1、- 1 -关节十图形变换引出的计算与证明图形（或部分图形）经“平移”、“轴对称”或“旋转”（包括中心对称）之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。一、图形平移变换引出的几何计算与证明这类问题的解法的思考应当突出两点：、把背景图形研究清楚；、充分运用图形平移的性质，特别应注意的是：“平移变换不改变角度”（即平移中的线和不平移的线，交角的大小不变）。两者的恰当结合，就是解法的基础。例 1 如图，若将边长为 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线 翻折成等腰直角三角
2、形后，再抽出一个cm2 AC等腰直角三角形沿 移动，若重叠部分 的面积是 ，则移动的距离 等于 。ACPCA21cm【观察与思考】第一，搞清楚背景图形： 和B均为底边长为 的等腰直角三角形；第二，由平移搞c2清楚新图形的特征：由于平移不改变角度，可知 也PCA是等腰直角三角形，这样一来，即 。解得 而 ，,)2(12 CASPCA241,22。解：填 。【说明】可以看出，由背景和平移的性质相结合得出 为等腰直角三角形，是本题迅速获解之关键。PCA例 2 如图（1），已知 的面积为 3，且 现将 沿 CA 方向平移 CA 长度得到 。ABC,BBEFA（1）求 所扫过的图形面积；（2）试判断，A
3、F 与 BE 的位置关系，并说明理由；（3）若 求 AC 的长。 （1）,5BE【观察与思考】第一，搞清楚原图形即 的特征：ABC,AC面积为 3，第二，搞清楚平移过程：平移沿 CA 方向进行；平移距离ABC PBC A（ ）CFE- 2 -为 CA 的长度。注意！这就意味着每一对对应点之间的距离都等于 CA，当然就有 。由此可知：AECBF（1）扫过的图形即为菱形 的两条对角线；BF（2）AF 和 BE 就是菱形 的两条对角线；（3） 的条件下，由 求出 AC 的长。 （1）30,3ABCS各问题解法得到，落实如下：解：（1）如图（1） 扫过的图形为菱形 ，EF而 。62ABCBEFS菱 形
4、（2）如图（1）， 为菱形 的两条对角线， ，并且 AF，BE 互相平分。E,BABEA（3）若 则 ，作 于 D，如图（1 ），则 ACBD21，1530C由 ,解得 。 （1）42ABCS2【说明】由本题可以看出，原图形背景和平移性质的结合是解法获得的基础。例 3 如图（ 1）所示，一张三角形纸片 ， 。沿斜边 AB 的中线 CD 把这线ABC6,8,90BCA纸片剪成 和 两个三角形如图（2）所示。将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点DACB1D2始终在同一条直线上），当点 与点 B 重合时，停止平移，在平移的过程中， 与 交于点,21 1D1D2BCE， 与 分别交于点 F，P。2,（
5、1） （2） （3）（1）当 平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中 与 的数量关系，并证明你的猜想。1DAC ED1F2（2）设平移距离 为 ， 与 重叠部分的面积为 ，请写出 与 的函数关系式，以及自2,x1DAC2ByxBC A（ ）CFEACBD30A BCDA B1C12A B2D1EFP 12- 3 -变量 的取值范围；x（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 ，使得重叠部分面积等于原 纸片面积的 ？若存在，请求出xABC41的值；若不存在，请说明理由。【观察与思考】第一，搞清楚背景图形（即图（2）所示的平移前的图形），（略）第二，搞清楚平移过程：平移不改变角的大小；任意一对对应点
6、的距离都等于图形平移的距离，按本题要求，平移距离 满足： 。x50x对于问题（1），注意到在图（3）中有： 和 都是等腰三角形（由 和 为等腰三角形AFD2BE121ACD2B演变而来），以及 （由图中（2）的 演变而来），相应的猜想及证明都易得到；BAD122对于问题（2），若在图（3）中作辅助线：作 交 AB 于 ，,/ 如图（3），易知 （图（1）中）。FRtPtABCRt（3）对于问题（3），由（2）的结果构造相应的方程即可。解：（1） ，证明如下：DE21，又 是斜边 AB 的中线（原图（1）21,/AFCCCDB,90即 12ABA。同理：D21 .,E1又 。FDE21,（2）作
