1、第二章 刚 体,2.1 刚体的定轴转动2.2 刚体定轴转动定律及其应用2.3 对定轴转动的角动量守恒2.4 刚体定轴转动的功和能,一、刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。,1 平动（translation）时，刚体上所有点运动都相同。,二、平动与转动,A,B,C,A,A,B,B,C,C,用质心的运动来代表,2.1 刚体的定轴转动 2.1.1 平动和转动,平动和转动，可以描述所有质元（质点）的运动。,2 转动（rotation）,最简单的是定轴转动（ fixed axis of rotation ),A0 (t=0),A,A,1. 角速度(angular
2、velocity),: 位置角,：角位移 (angular displacement),单位：弧度,2.1.2 角速度和角加速度,A0 (t=0),A,A,角速度(angular velocity),大小：,方向：,与转动方向成右手螺旋关系,转速 n（转分）( rmin),2. 角加速度(angular acceleration),(弧度s2),3.角量与线量的关系,定轴转动,例: 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。 (1)求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； (2)求制动开始后t=25 s时飞轮的角速度； (3)设飞轮的半径r=1m，求在
3、t=25 s时边缘上一点的速度和加速度。,解:(1)设初角速度为0,方向如图 量值为0=21500/60=50 rad/s 在t= 50s时刻, = 0 , 代入方程 = 0 + t 得,从开始制动到静止,飞轮的角位移及转数N分别为,(2) t=25 s 时飞轮的角速度,的方向与 0相同;,(3) t=25 s 时飞轮边缘上一点P的速度 可由,求得。所以,方向如图,相应的切向和法向加速度分别为,的方向几乎和 相同,转轴,mi,ri,一、刚体的角动量（angular momentum),若质量连续分布,2.1.3和2.1.4 定轴转动刚体的转动惯量和角动量,二、转动惯量 I (rotation
4、inertia),1. 定义, 刚体的转动惯量,离散型质量分布,m1,m2,m3,m4,r1,r2,r3,r4,单位：千克米2kg m2,讨论,1 r :dm 到转轴的垂直距离,设刚体的密度为,2 I 是由刚体各质元相对于固定轴的分布决定的，与刚体的运动及所受的外力无关。,（1）与刚体的质量有关,（2）质量一定时，I 与质量的分布有关,（3）与转轴位置有关,3 回转半径 rG,从旋转效应上看：物体的质量好象集中在离轴距离为 rG 的一个圆周上。,三、转动惯量的计算,例：求均匀细杆的转动惯量（长 l，质量 m，转轴 O）。,O,解：,x,dm,线密度,dm = dx,若转动轴在杆的中心,例：求质
5、量为 m ,半径为 R 的匀质薄圆环的转动惯量。（轴与圆环平面垂直，并过圆心）,O,解：,dm,圆筒,例：求质量为 m,半径为 R 的匀质薄圆盘的转动惯量。（轴与圆盘平面垂直，并过圆心）,解：,r,例：求质量为 m, 半径为 R、厚度为 l 的匀质圆盘的转动惯量。（轴与圆环平面垂直，并过圆心）,解 ：,均匀球体绕直径转动时的转动惯量J,已知：球体的质量m，半径R，转轴为直径求J,解：思路利用圆盘结果 如图取,.,z,dz,2 平行轴定理,O,O,质心 C,mi,x,d,ri,ri,i,xi,mi相对于质心的 x 坐标,C,通过质心的轴比其他平行于该轴的I最小,均匀细杆长L,绕过中点(质心)和端
6、点的轴的转动惯量,两轴相距d=L/2,它们正好符合平行轴定理,验证平行轴定理,质心C,一、刚体的定轴转动定律,对质点,对定轴转动的刚体,1 一对内力的力矩的大小,O,=0,合外力矩,对力矩的讨论,2.2 刚体的定轴转动定律及应用 2.2 .1 刚体的定轴转动定律,2 若外力在垂直于转轴的平面内,3 若外力不在垂直于转轴的平面内,平行于转轴，不会使刚体绕轴转动,刚体的定轴转动定律,讨论：1,M 相同，I 越大， 越小， I 反映了定轴转动刚体的惯性。,2 M，两者方向相同。,3 转动第一定律,M = 0， = 0,刚体保持原有的角速度不变。 静止的仍静止，转动的保持角速度不变。,例：已知：轮 R
7、 = 0.2m ,物体质量 m =1kg , v0= 0,h = 1.5m,绳子与轮子间无相对滑动，绳子不可伸长，下落时间 t = 3s，求：轮对O 轴的转动惯量 I =？,解：,m,对轮： T R = I ,对m : mg T = m a,2.2.2 转动定律应用举例,=1.14 （kg m2）,分析：,1.单位对；,2. h、m 一定，,，正确。,3.若I = 0 ，得,I t ，合理；,例：长度为 l，质量为 m 的均匀细棒，在竖直平面内摆动。棒最初处于水平位置，求它下摆到角时的角加速度和角速度。,解：,dm,x,由转动定律,例 匀质园盘(m,R), 初角速度 不计轴承处的摩擦,如空气对园盘表面每单位面积摩擦力正比于该处速率 f=kv(k为常数)求 1)园盘所受空气阻力矩 2)园盘停止前转数?,r,dr,解,1) 取细园环,环上受阻力矩,2) 根据转动定律,
