1、1,复变函数,任 群 北京理工大学理学院,2,关于解析函数，我们获得了定义，充分必要条件及几个具体的解析函数为了深入研究解析函数，我们选择怎样的研究途径呢？由前面的讨论所得到的启示，我们从研究数学分析的途径中选择了从积分这个角度来研究解析函数实践证明，这种选择是成功的,3,第三章 复积分,3-1 复积分的概念及性质 3-2 积分与其路径的无关性 3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式 3-4* 平面调和场及其复势,4,要点,1.理解复积分的概念、性质及其计算公式； 2.掌握解析函数的Cauchy积分定理、 Cauchy积分公式和高阶导数公式； 3.熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高
2、阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分； 4.理解解析函数和调和函数的关系。,5,3-1 复积分的概念及性质,一、复变函数积分的概念 二、复积分的存在性及其一般计算公式 三、复积分的简单性质,6,1. 积分的概念,设 C 为平面上给定的一条连续曲线, 如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。,如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向,那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,7,简单闭曲线 C 的正向是指当曲线上的点 P 沿此方向前进时, 邻近 P 点的曲线的内部始终位于 P 点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲
3、线方向的说明:,以后把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.,8,设C为一条起点在a，终点在b的有向光滑曲线（或逐段光滑曲线），其方程为,同数学分析一样，我们也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤来定义积分,函数 在C上处处有定义。,图3-1,9,1.C上依次取分点a=z0,z1,zn=b 记该分法为T；取,如图，作积分和式：,图3-1,10,2.设上述n段小弧的最大长度为(T)，且令,定义 若对曲线 的任意分法T和任意,当 时，上述和式的极限存在且唯一，则称函数 沿曲线 可积，其积分值为I，记为,其中， 称为积分路径， 为被积函数，
4、 为积分变量。,(3-1-1),11,例 设C是一条起点在A终点在B的逐段光滑曲线，试计算,复变函数 的积分只依赖于积分路径C的起点A与终点B，而与积分路径的形状无关,12,二、复积分的存在性及其一般计算公式,为了寻求复变函数积分存在的条件，现在我们唯一可利用的只有定义于是问题就归结为考察极限 的存在条件为此，我们不妨将Sn变形后再加以考察,有了积分定义后，我们最先关心的问题是：积分存在的条件，积分的性质与积分的计算,13,2. 积分存在的条件及积分性质,14,从形式上可以看成是,公式,15,定理给予我们的是： 给出了复变函数积分存在的一个充分条件； 提供了计算复变函数积分的一种方法； 研究复
5、变函数的积分问题，可以转化为研究实变量的二元实值函数沿曲线C的线积分问题,容易想到，线积分的一些性质可移到复变函数的积分上来,16,到现在为止，计算复变函数积分只有两种方法，一是定义，二是（3-1-2）式，均比较麻烦有无其它方法？,由于积分路径常取光滑曲线（或逐段光滑曲线），所以f(z)沿曲线C的积分可归结为 关于曲线C的参数的积分 事实上，若C为光滑曲线（或逐段光滑曲线） 则 在 上连续，且 再设f(z)在C上连续及,17,这样一来，将f(z)沿曲线C 的积分归结为f(z)关于曲线C 的参数t的积分,(3-1-3),18,由以上讨论可知，用上式计算积分 包含三个步骤： 1.写出曲线C的方程
6、； 2.将 与 代入所求积分 中； 3.计算(3-1-3)式右端的关于参数t的积分,19,例 2,解,积分路径的参数方程为,20,例 3,解,积分路径的参数方程为,21,重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关.,22,复变函数的积分与实函数的积分有类似的性质.,估值不等式,23,三、复积分的简单性质,若 与 沿曲线 ( 按约定表示与曲线 方向相反的同一条曲线）可积，则有, （A为复常数） （ C由 C1与C2首尾相接而成）,24,设L为曲线C的长度，若 沿C可积，且在C上满足 ，则,上式为我们提供了一种估计复变函数积分的模的方法,25,例 1,解,因此,26,27,例 4,解,直线方程为,28,解,例 5,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,29,(2) 积分路径的参数方程为,30,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,31,注意1,注意2,这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？,32,例：求 其中 为整数解： 的参数方程为： ，于是 有,
