1、210第九章 梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸) ；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(a) 、(b)、(c)所示。在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a)
2、所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。MqB(a) 简支梁AFB(b) 外伸梁AFC(c) 悬臂梁AFB 图9.1 梁的分类211这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面) 与载荷平面( 即梁上载荷所在的平面 )重合的弯曲，称为平面弯曲 。平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研
3、究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。9.1 用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a)所示，求各截面内力并作内力图。解：1）求固定端约束力。图9.2 平面弯曲梁矩形截面 梯形截面 圆形截面 工字形截面 槽形截面纵向对称面
4、 挠曲线梁轴线(a) (b) 212固定端A处有三个约束力，但因梁上无 x方向载荷作用，故F Ax=0；只有 FAy、M A如图所示。列平衡方程有：Fy=FAyF=0 MA(F )=MAFl=0 得到： FAy=F； MA=Fl2）求截面内力。在距A为x处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。在0x0时，弯矩图为上升斜直线（斜率qdxFQ2 - (9-3)(/)(xFdxMQ- (9-2)220为正）；F Q0时，剪力图为上升的斜直线；弯矩图为凹口向上的曲线 (凹弧)。若FQ0，弯矩图为上升凹弧；F Q0，弯矩图为上升凸弧；F Q0；剪力F Q为正，M 0。上述结论可
5、汇总于表9-1中。表9-1 梁上载荷与Q、M图之关系；BABqdxBAQBdx221载荷 q=0 q=const.0 q=const.0 FQ0 FQ0 FQ0，弯矩图为上升凸弧。其它各段F Q为常数，弯矩图均为直线，BC 、CD段F Q0，弯矩图直线斜率为正；DE段F Q0，弯矩图为上升凸弧；在 a/2x0 ，剪力图为上升直线。截面A左边，FQA左 =20kN (分布载荷图形面积) ；A处有向下的集中力F A，故剪力图向下行 25kN，即截面A右边有F QA右 =FQA左 +FA=5kN。AB段为水平直线（注意集中力偶对剪力图无影响）。截面B处有向上的集中力FB=35kN，故剪力图应向上行3
6、5kN ，即有，QB右 =QA左 +FB=30kN。BE段为水平直线；图9.11 例9.7图FA2m 2m1m 3mq=10kN/mM0=60kN.mF=30kNA BC D EFBxoFQ (kN)20305-+-+x+M (kNm)o20(a)60FQB左FQB右MD右=45MD左 =15(b)(c)FQA右FQA左参考正向226截面E处有向下的集中力F=30kN，F Q图下行回至零。得到的剪力图如图9.11(b)所示。3) 作弯矩图 ：端点C处无集中力偶，弯矩为零。 CA段q0，F Q0，弯矩图为上升凹弧且M A=20kNm(截面以左F Q图的面积)。A处有集中力作用，弯矩图在该处出现转
7、折。AD段，F Q=const0），且有M E=MB+(302) kNm=0。得到的弯矩图如图9.11(c)所示。例9.8 图9.12中梁用二块砖头在A 、B处支承。梁上承受均布载荷q作用。为使梁中的弯矩值最小，距离a应为多大？解：1）求约束力。二支承处受力如图，有：FA=FB=qL2) 作F Q、M 图。FQ图：全梁有q=const.0的二段，弯矩图为上升凸弧。且MA=MB=q(La)2/2；由剪力图可知在梁中点处有F Q=0，故弯矩 M在该处应取得极值，且M 中点 =q(L-a)2/2+qa2/2=qLaqL2/2。得到的弯矩图亦示于图9.12中。3）梁中弯矩值最小的条件：距离a过大，梁中
