1、幽 轉 麵 学 参 考 一 ？ 來 稿 短 论 集 2 0 1 5 年 第 1 2 期 （ 下 旬 ） 、 “ “ ？ 权 方 和 不 等 式 点 评 ： 配 凑 权 方 和 不 等 式 求 最 值 。 、 乂 古 ， 、 十 略 例 3 （ 2 0 1 3 年 高 考 数 学 湖 南 卷 理 科 第 1 0 题 ） 巳 以 数 予 问 专 ？ 過 ， 6 ， ， 2 6 3 6 ， （ ！ 2 4 2 9 2 的 最 李 志 边 （ 山 东 省 青 岛 市 第 三 高 级 中 学 ） 2 解 ： 构 造 权 方 和 不 等 式 2 4 6 2 9 2 若 仏 0 ， 6 ， 0 （ 1 ，
2、2 广 ， ） ， 饥 0 ， 则 不 等 式 丄 1 丨 ？ 1 、 （ 0 当 且 （ 3 ； ） 2 1 2 0 6 广 时 卞 6 广 ， 1 1 1 1 1 3 2 6 3 6 ， 仅 当 时 上 述 不 等 式 取 等 号 。 这 个 不 当 且 仅 当 翌 即 “ 2 ， 6 吾 时 等 式 叫 做 权 方 和 不 等 式 ， 称 为 该 不 等 式 的 权 ， 它 的 1 1 1 特 点 是 分 子 的 幂 指 数 比 分 侧 幂 雜 高 1 次 。 取 等 号 。 所 最 小 值 为 1 2 。 笔 者 通 过 研 究 发 现 ， 利 用 权 方 和 不 等 式 可 以 巧
3、妙 点 评 ： 配 凑 权 方 和 不 等 式 求 最 值 。 地 解 决 一 些 最 值 问 题 ， 并 且 可 以 方 便 地 证 明 一 些 不 等 2 构 造 权 方 和 不 等 式 证 明 不 等 式 。 式 命 题 。 下 面 从 近 几 年 的 高 考 试 题 举 例 说 明 权 方 和 不 等 式 在 求 最 值 和 证 明 不 等 式 中 的 应 用 。 例 4 （ 2 0 1 3 年 高 考 数 学 课 标 卷 文 科 第 2 4 题 ） 设 、 6 、 均 为 正 数 ， 且 6 。 证 明 ： （ 1 ） 略 ； （ 2 ） 1 构 造 权 方 和 不 等 式 求 最
4、值 。 邕 例 1 （ 2 0 1 1 年 高 考 数 学 重 庆 卷 理 科 第 7 题 ） 已 知 ！ ， 解 ： （ 1 ） 略 。 （ 2 ） 证 明 ： 因 为 “ 、 6 、 均 为 正 数 ， 且 0 ， 6 0 ， 6 2 ， 则 ： 丄 的 最 小 值 是 （ ） 。 仏 丄 糾 2 6 2 2 6 ， 构 造 权 方 和 不 等 式 7 9 4 5 2 2 2 2 2 1 6 ， 即 1 2 2 解 ： 构 造 权 方 和 不 等 式 ： ， （ 2 ） 9 9 当 且 仅 当 立 立 丄 即 6 时 上 述 不 6 2 。 6 （ 2 9 等 式 取 等 号 。 当 且
5、仅 当 彳 丄 互 即 了 时 取 等 号 。 点 评 ： 直 接 套 用 权 方 和 不 等 式 证 明 不 等 式 。 、 、 根 据 例 4 可 以 破 解 例 5 。 所 以 答 案 选 。 例 （ 2 0 0 9 年 高 考 数 学 浙 江 卷 ） 已 知 正 数 ： 、 、 点 评 ： 直 接 套 用 权 方 和 不 等 式 求 最 值 。 她 口 （ ； 2 （ 2 例 2 （ 2 0 1 2 年 高 考 数 学 浙 江 卷 文 科 第 9 题 ） 若 满 足 工 3 2 ： 1 。 求 证 正 数 工 、 满 足 ： 3 ； 5 ： ： ， 则 3 工 4 3 的 最 小 值
6、丄 是 （ ） 。 1 。 2 4 2 8 ？ 证 明 ： 工 、 、 2 ： 为 正 实 数 且 满 足 ： ： 2 ： 。 5 6 2 2 2 构 造 权 方 和 不 等 式 工 9 上 9 ？ 解 ： 由 工 3 尸 得 5 立 丄 ， 构 造 权 方 和 不 ， 、 2 2 丄1 （ ） 2 等 式 ， 1 9 4 3 2 丨 （ 3 2 ） 2 2 ） 2 ） ） 3 （ 2 ： ） 3 3 1 即 ： 2 2 丨 ？ 1 2 1 ， 。 因 为 工 、 3 是 正 数 ， 所 以 5 （ 3 ： 4 ； ） 2 5 ， 即 3 3 2 2 3 3 4 ？ ， 3 4 5 当 且 仅
7、 当 即 之 5 ， 2 2 2 9 当 且 仅 当 ， 即 士 1 ， 尸 时 輕 时 上 述 不 等 式 取 等 号 。 数 学 教 2 0 1 碑 第 1 2 期 （ 下 甸 ） 点 评 ： 直 接 套 用 权 方 和 不 等 式 证 明 不 等 式 。 亡 ， 游 根 据 例 5 可 赚 麵 6 。 初 高 甲 数 学 救 学 股 ？ 例 6 （ 2 0 1 0 年 高 考 数 学 浙 江 卷 ） 设 正 实 数 、 6 、 满 足 砂 ， 求 丄 、 值 。 几 1 術 播 腐 证 明 ： 因 为 、 、 为 正 实 数 且 满 足 ， 构 造 侯 书 红 （ 云 南 师 范 大 学
