1、欧拉方程欧拉方程)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn )( 为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xt ln即欧拉方程的算子解法 :)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn ,tex 令 则xydd xtty dddd tyx dd122ddxyxttyxt dd)dd1(dd tytyx dddd1222 计算繁 ! tyyxddtytyyxdddd222 ,ddtD 记 则由上述计算可知 : yDyx yDyDyx 22,),3,2(dd ktD kkkyDD )1( 用归纳法可证 ykDDDyx kk )1()1()( 于是欧拉方程)(1)1
2、(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn )(11 tnnn efybyDbyD 转化为常系数线性方程 :)(dddd111tnnnnnefybtybty 即例 1. 解 : 则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 的通解为换回原变量 , 得原方程通解为设特解 : CtBtAy 2代入确定系数 , 得例 2.解 : 将方程化为 (欧拉方程 )则方程化为即 特征根 :设特解 : ,2 tetAy 代入 解得 A = 1, 所求通解为例 3.解 :由题设得定解问题,tex 令 ,ddtD 记 则化为teyDDD 54)1(teyD 5)4( 2特征根 : ,2 ir 设特解 : ,teAy 代入得 A 1 得通解为tetCtCy 2s i n2c o s 21xxCxC1)ln2s i n ()ln2c o s (21 利用初始条件 得21,121 CC故所求特解为xxxy1)ln2s i n (21)ln2c o s ( 思考 :如何解下述微分方程提示 : 原方程直接令tD dd记)()1( 21 aefypDpDD t tD dd记
