1、第1章 经典数字信号处理,-本科相关知识的回顾 （信号与系统、数字信号处理）,信号滤波:滤波器的设计，以突出感兴趣的信号。它的一些应用为：滤除不需要的背景噪声；去除干扰；频带分割。信号分析：信号特性的提取，如频域运算DFT、FFT等。（信号变换） 应用领域-频谱分析；信号特征的提取与识别；目标检测。,1.1 线性移不变系统(数字系统),线性系统要同时满足叠加性与齐次性,1）线性,1.1 线性移不变系统(数字系统),2）移不变,(1) y(n)= 2x(n)+3解：令：输入为 x( n -n0 )，输出为 ， 因 故该系统是时不变的。又因为故该系统是非线性系统（不满足线性叠加原理）。,例 设系统
2、分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性时不变的？,其他例子：,(2）y(n)= x(n-n0) ， n0为整常数,解： 这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。,令输入为,输出为 因为,故延时器是一个时不变系统，又因为,故延时器是线性系统。,(3) y(n)= x(n)sin(n),解： 令输入为,输出为 因为,故系统不是一个时不变系统，又因为,故系统是线性系统。,1.1 线性移不变系统(数字系统),3）输入与输出之间的关系,线性卷积和,1.1 线性移不变系统(数字系统),4）稳定性,1.1 线性移不变系统(数字系统),非因果
3、,5）因果性,例：系统输入输出之间的关系y(n)=2x(n-1)是因果的吗？输出y (n)仅依赖于过去时间的输入信号，所以系统是因果系统。,例：系统输入输出之间的关系y(n)=2x(n+1)+x(n-1)是因果的吗？输出y (n)还依赖于将来时间的输入信号，所以系统是非因果系统。,解：（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻和n时刻以前的输入有关。如果x(n)M ，则y(n)M，因此系统是稳定系统。,（2）如果x(n)M , 因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。,（3）当n00时，系统是非因果系统，因为n时刻输出和n时刻以后的输入有关。当n00时，
4、系统是因果系统。如果x(n)M，y(n)M,因此系统是稳定的。,因果性：输出只与n时刻和n时刻以前的输入有关,稳定性：如果x(n)M(输入有界)，有y(n)M（输出有界）,系统稳定性、因果性的判定：,系统的两大功能：,信号变换（离散傅里叶变换DFT） 信号滤波(FIR DF IIR DF),1.2 信号变换,举例： “横看成岭侧成峰”从不同的角度观看同一事物（如信号），有助于我们更清楚地了解该事物。 在时域和频域对信号进行观察，采用的 手段就是：变换,时域离散信号（序列）的变换,z变换-复频率域 离散Fourier变换-频率域（z变换在单位圆上的特例）,1.2.1 序列的z变换,1、有限长序列
5、,因果序列，非零值全在正半轴,2、右边序列,纯左边序列，非零值全在负半轴,3、左边序列,4、双边序列,例：x(n)=1。该序列为因果序列和非因果序列之和，那么收敛域为两个序列收敛域的交集，交集是空集，故z变换不存在。,例 求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极、零点分布图：,解：（1）,零、极点图和收敛域如右图所示，图中z=1处的零、极点相互对消。,Z变换的定义，零极点定义,（2）令 则,因为,那么,极点为： z1=0,z2=1,零点为：zk= ，k=0，1，2，3 在z=1处的极、零点相互对消，收敛域为0z，极、零点分布图如右图所示。,宽度度为2N的三角形序列可用两个宽度为N的矩形
6、序列相卷积得到,Z变换性质,1.2.2 序列的fourier变换,信号的时域特征信号的频域特征 信号的时间函数信号的频率函数,非周期连续信号的傅里叶变换-连续时间、连续频率,时域连续造成频域非周期， 时域非周期造成频域连续。,周期连续信号的傅里叶级数-连续时间、离散频率,时域连续造成频域非周期，时域周期造成频域离散。,非周期序列的傅里叶变换-离散时间、连续频率,时域的离散化造成频域的周期延拓，时域的非周期造成频域的连续,周期序列的离散傅里叶变换(周期序列的一个周期) -离散时间、离散频率,时域的离散造成频域的周期延拓，时域的周期造成频域的离散。,四种傅里叶变换形式的归纳T=TS,时域间隔TS频
7、域周期s,时域周期(信号周期)T0频域间隔0,数字信号处理的默认设置,1）周期序列-DFT 2）非周期序列-实际工程中，只存在有限长序列。默认：将该有限长序列看作周期序列的一段周期T0=NTS,则有限长序列也对应于DFT,1.2.3 有限长序列的DFT,FTDFT即频域离散化k=k*2/N,例: 下图为一矩形序列，其DTFT X(e j)可如下计算,利用1=e jM/2 e jM/2 和 e jM = e -jM/2 e jM/2，则,1.2.4 DFT/DF与ZT之间的关系,但两种变换之间也存在差异:1)X(e j)和X(z)都存在。只有当单位圆|z|=1在收敛域中时，才有,例：x(n)=0
8、.5n u(n),其z变换X(z)=z/(z-0.5)，|z|0.5。单位圆在收敛域内，此时,客观世界的事物往往不是很纯净，受到其他事物的干扰和影响，使我们无法看到事物的原始风貌，更不用说从不同角度去观察了。 所以，在观察之前，还必须保证研究对象的纯净，采用手段就是：滤波,1.3 信号滤波,1.3 信号滤波,数字系统的两大类：信号变换与信号滤波 滤波器：用于信号滤波的系统 滤波器的分类：FIR滤波器、IIR滤波器,1.3.1 滤波器的输入输出关系-卷积,卷积 线性卷积：输入信号是无限长非周期序列 循环卷积：输入信号是周期序列/有限长序列 两者相等的充要条件；LM+N-1 L-循环卷积的周期 M
