1、习 题 课,概率论基础,一、内容小结 二、作业、大作业点评 三、典例分析,1. 基本概念,随机试验,样本空间, 样本点,随机事件,概率,条件概率,几何概率;事件的互不相容,事件的独立性.,A与B互不相容 AB= A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B),2. 事件间的基本运算,注:当P(A),P(B)0两者不能同时成立,一、内容小结,3. 概率的计算方法, 直接计算,注:放回抽样,不放回抽样, 利用公式,条件概率公式,乘法公式,加法公式,分子分母针对同一样本空间.,重要技巧,贝叶斯公式,全概率公式,事件的独立性,这是A,B,C全部发生的对立事件，它表示的是A,B,C不都发生（至少有一个不发
2、生）,P27T2(3) 表示A,B,C都不发生,2.P27T2(2) 表示A,B,C恰有一个发生,注：,二、作业点评,P27T5 A,B 为两事件，P(A)=0.6 P(B)=0.7 (1)问在什么条件下,P(AB)取得最大值？最大值是多少？ (2)问在什么条件下,P(AB)取得最小值?最小值是多少？,此时，P(AB)=1.3-0.7=0.6。,解：,对吗？,7、从一批由1100件正品，400件次品组成的产品中任取200件.求： (1)恰有90件次品的概率;(2)至少有两件次品的概率。,（2）,解:（1）样本空间：,记A:“恰有90件次品”,记B:“至少有两件次品”,8、在房间里有10个人，分
3、别佩带从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小号码为5的概率。(2)求号码全为偶数的概率。,(2)号码全为偶数，即从2，4，6，8，10里选三个，,(1)最小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个,分析：,所求概率为:,样本空间：,所求概率为：,解法二: 分末位0和末位不为0两种，组成一个偶数四位数有种.,任取4个不同数字排成一列共有： 种,9、在0，1，2，3，9共10个数字中，任取4个不同数字排成一列，求这4个数字能组成一个偶数四位数的概率。,解法一: 组成一个偶数四位数有:,解：设事件“组成一个偶数四位数”为A,10、求10人中至少有两人出生于同一月份的概率。
4、,=0.996,解：记： “10人中至少有两人出生于同一月份”,11、 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,请思考：还有其它解法吗？,样本空间总数:,【解】,事件A:4只恰成1双或恰成2双.,4只恰成1双的取法:,4只恰成2双的取法:,12、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。,杯中最多有两个球时，概率为：,杯中最多有三个球时，概率为：,解：杯中最多有一个球时，概率为：,P28T13 某货运码头仅能容一船卸货,而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时。设甲、乙两船在24小时内随时可能达到，求它们中任
5、何一船都不需要等待码头空出的概率。,设甲、乙两船到达码头的时刻分别为x，y，则其样本空间为S=(x,y)|0x,y 24,所以所求为几何概率.,设事件A=“甲、乙两船中任何一船都不需要等待码头空出”，,A为如图绿色部分，于是,则x，y满足,解,甲先到,随机地向半圆 内掷一点,求原点与该点的连线与x轴的夹角小于 的概率。,分析:如图半圆区域为样本空间S,设事件A为所掷点与原点的连线与Ox轴的夹角小于/4 ，A为如 图红色阴影部分,P28T15,16、已知,解：,=0.7-0.5=0.2,P29T20 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。,设
6、Ai=“某人第i 次接通电话” (i =1,2,3)，A=“某人拨号不超过三次而接通电话”，则,注：1）根据实际情况， “随意拨号”暗含着“不重复拨号”；2）主要是根据实际意义，会表示事件。,解：,P29T21 一批零件共100个,其中次品10个.每次从其中任取一个零件 , 取出的零件不再放回. 用两种方法计算： (1)求第三次才取到正品的概率;(2)求第三次取到正品的概率.,样本空间S取为100个零件取3个的所有情形.,解 :设事件Ai=“第i次取到正品”（i=1，2，3）。,直接用古典概型公式来做,法一：,考虑顺序,法二:,用乘法公式，全概率公式来求,且两两互不相容，所以由全概率公式得,考
7、虑顺序,用全概率公式:,解：设A=“从甲袋中取出白球一只”， B=“从乙袋中取到白球”.,所有可能的通路,P28T23 如图,1,2,3,4,5表示继电器接点.假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器接点闭合与否相互独立,求L至R是通路的概率.,设A=“L至R是通路” , Bi=“第i 个接点闭合”,i=1,2,5,法一:,解：,常规思路,广义加法公式,直观,麻烦,利用全概公式，巧！,不考虑B3即包含 了B3的通与不通,P28T23,三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,将三人编号为1,2,3，,所求为P