7、 交 AB 于 ，如图（3 ），由（1）知,/EBF BD12。FAPSy而 ，且它们的斜边长依次为 。ABBC 0,1,0x862)32()210()(1022 SxxyABC其中 。5485（3）令 即 ，解得),8621(2x 02532x5,321x所以存在 ,使重叠部分的面积为 面积的 ，这时，平移的距离为 或 5。xABC41【说明】从本题可以看出：、恰当运用平移变换的性质（如角度不变）极为重要，这体现在问题（1）的解法中。2A B2D1EFP 1- 4 -、充分而灵活运用平移构成的三角形相似很重要（由角度不变易造成相似），这体现在问题（2）的解法中。图形平移的问题，解决的关键在于
8、运用好“平移变换”的性质。二、图形的轴对称变换引出的计算与证明这类问题解决的思考应当突出以下两点：、把背景图形研究清楚；、充分注意轴对称的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线。两者的恰当结合，就是解法的基础。图形的轴对称问题，解决的关键在于运用好“轴对称变换”的性质！例 1 如图（1），边长为 1 的正方形 中， 分别为 的中点，将点 C 折至 MN 上落在点 PABCDNM,BAD,的位置，折痕为 连结 。.BQP（1）求 的长；M（2）求 的长。 （1）P【观察与思考】第一，搞清楚背景图形： 是正方形 一组对边的中点；NM,ABCD第二，搞清楚轴对称情况：除正方形 外，本题还有
9、两组轴对称图形，一是 和 关于 对称；ABCDBPQC.B二是 和 关于 MN 对称 ，如图（1），由此立刻得 是边长为 1 的等边三角形。PNBCP有了如上的认识，问题的解法已明朗。解：（1）连结 易知 是等边三角形，且其边长为 1。 （1）,PB。,23123PN23PNM（2）由（1）知 又 ，,0CQ90BCDQ。3tan1tanBAB CDNMQPAB CDNMQP- 5 -例 2 如图，在 中， ，点 E，F 分别在 AB，AC 上，把 沿着 EF 对折，恰使点ABCRt60,9AAA 落在 BC 上点 D 处，且使 。E（1）猜测 AE 与 BE 的数量关系，并说明理由。（2）求
10、证：四边形 AEDF 是菱形。【观察与思考】第一，搞清楚背景图形（略）；第二，搞清楚这个特殊的“折叠”（轴对称）和新图形的特点： （因它们关于 EF 对称 ） 。DEABCED在 中， ，得 。这就是问题（1）的BRt,A2130siniBEA结论和理由。而由 ，得 ，又 ，立刻推知 和 均F,606AF6FD是等边三角形，四边形 AEDF 当然就是菱形。【说明】在本题，从背景图形和特殊折叠结合而得出的新图形的性质，成为解法形成的根据。例 3 已知矩形纸片 ， 。将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合。ABCD1,2A（1）如果折痕 FG 分别与 AD，AB 交于点 F，G （如
11、图（1），） 求 DE 的长。,32F（2）如果折痕 FG 分别与 CD，AB 交于点 F，G（如图（2），）， 的外接圆与直线 BC 相切，求折痕 FGED的长。（2）（1）【观察与思考】第一，背景图形易搞清楚；第二，（1），（2）两问的折叠方式有差异。对于（1）来说，折痕一 AD 交于点 F，立刻有 ； ，且FEGRtAtDFtAGRt，由此即可求得 DE 的长。FDAEF对于（2），对应的图形如图（2），可知： 的外接圆的圆心 为 的中点，则 也是 FG 的中点，EDOAO且 在矩形 的中点连线 上，而 即是过该圆与 BC 相切切点的半径； ，OBC,MNOMtt由此可求得 。进而可求得
12、 FG 的长。G解：在矩形 中， ， （2）AD1,2A,32F。90ABCD EFA BCD EFGA BCD EFGA BCD EFGOM N- 6 -。31,32AFDAFE在 中， 。Rt)(2（2）如图（2），设 AE 与 FG 的交点为 ，则以 为圆心，以 OA 为半径的圆就是 的外接圆。OAED若取 AD 的中点 M，连结 OM 并延长交 CB 于点 N。易知点 N 即 和 CB 相切的切点， 。OON设 OA（即 的半径）为 ，则 ，Oxx2在 中， 解得 。ARt,)1(2(67在 和 中，Gt,/AOMRtAGt即 ，得 。,AOM16721572.3017F【说明】正是恰