9、-线性卷积时，输入序列x(n)的长度 N-线性卷积时，系统冲激响应h(n)的长度,线性卷积,序列翻转 序列移位 序列相乘 乘积和,循环卷积/圆周卷积,循环卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）循环翻褶 4）循环移位（取主值序列） 5）两序列相乘 6）各乘积的累加和,N,N,N,1.3.2 滤波器系统的表征,滤波器的常系数线性差分方程（时域表征）:,滤波器的系统函数和频率响应函数（频域表征）：,1)系统函数的零点z1=ej1在单位圆上：,2)系统函数的极点p1= ej1非常靠近单位圆上（从稳定性考虑，不能在单位圆上）， 接近于1。那么，在=1处|ej-p1|非常小，所以幅度频率响应值非常大。,
10、零点的位置频响的谷点位置, 限制特定频率通过。,极点的位置频响的峰值位置。强化特定频率通过。,3)系统函数的零极点在原点，由于零点矢量或者是极点矢量的长度始终为1，因此原点处的零极点不影响频率响应。,例：已知H(z)=z-1，分析其频率特性。解：由 H(z)=z-1，可知极点为z=0，幅度特性|H(e j)|=1，相位特性（）=-，如下图所示。,信号的频谱范围06KHz，抽样后不会有混叠；干扰的频率为F0=1.5KHz。 1）频率指标的确定：因为要滤除干扰，滤波器的理想频率响应为,满足奈奎斯特抽样定理,例：假设一音频信号s(n)，抽样频率为Fs=12KHz，它受到一窄带（非常接近弦波的信号）信
11、号w(n)的干扰，如下图所示。设计一滤波器来消除这个干扰。,其中0=2(F0/Fs)= /4弧度，是干扰的数字频率。,2）零点和极点的确定：在单位圆上设置零点z1=ej0= ej/4和z2=e-j0= e-j/4，如令极点p1=p2=0和K=1,那么系统函数:,为保证滤波器为实系数，零、极点需共轭设置,若a 、b为实数，则 z-(a+jb)z-(a-jb) =z2-2az+a2+b2 所有系数为实数！,由上图可见，该滤波器也让信号严重失真。,如果选择极点靠近零点且全部在单位圆内部，即p1=0.95ej0=0.95 ej/4和p2=0.95e-j0= 0.95e-j/4和K=0.9543,那么系
12、统函数:,为保证稳定,极点一定在单位圆内。,3）时域差分方程的确定：,例 已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。,零、极点图和收敛域，幅度频率响应如下图所示。,系统函数的极点分布系统的因果性和稳定性,系统函数可分解成下列形式：ci是H(z)在Z平面的零点，使H(ci)=0； dj是H(z)在Z平面的极点，使H(dj)= 。H(z)的收敛域：以极点为边界，但不包含这些极点, 系统是稳定的：收敛域包含单位园的环形区域； 系统是因果的：收敛域包含离原点无穷远极点； 系统是因果且稳定的：所有极点在单位园内。,H(z)的收敛域：以极点为边界，但不包含这些极点,1.5.3 滤波器的分类,II
13、R和FIR数字滤波器的比较,IIR滤波器,FIR滤波器,h(n)无限长,h(n)有限长,极点位于z平面任意位置,滤波器阶次低,非线性相位,递归结构,不能用FFT计算,可用模拟滤波器设计,用于设计规格化的选频滤波器,极点固定在原点,滤波器阶次高得多,可严格的线性相位,一般采用非递归结构,可用FFT计算,设计借助于计算机,可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器,IIR数字滤波器的基本网络结构：,直接型（简单直观；调整零极点困难，对系数的量化效应敏感）,直接型（典范型） （简单直观；调整零极点困难，对系数的量化效应敏感）,级联型（调整零极点灵活，对系数的量化效应不敏感；积累误差较大，最少的存储器）,并
14、联型（调整极点灵活，对系数的量化效应不敏感，运算速度最快，累积误差最小；调整零点困难）,FIR数字滤波器的基本网络结构（广泛应用）：,直接型（横向滤波器）：简单直观；调整零点困难,级联型（即因式分解）：能独立控制一对共轭零点；所需乘法器较多,频率采样型（需已知H(K)）：适用于构造窄带滤波器,线性相位型（所需乘法器较少，线性相位） 第一类线性相位滤波器 第二类线性相位滤波器,级联型的特例-递归型（即N点平均器）：FIR系统与一阶IIR系统的级联,线性相位FIR滤波器的结构,FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，,且满足对称条件之一：,偶对称：,奇对称：,即对称中心在 (N-1) / 2处,则
15、这种FIR滤波器具有严格线性相位。,h(n)偶对称，取“+”,h(n)奇对称，取“ ”，且,N为奇数时的FIR滤波器直接型结构,h(n)偶对称，取“+”,h(n)奇对称，取“ ”，且,N为偶数时的FIR滤波器直接型结构,N为奇数时的FIR滤波器特性,N为偶数时的FIR滤波器特性,窗函数法设计线性相位FIR滤波器,1) 理想滤波器的频率响应函数及技术指标,2) 理想滤波器的单位抽样响应hd(n),3)根据阻带衰减选择窗函数w(n),6)计算频率响应 ,验算指标是否满足要求,4)根据过渡带宽度确定N值:N=A/,5)求实际FIR滤波器的单位抽样响应（截断）,理想滤波器：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器,理想低通滤波器的时频表征,理想高通滤波器的时频表征,理想带通滤波器的时频表征,理想带阻滤波器的时频表征,
