1、,概率论与数理统计,主讲教师：许永强,赣南师范学院物理与电子信息学院,课程简介,一、概率论与数理统计的诞生及应用,1. 概率论与数理统计的诞生,1654年,一个名叫梅累的爵士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念。,从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作 . 但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下
2、，作出超越这些数据范围之外的推断.,到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.,数理统计学,2. 概率论与数理统计的应用,概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,概率论与数理统计 已成为高等理、工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。,随机现
3、象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出不确定性；,第一章 概率论的基本概念,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：,1定义（Experiment ）,E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。,1 、 随 机 试 验,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
4、,E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,这些试验具有以下特点：,（2）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；,（3）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。,（1）可以在相同的条件下重复进行；,称具备上面三个特点的试验为随机试验。,问题 随机试验的结果?,一、 样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为S 。样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,2、样本空间、随机事件,实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.,实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的
5、点数.,实例3 记录某城市120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.,实例4 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.,要求：会写出随机试验的 样本空间。,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.,课堂练习,2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空 间也不同.,例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为,若观察出现正面的次数 , 则样本空间为,说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为
6、 E 的 随机事件，简称事件。并以大写英文字母 A, B, C, 等等，来表示事件,二、 随 机 事 件,例如：S4 中,事件 A=2,4,6 表示 “出现偶数点”;,事件 B=1,2,3,4 表示 “出现的点数不超过4”.,基本事件 : 由一个样本点组成的单点集；,必然事件 : 样本空间 S 本身；,不可能事件 : 空集。,必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.,三、 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,1) 包含关系,四 、 事件间的关系与运算,如果
7、A发生必导致B发生，则,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现。,2) 和（并）事件,事件 发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .,S2 中事件A=HHH,HHT,HTH,HTT, B=HHH,TTT,3) 积（交）事件,事件 发生当且仅当A , B 同时发生.,考察下列事件间的包含关系：,4) 差事件,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,5) 互不相容,6) 对立事件,请注意互不相容与对立事件的区别！,例如，在S6 中,事件 A=t|t1000,表示 “灯泡是次品”,事件 B=t|t 1000,表示 “灯泡是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“灯泡是一级品
8、”,则,表示 “灯泡是合格品但不是一级品”;,表示 “灯泡是是一级品” ;,表示 “灯泡是合格品”.,7) 随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,结合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,习题1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的 运算关系表示下列各事件.,（1）A 发生.,(2) A 发生，B 与 C 都不发生.,(3) A ,B , C 都发生.,(4) A ，B , C 至少有一个发生.,(5) A ，B , C 都不发生.,(6) A ，B , C 不多于一个发生.,(7) A ，B , C 不多于两个发生.,(8) A ，B , C 至少有两个发
9、生.,3、 频 率 与 概 率,1） 频率的定义和性质,定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,它具有下述性质:,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,重要结论,频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频
10、繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,2） 概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件 A 的概率，要求集合函数 P( . ) 满足下列条件：,3 ） 概率的性质与推广,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,解,1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,3） 排列： (1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取 r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,补充排列组合公式,2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,4）组合： （1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,说明 ：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,（2）多组组合：把n个不同元素分成k组 , 使第 组有 个元素， ，若组内元素不考 虑顺序，那么不同分法有 种。,（3）常用组合公式：,说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题 是很重要的。,