13、当地将背景图形和折叠（轴对称）的性质结合，使有关问题（1）的数量关系集中于 ；DEFRt使有关问题（2）的数量关系集中于 和 （且它们又是相似的），使两个问题迅速获解。AORtGt例 4 已知：矩形纸片 中，AB=26 厘米， 厘米，点 E 在 AD 上，且 厘米，点 P 是 ABBCD5.18BC6A边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点 P 与点 E 重合，展开纸片得折痕 （如图（1）所示）；MN步骤二，过点 P 作 交 所在的直线于点 Q，连结 QE（如图（2）所示）；,ATMN（1）无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有 PQ QE（填“”、“=”、“”号 ）（2）如图（3）
14、所示，将矩形纸片 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：BCD当点 P 在 A 点时， 与 交于点 点的坐标是（ ， ）；,1当 厘米时， 与 交于点 ， 点的坐标是（ ， ）；6TN2Q当 厘米时，在图（3）中画出 ， （不要求写画法）并求出 与 的交点 的坐标；12MPTMNPT3Q（3）点 P 在在运动过程中， 与 形成一系列的交点 ， 观察，猜想：众多的交点形成的图象是P,12Q3什么？并直接写出该图象的函数表达式。（1） （2） （3）A BCDPEMNBC（P） A BCDPEMNTQ（A）BCDE xN1QO 6 12 18 2461218 2y- 7 -【观察与思考】充分
15、利用 是 PE 的垂直平分线这一基本特征。MN解：（1） QEP（2） （0，3）； （6，6）； 画图，如图（3），设 （3）MN与 EP 交于点 F。在 中，ARt。53,6122 PFPEPFQt3t。)15,2(, 33QEAA（3）可以多取几个 P 点，画出相应的 Q 点，易发现应在同一条抛物线上，由该抛物线过点（0，3），（6，6），（12，15），可得其函数关系式为 。)260(312xxy由以上诸例的解法可以看出：图形轴对称变换的问题，解决的关键就是把轴对称的性质（对称 的图形全等及对称轴是对应点连线的垂直平分线）和背景图形的特征恰当结合。三、图形的旋转变换引出的计算与证明这类
16、问题解决的思考应当遵循以下两点：、把背景图形研究清楚；、把图形旋转的基本性质：“对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角”和“旋转前后对应的两部分是全等的”。始终作为思考的指导。例 1 如图，将 绕点 A 顺时针旋转 60后，得到 ，且 为 BC 的中点，则 等于（ BCCAB :DBC）A、 1：2 B、 C、 D、1：32:1:【观察与思考】联合观察背景图形 和旋转后的图形 ：ABCAB（1） 中， （旋转角），所以，C60,是等边三角形；A（2）由 恰为 BC 之中点，知 ，即 中，C为斜边 BC 上的中线。将（1），（2）结合，则在 中， ，进而,90B ABRt30,6BC在 中， 特
17、别地还有 。对图形有了这CRt,30,6 BA ),30(DCADPM（A）BCDE xN1QO 6 12 18 2461218 2yG3FACB D- 8 -些深入而具体的认识，立刻得出： 3:1:30tan:)3t(: ADADDBC解：应选 D。【说明】可以看出，从背景，旋转两者结合的角度深入研究新构成的图形，把握其各种隐性的特征，是迅速，正确地获得解的关键。例 2 将两个含有 锐角的全等直角三角板 ABC 和 如图摆放，两个直角顶点 C 重合，AC 和 在同30CBA B一条直线上，将三角板 ABC 以点 C 为旋转中心，沿顺时针方向分别旋转 到达 ，,6045,3,1A2的位置。 分
18、别和 相交于点 。CBA3321,B 321,P求 ， ， 的值。1P23【观察与思考】（1）旋转 30时，对应的图形如图（1），结合背景图形和旋转的特征，得到 中，1CPB30,91B解法已清楚。（2）旋转 45时，对应的图形如图（2），结合背景图形和旋转的特征，知道： 中，CPB2，立刻想到应作 于 借助 沟通两个直角三角形 和45,302PB2M,MP2 MRt2，解法也明朗了。MRt（3）旋转 60时，对应的图形如图（3），结合背景图形和旋转的特征，知道：在 中，CPB3，得 ，解法几乎是显然的。03CBP3P（1） （2） （3）解：（1）旋转 30时，如图（1），易知 。1BACP