8、点的弯矩值大；距离a过小，二支点处弯矩值大；故梁中弯矩值最小的条件为梁中点与二支点的弯矩值相等：即q(L-a)2/2= qLaqL2/2整理后得： a24La+2L2=0解二次方程得： a= 0.586L (另一根不合理，请读者自行分析) 。9.3 梁的应力与强度条件如前所述，本章讨论的是平面弯曲梁，即梁有纵向对称面，载荷均作用在此纵向对称面内。平面弯曲梁横截面上的内力一般有剪力和弯矩，为了进一步简化问题，先讨论平面纯弯曲梁内的应力，即梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况。与分析杆的轴向拉压、圆轴的扭转一样，梁的弯曲应力和变形分析，同样要从静力平衡条件、变形的几何关系及材料的物理关系三方面进行。
9、9.3.1 变形几何分析为考虑梁弯曲的变形几何关系，先做一个简单的实验以观察变形时的表面现象，然后再由表及里地推断其内部的变形规律。b ba aAABBAA图9.13 梁的变形现象 BBa ab bo o ooM M(a) (b)228在梁的侧面作垂直于其轴线的横向线AA和BB及平行于梁轴线的纵向线段aa和bb，然后在二端施加弯矩M，使梁发生纵向对称平面内的纯弯曲变形，如图9.13(b)所示。在变形后的梁上可以观察到：横向直线AA、BB仍然保持直线，只是相对转动了一个角度 ；但仍垂直于梁变形后的轴线；原来的纵向直线段 aa与bb虽然发生了弯曲，但仍与横向线AA及BB正交。据此，可作出关于梁纯弯
10、曲变形的横截面平面假设如下：梁的横截面在变形后仍然保持为平面，且仍然垂直于梁的轴线。进一步观察上述实验的表面现象，可以看出：纵向线段aa缩短，而线段bb伸长。依据横截面的平面假设，不难得出如下两条关于梁变形的推论：推论1：梁弯曲变形时，凹部纵向纤维受压缩短，凸部纵向纤维受拉伸长。各层纵向纤维长度的变化应当是连续的，从受压到受拉的连续变化中必定存在一个纵向平面，其上纵向纤维的长度保持不变，这层纵向面即称为中性层或中性面。中性层与横截面的交线，称为该截面的中性轴，如图9.14所示。MM中性层中性轴图9.14 截面上的中性轴AA图9.15 梁纵向纤维的线应变 BBa ayo oM MdyYA(b)d
11、xa aAABBo o(a)zYAxYAoYA(c)229进一步分析图9.15所示的梁段，建立坐标系如图所示(y轴为截面对称轴，z轴为截面中性轴)。考虑横截面AA 与BB间梁的微段，弯曲后截面 AA与BB将形成夹角d，直线AA与BB 延长线的交点到中性层的距离，即梁微段中性层之曲率半径。显然，在中性面上有 ；那么，距中性轴坐标为y 的纵向纤维变形前的长度doaa=oo，变形后的长度aa=( y)d，应变则为：(9-4)式即平面纯弯曲梁应满足的变形几何关系。由(9-4)式可进一步得到下述推论：推论2：梁内纵向纤维的线应变的大小，与其到中性轴的距离成正比。9.3.2 材料的物理关系由梁弯曲实验现象
12、还可观察到，横向直线段AA、BB的尺寸并未发生改变。故可以假设：梁内相邻的纵向纤维之间无相互挤压作用，即各纵向纤维都处于单向拉伸或压缩的状态。基于这一假设，当限于在线性弹性范围内考虑问题时，对每一纵向纤维均可应用单向拉压时的应力-应变关系 。利用(9-4)式，即有：E上式表示梁横截面上各点的弯曲正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。大多数金属材料拉伸和压缩下的弹性模量E值相等，于是可作出梁横截面上的应力分布如图9.16所示。-(9-4) yda)(y-（9-5）Myxmax压max拉Mxyzmax压max拉中性轴图9.16 梁横截面上的正应力分布ydA230至此可知，对于平面纯弯曲梁，横截面
13、上只有由弯矩引起的正应力，横截面上任一点的弯曲正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。在到中性轴的距离y相等的各点处，弯曲正应力相等。弯矩为正时，中性轴以上y0，故0，是拉应力。最大拉、压应力在梁截面上离中性轴距离最大的上下缘处。9.3.3 静力平衡条件在平面纯弯曲情况下，横截面上的内力只有弯矩。由图9.16之微段梁可见，作用在右端截面上内力的合力应与作用在微梁段左端的弯矩构成平衡力系。作用于图9.16中右端截面上任一微面积上的力均沿x方向且等于dA，故由静力平衡方程F x=0有：将式(9-5) 式代入，得到：注意到式中材料的弹性模量E、梁弯曲变形后的曲率半径均不为零，故有：上式表示横截面对z
