式中 zc(t)=A cos+nc(t) (2.6 - 3)zs(t)=A sin+ns(t) (2.6 - 4),设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t) (2.6 - 1),合成信号r(t)的包络和相位为 z(t)=,利用上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，故有 Ezc=AcosEzs=Asin,zc(t)=A cos+nc(t) zs(t)=Asin+ns(t),在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为 f(zc, zs/)=,利用上一节相似的方法，根据式（
42、2.6 - 3）、（2.6 - 4）可求得在给定相位的条件下的z和的联合概率密度函数为,f(z, /),= zf(zc, zs/),求条件边际分布，有,由于,故有,零阶修正贝塞尔函数,当x0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。f(z/)= 由上式可见，f(z/)与无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为,这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯(Rice)密度函数。在郊区环境中的信道模型可用莱斯分布描述：阻碍信号的物体较少，多径信号包括一条很强的视距传播路径以及少量反射路径。 （2.6-8）式存在两种极限情况：,(2.6-8),（1） 当信号很小，A0，即信号功率与噪声
43、功率之比 时，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.6 - 8）近似为瑞利分布，即由莱斯分布退化为瑞利分布。 （2）当信噪比r很大时，有 ，这时在zA附近， f(z)近似于高斯分布，即信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关：小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 2 - 7（a）给出了不同的r值时f(z)的曲线。,图 2 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布,关于信号加噪声的合成波相位分布f()，由于比较复杂， 这里就不再演算了。f()也与信噪比有关：小信噪比时，f()接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯
44、噪声为主的情况；大信噪比时，f()主要集中在有用信号相位附近。 图 2 - 7（b）给出了不同的r值时f()的曲线。,2.7 随机过程通过线性系统,线性系统：,时不变系统：,物理上可实现系统：输入出现之前，不能有输出，即,通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统后，输出过程将是什么样的过程？只考虑平稳随机过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即,
