1、第 6 章 三维图形表达,三视图缺乏空间立体感 常采用立体感较强的轴测投影对物体进行辅助表达,6.1.1 轴测投影的基本知识,轴测投影（轴测图）是应用平行投影法将物体沿不平行于任一坐标面（附着在物体上的空间直角坐标系）的方向进行投射而得到的投影。,6.1.1.1 轴测投影的形成,轴测轴：物体坐标系的三根坐标轴OX1、OY1、OZ1在轴测投影面上的投影OX、OY、OZ。,6.1.1.2 轴测轴、轴间角 和轴向伸缩系数,轴间角 ：轴测轴OX、OY、OZ之间的夹角。,轴向伸缩系数：与物体坐标系的坐标轴平行的线段，其轴测投影的长度与原线段长度的比值称为轴向伸缩系数。用p1、q1、r1分别表示OX、OY
2、、OZ三个轴向的伸缩系数。,轴测投影图根据投射方向不同，分为正轴测图和斜轴测图两大类。,6.1.1.3 轴测投影图的种类,每一类又根据轴向伸缩系数的不同而分成三小类：,等测图：三个轴向伸缩系数均相等。 二测图：两个轴向伸缩系数均相等。 三测图：三个轴向伸缩系数互不相等。,常用的是正等轴测图（正等测）和斜二轴测图（斜二测）。,6.1.1.4 轴测图的投影特性,物体上相互平行的直线，其轴测投影也相互平行。 物体上与坐标轴平行的直线，其轴测投影与相应的轴测轴平行。 与坐标轴平行的直线段，其轴测投影的变化率与相应的伸缩系数相同。,6.1.2 正等轴测图,当空间三根相互垂直的坐标轴与轴测投影面的倾角相等
3、时，形成了正等轴测投影，简称正等测。,6.1.2.1 正等测的轴间角和轴向伸缩系数,三个轴间角均为120 轴向伸缩系数为0.82 通常使用简化伸缩系数：1,6.1.2.2 平面立体的正等测画法,坐标法：根据各点的坐标值，沿着轴测轴方向进行度量，从而得到各点的轴测投影，再连轮廓线。,6.1.2.2 平面立体的正等测画法,切割法：对于切割形体，可先画出形体在未切割时的轴测图，再对其进行切割。,6.1.2.2 平面立体的正等测画法,叠加法：将叠加而成的组合体分成若干基本形体，分别画出各部分的轴测图并组合起来。,6.1.2.3 曲面立体的正等测画法,常用曲面立体为回转体，它们的轴测图主要涉及到圆的轴测
4、图画法。对于其他曲面立体，可用坐标法逐点作图来绘制轴测图。,6.1.2.3 曲面立体的正等测画法,1平行于坐标面的圆和圆弧的正等轴测图 -菱形四心椭圆法,6.1.2.3 曲面立体的正等测画法,圆弧（圆角）正等测的简化作图,6.1.2.3 曲面立体的正等测画法,2曲面立体的正等测 （1）圆柱的正等测：根据圆柱的直径和高，先画出顶面椭圆，再用移心法画底面椭圆的下半椭圆（移心距离即为圆柱高度），然后作椭圆公切线（长轴端点连线）即可。,6.1.2.3 曲面立体的正等测画法,(2)圆台的正等测,(3)圆球的正等测,6.1.2.3 曲面立体的正等测画法,(4)圆环的正等测,6.1.2.3 曲面立体的正等测
5、画法,3正等测综合举例 作轴承座的正等轴测图。,作物体的轴测图时，应从上部或前部开始画，这样不可见的轮廓线可不必画出，以减少作图线，使图面清晰。,6.1.3 正二轴测图,在正轴测投影中，如果只有两根轴的轴向伸缩系数相等，称为正二等轴测投影，简称正二测。,正二测的伸缩系数和轴间角,6.1.4 斜二轴测投影图,物体坐标系与投影坐标系处于平行位置，此时将物体进行斜投影所得到的图形称为斜轴测投影图。常用的为斜二测。,斜二测的伸缩系数和轴间角,6.1.4 斜二轴测投影图,物体坐标系与投影坐标系处于平行位置，此时将物体进行斜投影所得到的图形称为斜轴测投影图。常用的为斜二测。p=r=1,q=0.5。,斜二测