8、 昆 明 市 五 华 区 实 验 中 学 ） 权 方 和 不 等 式 本 文 从 三 个 方 面 谈 谈 初 高 中 数 学 教 学 的 几 个 衔 （ （ 接 ： （ 1 ） 奇 函 数 和 偶 函 数 问 题 与 初 中 点 关 于 原 点 、 轴 对 （ 2 6 ） 2 ） （ 2 ） 3 （ 6 ） 称 问 题 的 衔 接 2 ） 高 中 数 学 公 式 与 初 中 数 学 公 式 的 衔 3 接 ； （ 3 ） 高 中 平 面 向 量 与 初 中 平 面 几 何 知 识 的 衔 接 。 3 2 2 1 奇 函 数 和 偶 函 数 问 题 与 初 中 点 关 于 原 点 、 所 以 十
9、 厂 的 最 小 值 为 轴 对 称 问 题 的 衔 接 ， 2 0 ） ， 6 例 1 若 函 数 （ ￥ ） （ 为 奇 函 当 且 仅 当 即 当 （ ） 0 ） 2 2 2 数 ， 则 ） 表 示 为 。 6 1 ， 分 析 ： 高 中 数 学 教 材 中 奇 函 数 就 是 满 足 （ 一 ： ） 1 时 ， 上 述 不 等 式 取 等 号 。 （ ： ） 的 函 数 ， 实 际 与 初 中 的 点 关 于 原 点 对 称 满 点 评 ： 本 题 连 用 两 次 不 等 式 ， 要 注 意 取 等 号 的 足 横 坐 标 相 反 ， 纵 坐 标 也 相 反 ” 是 一 致 的 。 因
10、 此 ， 现 条 件 。 将 一 工 代 换 ： 2 2 得 ： 2 2 ： ， 然 后 纵 坐 标 也 相 反 ， 得 根 据 例 2 可 以 破 解 例 7 。 （ 力 2 2 0 2 2 ： 。 例 7 （ 2 0 1 2 年 高 考 数 学 福 建 卷 理 科 第 2 1 （ 3 ） 题 ） 实 际 教 学 中 ， 大 都 忽 视 了 初 高 中 数 学 知 识 的 衔 已 知 函 数 （ 工 ） 饥 一 丨 工 一 2 丨 ， 饥 6 ， 且 （ 工 2 ） 0 接 ， 教 学 用 书 及 资 料 上 的 解 答 如 下 ： 的 解 集 为 1 ， 1 。 因 为 ： 0 ， 所 以
11、 ： 0 ， 所 以 （ 工 ） （ 一 工 ） 2 求 饥 的 值 ； 若 ， 6 ， ， 且 丄 士 一 2 工 ， 所 以 （ 工 ） 工 2 2 工 所 以 （ 工 ） 工 2 2 工 。 、 2 3 相 对 而 言 ， 用 初 中 知 识 过 渡 ， 学 生 容 易 理 解 并 掌 ， 求 证 ： 2 6 3 令 9 。 2 2 了 （ 工 0 ） 解 ： 过 程 略 ， 求 得 。 握 。 如 果 问 题 改 为 偶 函 数 ， 由 知 丄 1 。 又 ， 6 ， ， 构 造 只 要 用 一 工 代 换 工 2 2 工 ， 得 ？ 一 2 工 ， 就 是 贫 （ 工 ） 。 ， 6
12、 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 高 中 数 学 公 式 与 初 中 数 学 公 式 的 衔 接 权 方 和 不 等 式 1 一 1 瓦 巧 一 7 茲 巧 （ 1 1 1 ） 2 9 9 学 生 对 初 中 完 全 平 方 公 式 十 分 熟 悉 ， 如 果 在 高 中 2 3 2 6 3 ， 即 1 2 3 又 ， ， 教 学 中 很 好 地 用 好 知 识 衔 接 ， 那 么 学 生 就 很 容 易 理 解 6 ， 所 以 2 3 9 。 和 接 受 。 1 1 1 、 例 2 我 们 知 道 2 ： 2 ： ， ， 吣 ？ 2 6 3 7 1 3 现 在 如 果 将 等 式
13、 两 边 同 时 加 （ 减 ： ， 有 当 且 仅 当 ， 即 当 3 ， 6 ， ， ， 、 2 ， ， 1 1 1 （ ： 士 工 ） 1 士 2 ： 工 ， 2 6 3 （ ： ） （ ） 2 2 0 时 ， 上 述 不 等 式 取 等 号 。 因 此 ， 应 用 好 了 衔 接 公 式 ， 学 生 就 能 很 好 地 记 忆 点 评 ： 配 凑 权 方 和 不 等 式 证 明 不 等 式 。 与 应 用 高 中 数 学 公 式 。 本 文 简 单 介 绍 了 权 方 和 不 等 式 当 汾 1 时 的 应 1 含 山 卞 本 且 卞 孟 ” 如 七 搞 此 秘 用 ， 出 现 定 值 是 解 题 的 关 键 ， 当 2 ， 3 ， 时 ， 权 方 和 ？ 3 高 中 平 面 向 量 与 初 中 平 面 几 何 知 仏 的 銜 接 不 等 式 有 着 更 为 广 泛 的 应 用 ， 尤 其 是 解 决 一 些 竞 赛 中 例 3 如 图 1 ， 在 三 角 形 的 试 题 ， 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 中 ， 若 2 ， 设 ， 5 乂 以 研 究 一 下 。 ， 请 用 、 表 示 ： ？ 方 。 图 广