8、(A1A2A3),记Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,解：,已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,P(A1A2A3),=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),n个独立事件和的概率公式,也相互独立,P29T24,解: 设A=”抽出的是男性”, B=”抽出的是色盲”. 所求为:,25、已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者, 求此人是男性的概率.,利用贝叶斯公式:,P28T26 甲,乙，丙三人向靶子各射击一次,结果有2发子弹击中靶子.已知甲,乙丙击中靶子的概率分别为4/5,3/4
9、,2/3;求丙脱靶的概率.,设A,B,C分别为事件“甲,乙丙击中靶子”，事件“2发子弹击中靶子”为D，则所求为,解:,根据有限可加性及独立性，有,注：A,B独立,则P(AB)=P(A) P(B)=0.020, 则A,B相容,一 是非题,大作业点评,解得 x=1/4,二、选择题,三、填空题,注：7层楼共有6层下人，4名乘客，因此所有的下楼可能为64，所求概率为每一层至多由一个顾客下的概率，可能为P64,因此所求概率为,解：设A=“他知道正确答案”，B=”他答对”，则所求为P(A|B),由贝叶斯公式得,设E=通路，A,B,C分别表示 元件未损坏，则,解:,四 解答题,五,四、4,注意样本空间的划分
10、,导致结果发生的有4个事件,例1：设A, B为二相互独立的事件，P(AB)=0.6, P(A)=0.4, 求P(B)。,解法一：,解法二：,解法三：由已知，P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=0.4P(B),如图B-A=(A B)-A,P(B-A)=0.6-0.4=0.2,P(B)=P(AB)+P(B-A)=0.2+0.4P(B) 所以 P(B)=1/3,三、典例分析,例2 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统()和()，每种系统单独使用时，系统()和系统()的有效概率分别为0.92和0.93，在系统()失灵的情况下，系统()仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概
11、率。,记A=“系统() 有效”,B=“系统()有效”,由已知,解:,例3 某地区一工商银行的贷款范围内,有甲、乙两家同类企业。设一年内甲申请贷款的概率为0.25，乙申请贷款的概率为0.2，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1，求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。,解: 设事件A=“甲申请贷款”,事件B=“乙申请贷款”,例4 任意将10本书放在书架上.其中有两套书,一套3卷, 另一 套4卷.求下列事件的概率:,3卷一套的放在一起;,(3) 两套各自放在一起;,(4) 两套中至少有一套放在一起;,(5) 两套各自放在一起,还按卷次顺序排好.,设事件A=“3卷一套的放在一起”，B
12、=“4卷一套的放在一起”，C=“两套各自放在一起”，D=“两套按卷次顺序排好”,(1) 3卷一套的放在一起,可把3卷看作一个整体,共有8个 位置,不同的放法共有8!种,3卷之间可以任意排列,共有3!种 放法,所以,(2) 4卷一套的放在一起;,(2) 同理,解:,(3) 两套各自放在一起,可把两套分别看成两个整体,则,例4 任意将10本书放在书架上.其中有两套书,一套3卷, 另一 套4卷.求下列事件的概率:,3卷一套的放在一起;,(3) 两套各自放在一起;,(4) 两套中至少有一套放在一起;,(5) 两套各自放在一起,还按卷次顺序排好.,设事件A=“3卷一套的放在一起”，B=“4卷一套的放在一
13、起”，C=“两套各自放在一起”，D=“两套按卷次顺序排好”,(2) 4卷一套的放在一起;,解:,例5 设由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2%,10%,90% 的概率分别为0.8,0.15,0.05. 随机独立地取三件,发现均为好的,求此时损坏为2%的概率(设物品数量很多,取出一件不影响再次抽取的概率),设“取三件均为好的”记为事件B，则,解: 设“损坏2%,10%,90%”的事件分别为,易知A1，A2，A3是样本空间S的一个划分，,由贝叶斯公式，有,例6 要验收一批乐器共100件,从中随机地取3件来测试(设测试是相互独立的),若3件中任意一件音色不纯,这批乐器就拒绝接收.设一件音色不纯乐器经测试查出的概率为0.95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.若100件中有4件音色不纯,求这批乐器被拒绝接收的概率.,设B “乐器被拒绝接收”,由全概公式，得,设Ai为“所取3件有i件音色不纯”,i=0,1,2,3,则A0,A1,A2,A3是 样本空间S的一个划分。,解:,例7. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，甲乙的命中率分别为0.6和0.5,已知目标被击中，求甲击中目标的概率.,分析：这首先是一个条件概率问题.设 A，B分别代表甲乙击中目标的事件,所求为,由已知 P(A)=0.6 P(B)=0.5,同理,独立性,
