1、1,6.10 拉伸、压缩超静定问题,2,在静力学问题中，若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程数目，则仅由平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题 (statically determinate problem ) ，相应的结构称为静定结构。,P,一、静不定(超静定)的基本概念,3,若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的数目，则仅由平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题 ( statically indeterminate problem ) ，相应的结构则称为超静定结构或静不定结构。,P,R1,P,R2,R1,R2,P,R1,静不定问题,4
2、,所有静不定结构，都是在静定结构上再加上一个或几个约束，这些约束对于特定的工程要求是必要的，但对于保证结构平衡和几何不变性却是多余的，故称为多余约束。,静不定度即为求解全部未知力所需要的补充方程的个数。,多余约束与静不定度,静不定度（静不定次数）=未知力个数平衡方程数,5,例1：图示三杆桁架，1、3杆为钢杆，弹性模量为E1 ，截面积为A1 ，2杆为铜杆，弹性模量为E2 ，截面积为A2 。求各杆轴力。,二、求解静不定问题的基本方法,6,解：首先画出受力图，判断静不定度。设各杆轴力分别为FN1、 FN2、 FN3。由受力图可知，其中有三个力是未知的，而平衡方程只有两个，故为一度静不定结构。,7,由
3、,可以写出,（a）,（b）,1静力平衡关系平衡方程,8,因为结构左右对称，故受力后点A将沿铅垂方向移至点A，为保证各杆变形后仍连接于点A即保证结构的连续性，三根杆的变形必须满足关系,保证结构的连续性所应满足的变形几何关系，称为变形协调条件或变形协调方程。,2变形几何关系,l2,9,联立求解得：,所的结果为正，说明各杆的轴力均为拉力的假设是正确的。,4求各杆轴力,10,*讨论1：若 E1A1 E3A3,11,*讨论2：若 ,12,*讨论3：静不定度1,13,14,15,钢拱桥,16,17,（1）共同受力各杆的内力分配，不仅必须满足平衡方程，还与杆件的刚度比值有关。杆件的刚度愈大，则分配的内力愈大
4、。这是静不定问题区别于静定问题的第一个特点。,说明：,18,（2）解题时，为避免出错，应将内力和变形设为相同的符号，最好先画变形图。,19,1、根据结构和受力的实际情况，合理假定变形后节点的位置； 2、从变形后的节点向变形前的各杆作垂线，垂足到变形前节点之间的距离，即为各杆的变形量。,杆系结构变形图的画法：,20,【例2】图示三杆互相平行，设AB为刚性梁。求下列两种情况下1、2、3杆的轴力。 (1) 三杆EA相同 (2) E2A2 3E1A1 3E3A3,21,1平衡关系,2几何关系,3物理关系,（补充方程）,22,(1) 三杆EA相同,(拉),(拉),(拉),(2) E2A2 3E1A1 3
5、E3A3,(压),(拉),(拉),超静定问题特点之一： 内力按刚度分配。,23,(2) E2A2 3E1A1 3E3A3,(压),(拉),(拉),讨论：能否采用下面的变形图计算？,24,（平衡方程）,（补充方程）,（几何方程）,解题时最好使得： 力与变形一致。,25,各杆应力,26,（3）对静不定杆系进行截面设计时，均需先设定各杆截面积的比值，才能求出杆的内力，然后根据许用应力法设计各截面尺寸。由于各杆截面积的比值一定，因此，某些杆件将具有多余的强度储备，这是不可避免的。,27,例2 图a所示结构，杆1、杆2的弹性模量均为E，横截面积之比为1:1，横梁BCD为刚体，F=50kN，许用拉应力t=
6、160MPa，许用压应力c=120MPa。试确定各杆的截面积。,解：1、问题分析。一度静不定。由平衡方程,28,即为变形协调方程。,2、变形几何关系。由变形图可以看出,(2),4、联立求解。由(2)、(3)、(4)得,(5),29,(5),(1),5、截面设计。杆1、杆2所需的横截面积分别为：,得,由于已选定比例A1:A2=1:1，因此，应取A1=A2=383mm2。这样，杆1将具有多余的强度储备。,30,1、静力平衡关系 用截面法取出研究对象，画出受力图，列出所有平衡方程，确定结构的静不定度n。 2、变形几何关系 根据结构受力特征及约束情况，考虑结构的可能变形，画出变形图，列出n个变形协调方