6、的伸缩系数和轴间角,6.1.4 斜二轴测投影图,立方体的斜二测,6.1.4.1 坐标面平行圆的斜二测,由于X1O1Z1与轴测投影面平行，所以该坐标面或其平行面上的圆的斜二测仍然为圆。 而其它两个坐标面的平行圆的斜二测为椭圆。 椭圆的长轴约为圆直径的1.06倍，且长轴方向不再与Z轴或X轴垂直，而是大约倾斜7。 椭圆的短轴约为圆直径的0.33倍，其方向不再与Z轴或X轴平行。,6.1.4.1 坐标面平行圆的斜二测,当物体在一个坐标面方向上的形状为圆、圆弧或复杂曲线时，采用斜二测画法就较为方便。,轴承座的斜二测,6.1.4.1 坐标面平行圆的斜二测,图a是连杆的主、俯视图。 连杆在同一方向上有圆和圆弧
7、，所以适合于斜二测。 其作图步骤如图b、c所示。 先作出各圆及圆弧的中心，再逐个作出可见的轮廓线。 在作图时，特别要注意Y1轴的轴向伸缩系数为0.5,度量尺寸时要缩小一半。,6.1.5 轴测剖视图,在轴测投影图中，为了表达物体的内部结构形状，可采用剖切画法。假想用剖切平面将物体的一部分剖去，并移去观察者与剖切平面之间的部分，然后画出轴测图。这种剖切之后画出的轴测图成为轴测剖视图。,6.1.5 轴测剖视图,方法一：先画出物体完整的轴测图，然后沿轴测方向用剖切平面把物体剖开。,6.1.5 轴测剖视图,方法二：画剖面的轴测投影，再画上可见轮廓线。该方法可以减少作图线，提高作图效率。,6.1.5 轴测
8、剖视图,轴测剖视图上剖面线的方向,正等测 正二测 斜二测,6.1.6 轴测图的选择,选择轴测图的两个基本原则是：立体感强以及作图方便。 正二测的立体感较强，但对于不同形状的物体应具体分析，但由于作图较繁，实际应用较少。 。 正等测作图较为简便；可用30、60三角尺画出所有与坐标轴平行的线；且三个坐标面上的椭圆的画法也相同。 斜二测作图也较为简便；可用45三角尺直接作图；特别对于正面形状较为复杂的物体更为方便。,6.1.6 轴测图的选择,连接块采用正等测较为合适，既能清楚地表达形状，又能方便作图。,6.1.6 轴测图的选择,凸轮由于该凸轮正面较复杂，故选用斜二测以简化作图。,6.1.6 轴测图的
9、选择,支座物体顶部有正四棱柱，若画成斜二测就有些变形；若画成正等测则有些面重合为一条线，立体感不强。因此，选用正二测。,三维建模技术研究如何合理正确地表达三维形体的几何信息，是计算机图形学的重要内容。 它被广泛地应用到艺术造型的各个领域。 它可以逼真地反映物体的外观，既可产生已有物体的真实模型，也可生成各种设计模型和艺术模型。,6.2 三维建模方法,根据对三维形体描述方法的不同，三维建模方法分成： 线框造型（Wireframe Modeling） 表面造型（Surface Modeling） 实体造型（Solid Modeling） 分形造型（Fractal Modeling）。,6.2 三维
10、建模方法,线框造型是20世纪70年代初发展应用的，70年代后期出现了表面造型。 实体造型自80年代以来得到了发展和广泛应用，并已经成为三维建模的主要方法。 随着计算机图形学的迅速发展，人们在使用计算机深入探讨一系列问题的过程中，逐渐感到，用传统的几何学已不能有效地描述自然界中大量存在的对象，如：海岸线、山形、河流、岩石、断裂、树木、森林、云团、闪电等等。 于是在70年代末80年代初，用于描述大自然和不规则形体的分形造型就逐渐发展起来了。,6.2 三维建模方法,线框造型是用顶点和基本线条（直线、圆弧等曲线）来表达物体的计算机模型。 线框造型的数据结构为两张表：顶点表和顶点连线表。,6.2.1 线