19、在 中， ， 。1CPBRt0 3tan1BAC BB112233123C A3030 1 BAC2 2MPBCA3 33P- 9 -（2）旋转 45时，如图（2），作 于2CBMP,在 中， 。MPBRt2C22,45在 中， 。 230。2PBC（3）旋转 60时，如图（3），在 中， ，得 ， 。CPB3303CBP3P13BC【说明】旋转后的几何计算问题，多数情况下要借助旋转后形成的“新图形”，如本题的，而“新图形”的特征正好集中着原背景图形和所作旋转的特性。掌握与恰当运用这PBCPB321,一规律，就能又好又快地获得问题的解法。例 3 如图，桌面内，直线 上摆放着两个大小相同的直角三
20、角板，它们中较小的直角边的长为 6 ，较小锐l cm角的度数为 30。（1） 将 关于直线 对称图形的位置， 与 相交于点 ，ECDAEDABF请证明： ；FA（2）将 沿直线 向左平移到图的位置，使 点落在 上的l点处，你可以求出平移的距离，试试看：（3）将 绕点 逆时针旋转到图的位置，使 点落在 上的 点处，请求出旋转角的度数。ECDEABE 【观察与思考】本题的三问分别是针对图形的“轴对称”、“平移”和“旋转”三种变换的。对于（1），将背景图形的情况（数量、关系）和“轴对称”（构成全等）结合起来，容易发现 ，FBDAE当然结论就推出来了。对于（2），将原背景图形的情况和“平移”的特征结合
21、起来，容易发现 和 的相似关系，从中可以BCEAB DCElF AB DCEl AB DCElFDAB DCEl- 10 -推知“平移”的距离。对于（3）将原背景图形的情况和所作的特殊的“旋转”使点 绕点 旋转旋转到 恰好在 边上，ECEAB由此不难找到所对应的旋转角度。解：（1）如图，在 和 中， ，AFEBD FBDAA,30 。.CCAE FBE（2） 如图 ,/，但 。30tan ABE C3, 即平移距离 )(26(3 cmBCC（3） 如图，在 中， 在 上， 且 （因 ，可知 为RtEAABE1 )30CE斜边 的中线。 ，即 ，ABt 60C旋转的角度 。3069EC【说明】从
22、本题进一步看出：图形作轴对称变换时，多是研究“全等”（相等）关系；图形作平移变换时，多会出现“相似”关系；图形作旋转变换时，更多的是着眼于“角度”。这既是问题构成的特征，当然也是寻找解决时的思考应遵循的规律。例 4 如图，已知正方形 与正方形 的边长分别是 和 ，它们的中心 都在直线 上，ABCDEFGH2421,Ol， 在直线 上， 与 相交于点 ，当正方形 沿直线 以每秒 1 个单位的lAD/EGl ,M7EFGHl速度向左平移时，正方形 也绕 以每秒 45顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大1O小都不改变。（1）在开始运动前， ；21（2）当两个正方形按照各自的运动方式同
23、时运动 3 秒时，正方形 停止旋转，这时 ； ；ABCDAE21O（3）当正方形 停止旋转后，正方形 继续向左平移的时间为 秒，两正方形重叠部分的面积为 ，FGHxy求 与 之间的函数表达式。yx AB CDM E GHF12Ol- 11 -【观察与思考】对于（1）， 。21O 9212721 EOM对于（2），这时点 在 上 点的右侧，且 ，点 到 的距离为 ，即Al 4A1 43)9(。64,021OAE对于（3），应把运动全过程搞清楚：（1） （2）（3）阴影部分的面积情况可分为四段，如图（1），图（2），图（3），还有图（3）后的两正方形不相交的情况，它们的分界点在 ，对应的时刻为 。
24、然后分段计12CG84CG012,84,0xx算出阴影正方形的面积即可。简解： （1）9； （2）0，6；（3）（1）如图（1），当 时， 所以 与 之间的函数关系式为 。40x,xEAyx2xy（2）如图（2），当 时， 与 之间的函数关系式为 。8y 8)2(（3）如图（3），当 时， ，12xxCG12所以 与 之间的函数关系式为 。yx 72)(2y（4）当 时， 与 之间的函数关系式为 。12yx0y【说明】本题突出了按变换分析图形及研究位置关系，只有把这两个方面研究清楚了，才可能有正确的解决方法。由以上的解析使我们体会到：解答关于图形变换的问题，应注意两个角度的“结合”：第一个角度
