《自动控制原理》(第二版)第四章 根轨迹hb.ppt

1、自动控制原理（第二版）,第四章 根轨迹,自动控制原理,4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本法则 4.3 广义根轨迹 4.4 利用根轨迹分析系统性能,4 根轨迹法,4 根 轨 迹 法,根轨迹法: 三大分析校正方法之一特点： （1）图解方法，直观、形象。（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。,4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹：系统某一参数由0 变化时，l在s平面相应变化所描绘出来的轨迹。,4.1.1 根 轨 迹,例1 系统结构图如图所示，分析l 随开环增益K 变化的趋势。,解.,4.1.1 根 轨 迹,例1,4.1.2 根轨迹

2、系统性能,4.1.3 闭环零点与开环零、极点之间的关系,闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关,系统结构图如图所示，确定闭环零点,4.1.4 根轨迹方程（1）,根轨迹方程及其含义,4.1.4 根轨迹方程（2）,一般情况下, 模值条件, 相角条件,4.1.4 根轨迹方程（3）,例2 判定si是否为根轨迹上的点。,模值条件,解.,相角条件,4.1.4 根轨迹方程（3）,例2 判定si是否为根轨迹上的点。,模值条件,解.,相角条件,4.1.4 根轨迹方程（4）,重要结论：,对s平面上任意的点，总存在一个 K*，使其满足模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。

3、s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条件）一定在根轨迹上。满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（1）,法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（2）,法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数=开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。,法则3 实轴上的根轨迹： 实轴上的某一区域内任意一点，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。（从实轴上最右端的开环

4、零、极点算起，奇数开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。）,4.2 绘制根轨迹的基本法则（3）,例3 某单位反馈系统的开环传递函数为，证明复平面的根轨迹为圆弧。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（4）,例3 某单位反馈系统的开环传递函数为，证明复平面的根轨迹为圆弧。 系统性能分析,4.2 绘制根轨迹的基本法则（5）,定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（6）,法则4 渐近线：当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 、交点为 的一组渐近线趋向于无

5、穷远处，,n m时，n-m条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。,例1 系统开环传递函数为,，试绘制根轨迹 。,解. 实轴上的根轨迹：-2，0, 渐近线：,4.2 绘制根轨迹的基本法则（9）,法则6 分离点:两条或两条以上根轨迹分支在S平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d:,（对应重根）,4.2 绘制根轨迹的基本法则（7）,例2 系统结构图如图所示，绘制当K*= 0时系统的根轨迹,解., 渐近线：, 实轴上的根轨迹：-4,-2, -1,0,分离点：,4.2 绘制根轨迹的基本法则（9）,法则6 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程

6、中令 ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交点的坐标值及其相应的 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 值下处于临界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 值。此处的根轨迹增益称为临界根轨迹增益。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（10）,例3 单位反馈系统的开环传递函数为,解., 渐近线：, 实轴上的根轨迹：-,-2, -1,0,，绘制根轨迹。, 分离点：,整理得：,解根：, 与虚轴交点：?,4.2 绘制根轨迹的基本法则（11）,解法I ：,Routh ：,解法II ：,稳定范围 ：0K3,4.2 绘制根轨迹的基本法则（9）,法则7： 根轨迹的起始角和终止角：根轨

7、迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 表示。起始角、终止角可直接利用相角条件求出。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（12）,解 将开环零、极点标于s 平面上，绘制根轨迹步骤如下： 实轴上的根轨迹： 起始角和终止角：,例4 单位反馈系统的开环传递函数为,，绘制根轨迹。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（9）,4.2 绘制根轨迹的基本法则（8）,法则8 根之和： 当系统开环传递函数G(s)H(s)的分子、分母阶次差（n-m）大于等于2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。式中， 为系统的闭环极点（特征根），为系统

8、的开环极点。,证明：,由代数定理：,n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。,4.2 绘制根轨迹的基本法则（10）,例3 单位反馈系统的开环传递函数为,解., 渐近线：, 实轴上的根轨迹：-,-2, -1,0,，绘制根轨迹。, 分离点：,整理得：,解根：, 与虚轴交点：?,4.2 绘制根轨迹的基本法则（11）,解法I ：,Routh ：,解法II ：,稳定范围 ：0K3,4.2 绘制根轨迹的基本法则（9）,根轨迹与虚轴的交点为 ， 对应的根轨迹增益为 ， 因为当 是系统稳定， 故为临界根轨迹增益，根轨迹 与虚轴的交点为对应的两个闭环极点， 第三个闭环极点可由根之和法则求得

9、：,4.2 绘制根轨迹的基本法则（9）,4.3 广义根轨迹,例2 系统开环传递函数,解. (1), 渐近线：, 实轴根轨迹：-,0,，a=0 变化，绘制根轨迹；x=1时， F(s)=?,4.3.1 参数根轨迹 除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹,构造 “ 等效开环传递函数 ”,4.3 广义根轨迹, 分离点：,整理得：, 与虚轴交点：,4.3.1 参数根轨迹（1）,解. (2) x=1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27,4.4 利用根轨迹分析系统性能,4.4.2 开环零、极点分布对系统性能的影响 1.增加开环零点对根轨迹的影响增加一个开环零点使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能，而且，开环负实零点离虚轴越近，这种作用越显著；若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消。因此，可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。,4.4 利用根轨迹分析系统性能,4.4.2 开环零、极点分布对系统性能的影响 2.增加开环零点对根轨迹的影响增加一个开环极点使系统的根轨迹向右偏移。这样，降低了系统的稳定度，不利于改善系统的动态性能，而且，开环负实极点离虚轴越近，这种作用越显著。,