11、框造型,6.2.1 线框造型,6.2.1 线框造型,6.2.1 线框造型,线框造型结构简单，占用空间较少。 但其缺点是：表达的信息不完备。 用线框表示物体，没有面和体的概念，无法进行剖切处理，难以进行消隐，且无法表达出物体的物理参数（如质量、体积、表面积等）。 线框造型表示的物体有时具有二义性甚至是无效的。,6.2.2 表面造型,表面造型就是在线框造型的基础上，加上面的信息。 因此，在表面造型中，还要给出立体的各个面的信息表，即面表。,6.2.2 表面造型,表面造型比较完整地描述了三维立体的表面，在三维建模中具有重要的地位。 表面造型又有平面造型和曲面造型之分。 曲面造型中，常用的曲面有：Be
12、zier曲面、COONS曲面、B样条曲面、有理B样条曲面以及非均匀有理有理B样条曲面（NURBS：Non-Uniform Rational B-Spline）。,6.2.2 表面造型,NURBS造型方法已经成为自由曲线、自由曲面造型中的经典方法。 如今，NURBS造型方法已经广泛应用在各行各业中，如轿车车身的曲面造型、飞机头部的曲面造型等。 虽然如此，表面造型也存在不足。它只能描述物体的边界面，而没有表达出三维立体的内部结构特征，它仍然无法进行剖切处理，且无法表达出诸如质量、质心等物理参数。,6.2.3 实体造型,6.2.3.1 有效实体 有效实体必须具有以下性质： (1)刚性 (2)有界性
13、(3)三维性 (4)运算不变性,6.2.3 实体造型,6.2.3.2 正则集合运算 能产生正则几何体的集合运算（并、交、差）称为正则集合运算。 相应的运算称为正则并、正则交、正则差。 正则运算根据实体普通集合运算的结果，除去悬点、悬边和悬面，以形成有效的实体。,6.2.3 实体造型,6.2.3 实体造型,6.2.3.3 Euler公式和Euler运算 Euler公式设V、E、F分别表示简单多面体的顶点数、边数和面数，满足以下关系： V-E+F=2,6.2.3 实体造型,6.2.3.3 Euler公式和Euler运算 Euler-Poincare公式设L为多面体上不连通的孔环数，B为互不连接的多
14、面体数量，H为贯穿多面体的孔数，满足以下关系： V-E+F=2（B-H）+L,6.2.3 实体造型,6.2.3.4 实体造型方法 1、扫描（Sweeping）造型,6.2.3 实体造型,6.2.3.4 实体造型方法 1、扫描（Sweeping）造型,6.2.3 实体造型,6.2.3.4 实体造型方法 2、边界表示法（B-rep） 通过描述物体的边界来表达物体。,6.2.3 实体造型,6.2.3.4 实体造型方法 2、边界表示法（B-rep） 边界表示法在表达物体时，将物体的几何信息和拓扑信息分开。 便于查询物体中的各几何元素； 容易实现各种局部操作； 容易表达具相同拓扑结构的几何体； 易于在数
15、据结构上附加各种非几何信息。,6.2.3 实体造型,6.2.3.4 实体造型方法 3、CSGConstructive Solid Geometry:构造实体几何法。用简单形体的正则运算来表达复杂形体的造型方法。这些简单形体又称为体素，常用的体素有：长方体、圆柱体、圆锥体、球体、圆环体、楔体、棱锥体和扫描体等。,6.2.3 实体造型,6.2.3 实体造型,6.2.3.4 实体造型方法 在CSG法造型中，首先确定各种造型体素，然后对其进行集合运算，最后得到相应的三维实体。,6.3 综合举例,用UNIGRAPHICS软件制作的一款新型手机造型,6.3 综合举例,其造型过程为： 1、进行曲线造型，生成所需的底面曲线； 2、对底面曲线进行拉伸造型，生成相应的实体； 3、对实体各处进行圆角造型，生成所需的主要造型实体； 4、用挖切（布尔减）构造屏幕； 5、构造各按钮，并与原造型进行布尔并操作，形成最终的造型。,6.3 综合举例,一个产品的造型往往要用到各种各样的造型方法。,