14、轴的静面积矩S z=0，这是确定形心的条件。由此可以确定中性轴的位置，即中性轴必过横截面形心。AAydEy0)(Ad0Ayd0231再由静力平衡方程M z(F )=0，还可写出：将(9-5)式代入，又可得到：式中 称为横截面对z轴的惯性矩，记作I Z，其量纲为 长度 4。对于给定Ady2截面几何的梁，可以通过积分算出其值。表9-2给出了若干简单截面几何形状图形对轴z的惯性矩。表9-2 若干简单几何形状图形的惯性矩图 形 ymax Iz Wzh/2H/2AdyMdAyEyA 2)(zyhb123bh62bhHzyhbB)(123bhBH)(632HhbB232H/2d/2D/2利用横截面对z轴的
15、惯性矩I Z，上式可写为：(9-6)式指出，梁弯曲变形后的曲率与弯矩M成正比，与EI Z成反比。EI Z越大，梁变形后的曲率越小；因而，EI Z称为梁的抗弯刚度。再将(9-6)式代回(9-5)式，即得：这就是平面纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式。可见，在中性轴上，y=0，弯曲正应力=0 。对于如图9.15和图9.16所示之坐标系，若弯矩M为正，则y0时，0。弯矩M为负时则相反。依据梁弯曲的凸凹变形情况，不难判断中性轴z上下哪一部分截面受拉、哪一部分截面受压，故在使用公式(9-7)时也可以不考虑其前面的负号与y坐标的正负，由中性轴上下二侧受拉还是受压，直接判断-(9-6)zyhb/2Hb/2B)
16、(123bhBH)(632HhbBzyd 64d32dzyDd64)(dD)(1324DdYAXA ZAYBCM0rDddy 604m4m2mxD EYAbPzIy-(9-7)zEI1233弯曲正应力的正负号。9.3.4 平面弯曲时的最大正应力公式及强度条件公式(9-7) 是在梁的平面纯弯曲情况下得到的正应力公式。实际上，工程中的平面弯曲梁大多数属于横截面上既有弯矩又有剪力的横力弯曲。横力弯曲情况下公式(9-7)还能否适用? 深入分析（如弹性力学分析）的结论是：对于工程中的大多数细长梁( 高跨比h/ 0，则中性轴以上受压，中性轴以下受拉，如图9.19(b) 所示; 若截面弯矩M0时： max拉
17、 =M(3.25a)/Iz； max压 =M(1.75a)/Iz 由强度条件应有：M拉 拉 Iz/3.25a；M压 压 Iz/1.75=2拉 Iz/1.75a截面上下缘均应满足强度条件，故有：Mmin M拉 ，M 压 =拉 Iz/3.25a；M拉 的材料，可采用T形截面梁使离中性轴较远的一边承受压应力，离中性轴较近的一边承受拉应力，以充分发挥材料的潜力。9.3.5 矩形截面梁横截面上的剪应力前面讨论了梁横截面上的正应力。对于受纯弯曲作用的梁，横截面上的内力只有弯矩，引起的应力是正应力。如前所述，对于横截面上既有弯矩又有剪力的横力弯曲梁，当梁的跨度与高度之比足够大时，横截面上的弯曲正应力仍可由(
18、9-7)式计算。但是，横力弯曲梁的横截面上不仅有正应力（弯矩引起的），而且还有剪应力（剪力引起的）存在。下面以矩形截面梁为例，讨论其横截面上的剪应力，建立对于梁弯曲剪应力的基本认识。设有矩形截面梁，其横截面高h、宽b。截面上除承受弯矩M外，还承受着剪力F Q。对于梁横截面上的剪应力，可作如下两个假设：1.截面各点处剪应力的方向都与剪力 FQ平行；2.到中性轴等距离之各点处的剪应力均相等。如图9.21(a) 所示，到中性轴距离为y处各点的剪应力均为。dxyyz oFQhbb F1F2F3图9.21 横截面上的剪应力(a) (c)(b)239取长dx的微梁段中到中性轴距离为y以上的部分研究，如图9
19、.21(b)所示，讨论其沿x方向的平衡。梁的横截面（阴影面）上作用着正应力=My/I z，横截面上沿x方向的力F 1为应力 dA在阴影面积A 1上的积分，即：式中S z称为阴影面积A 1对中性轴z的静矩，且对于矩形截面有：微梁段另一端的横截面上作用着正应力，且=(M dM)y/Iz，截面上沿x方向的力F 2为应力d A在面积A 1上的积分，即：底部水平面上作用着剪应力 ，由剪应力互等定理知=，如图9.21(b)所示。因为微梁段上无外载荷作用，各横截面上的剪力不变，则底部水平面各处作用的剪应力均为，故截面上沿x方向的力F 3为应力与面积的乘积，即：F3=bdx由上述分析可列出平衡方程：Fx=F1-F2+F3=0即：得出矩形截面梁横截面上的剪应力为：1AAzzIMSdIydF)4(222/1 yhbydhAz11 )()(2A zzz ISdAIyd0)(bdxISMISzz -(9-11)