25、，要充分而恰当地将背景图形的性质和变换本身的性质相结合，这样才容易看清楚新图形的性质；第二个角度，要充分而恰当地将图形的操作与关系的推演相结合，很多情况正是图上的操作才更容易展示变换的ABCD1OE GHF2lABCD1OE GHF2lABC D1E GHF2l- 12 -全貌和分类、分段情况的。可以说，许多几何图形都是从图上“看出”其性质的，而后才通过计算或证明予以解决的。练习题1、将图（1）中的平行四边形 沿对角线 剪开，再将 沿着 方向平移，得到图（2）中的ABCDADC，连结 ，除 与 外，你还可以在图中找出哪几对全等三角形（不能另外添加辅CDA1,1助线和字母）？请选择其中的一对加以
26、证明。（2）（1）2、如图，矩形 中， ，将矩形 沿对角线 平移，平移后的矩形为ABCD4,3BCABCD始终在同一条直线上），当点 与 重合时停止移动，平移中 与 交于点 与GEFH,( EEFBC,NGH的延长线交于点 与 交于点 与 的延长线交于点 设 表示 的面积。 表示矩,MHFGP, ,QSPMS形 的面积。NQC（1） 与 相等吗？请说明理由。S（2）设 写出 和 之间的函数关系式，并求出 取任何值时 有最大值，最大 值是多少？,xAESxS（3）连结 ，当 为何值时， 是等腰三角形。BABEA BCDA BC111ABDCPEF GHN MQ- 13 -3、如图（1） 中， ，
27、矩形 的长和宽分别为 和 ，PMNRtcmMNP8,90ABCDcm82点和 点重合， 和 在一条直线上，令 不动，矩形 沿 所在的直线向右以每秒 1CBCRtMN的速度移动（如图（2），直到 点与 点重叠为止，设移动 秒后，矩形 与 重叠部分的面积cm xP为 。求 之间的函数关系式。yx与（1） （2）4、如图，在矩形 中， ，若将矩形折叠，使 点与 点重合，则折痕 的长为（ ）ABCD8,6BCBDEFA、 B、 C、 5 D、 6215415、如图，已知边长为 5 的等边三角形 纸片，点 E 在 边上，点 F 在 边上，沿着 折痕，使点 A 落ABCAABEF在 边上的点 的位置，且
28、则 的长是（ ）BCD,EA、 B、 C、 D、130305331026、在矩形纸片 中， 。沿 折痕后，点 C 落在 边上6,AEFAB的点 处，点 落在点 处， 与 相交于点 ， 。PDQPH30BPAB CD（M）NP2AB CDM NP2AB CDEFAB CDEFAB CDFPQHE- 14 -（1）求 的长；QFBE,（2）求四边形 的面积。PH7、台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学、几何学知识。图（1）是一个台球桌，目标球 F 与 E 之间有一个 G 球阻挡。（1）击球者想通过击打 E 球，让 E 球先撞台球桌的 边，经过一次反弹后再撞击 F 球，他应将 E 球打到
29、边AB AB上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点 H。并作出 E 球的运动路线；（不写画法，保留作图痕迹）。（2）如图（2），现以 为原点，建立直角坐标系，记 ，求 E 球按刚才方式运动到D )1,7(3,4)0,8(,ECF 球的路线长度。（忽略球的大小）（2）（1）8、如图，在 中， 。将 绕点 C 逆时针旋转 30得到 ，ABCRt1,90BCAACBA1与 AB 相交于点 D。求 BD 的长。1C9、如图， 为矩形 ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与 点重合，转动三角板使两直角边始终与OO相交，交点分别为 。如果 ，则 与 的关系式为（ ）ABC, NM, yNxMADB,6,
30、4xA、 B、 C、 D、xy32xy6xyy23A BD CE G F A BD CE G F xy（O）AC B1 1DAB CDONM- 15 -10、把两块全等的直角三角板 和 叠放在一起，使三角板 的锐角ABCDEFDEF顶点 与三角板 的斜边中点 重合，其中 ，把三DO,90ABC,45C4DEAB角板 固定不动，让三角板 绕点 旋转，设射线 与射线 相交于点 射线 与 相交于点ABC ABPFCQ（1）如图（1），当射线 经过点 B，即点 与点 B 重合时，易证 。此时 DFQDCQA。（2）将三角板 由图（1）所示的位置绕点 按逆时针方向旋转，设旋转角为 。其中EO90（如图（2），（3），问 的值是否改变？说明你的理由。CAP（3）在（2）的条件下，设 两块三角板重叠面积为 ，求 与 的函数关系式。,xQyx（1） （2） （3）ADCBPEF（Q）（O）ADCBPEFQ（O）ADCBPEFQ（O）M