7、程。,解决静不定问题的步骤：,31,1、静力平衡关系 用截面法取出研究对象，画出受力图，列出所有平衡方程，确定结构的静不定度n。 2、变形几何关系 根据结构受力特征及约束情况，考虑结构的可能变形，画出变形图，列出n个变形协调方程。 3、物理关系 通常要解决的问题在线弹性范围内，因此物理关系即为胡克定律。 4、联立上述方程求解，即可得到所有的未知内力和位移。 5、根据强度条件或刚度条件解决具体问题。,材料力学的许多基本理论，也正是从静力平衡关系、变形几何关系、物理关系这三个方面综合分析后建立的。,解决静不定问题的步骤：,32,一、温度应力,l,由物理学可知，杆件的长度将因温度的改变而发生变化。在
8、静定结构中，由于杆件能够自由变形，故这种由于温度改变而引起的变形不会在杆件中引起内力。但在静不定结构中，这种变形将由于受到约束引起内力。这种内力，称为热内力或温度内力，和它相应的应力称为热应力或温度应力（thermal stress）。,6.11 温度应力与装配应力,33,路面开裂,34,例3 图a为高压蒸汽锅炉与原动机之间管道连接的示意图。通过高温蒸汽后，管道温度增加T。由于锅炉及原动机的刚性大，所以可近似地认为它们不允许管道伸缩。则管道的计算简图如图 b 所示。当管道受热膨胀时，即有力RA、RB作用于管道。,高压蒸汽锅炉,原动机,管道,(a),35,现有两个未知数，故为一次静不定问题。,（
9、2）变形协调条件在建立变形协调条件时，我们可以这样设想：首先解除处的约束，允许管道自由膨胀 lT ；然后再在处施加RB，使B端回到原来位置，即把管道压短lN ，使之仍符合两端间管道总长不变。即,解：(1) 静力平衡方程共线力系的静力平衡条件只有一个，即,(b),(a),B,A,36,若 E=200GPa， =1.210-5 1/C（碳钢），T=100 C，则温度应力：,（3）物理方程由胡克定律和温度伸长规律写出物理条件如下：,(c), 是线膨胀系数，将(c)代入(b)，得补充方程：,l,37,这样大的温度应力，对管道非常不利，我们应该设法避免，把管道的一却分弯成如图1所示的伸缩补偿节，就是一种
10、常用的措施。,38,所有结构，在制造中都会有一些误差。这种误差，在静定结构中只不过是造成几何形状的轻微变化，不会引起任何内力。,二、装配应力,39,静不定结构则不同，例如，图示结构，若三杆的材料、截面积均相同，AB为刚性杆，杆 1的长度比应有的长度短 ，则装配时必须把杆1拉长，同时把杆2和杆3压短，才能装配在一起。这样装配后，结构虽未受到载荷作用，但各杆中已有内力，这时引起的应力称为预应力或装配应力。,40,例4 图示结构，三杆刚度EA均相同，杆 2的长度比应有的长度短 ，求装配后三杆的内力。,1,2,3,A,B,C,D,l,解：1、平衡方程,41,解： 1、平衡方程,2、几何方程（变形协调方
11、程）,3、物理方程,42,最后得：,(拉),(压),如果：,可算出：,(压),(拉),43,静力平衡关系 变形几何关系 物理关系 联立方程求解,由于温度变化或制造误差，将在静不定结构中引起应力，这是静不定问题区别于静定问题的第二个特点。,解决热应力或预应力问题的步骤：,44,在工程中，预应力的存在，一般是不利的，但有时也可有意识地利用预应力以提高结构的承载能力。,试比较下图三种情况结构的承载能力,45,请思考：,作业：6.13，6.16,图示结构，1、2杆刚度EA相同，AB可视为刚体，A点为固定铰座，杆1 的长度短了，装配后受力P，同时温度升高T，求二杆的内力。,C,46,例5 图示结构，1、2杆刚度EA相同，AB可视为刚体，A点为固定铰座，杆1 的长度短了，装配后受力P，同时温度升高T，求二杆的内力。,解：假定AB杆绕A点顺时针转了一个微小角度，因很小，B、C点沿圆弧线的位移可用垂线代替。,C,47,1,2,l,A,B,P,l1,l2,C,48,2、几何方程（变形协调方程）,3、物理方程,49,思考：如图所示等截面直杆，有两种关于其受力分析的说法，试判断其正确性。,1、因为两个载荷F大小相等，方向相反，自相平衡，所以两端的支反力FA= FD=0。 2、两个载荷F分别使AB和CD两端受压力F，所以两端的支反力FA= FD=F。,作业：3-25 3-27 3-28,
