1、专题十二 三视图及空间几何体的计算问题1一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱答案：D 球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三 视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上， 则其俯视图是 圆，正 视图是矩形，故应选 D.2某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A286 B30 65 5C5612 D60 125 5答案：B 该三棱锥的直观图，如 图所示，来源:学+科+ 网 Z+X+X+K其中侧面 PAC底面 ABC，PDAC，ACBC，可得 BC平面 PAC，从而 BCPC.故 SPAC 5
2、410；S ABC 5410；PC 5，所以 SPBC 4510；由于 PB12 12 12 ，而 AB ，故 BAP 为等腰三角形，取底 边 AP 的PD2 BD2 16 25 41 52 42 41中点 E，连接 BE，则 BEPA，又 AE PA ，所以 BE 6，所以 S12 5 41 5PAB 2 66 .所以所求三棱锥的表面积为 1010 106 306 .12 5 5 5 53已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2 ，则此棱锥的体积为( )A. B. 26 36C. D.23 22答案：A 在直角
3、三角形 ASC 中，AC1，SAC 90 ，SC2，SA ；同理4 1 3SB .过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点， 连接 DB，因 SACSBC，故 BDSC，故 SC平3面 ABD，且平面 ABD 为等腰三角形，因 ASC30，故 AD SA ，则ABD 的面积为12 321 ，则三棱锥的体积为 2 .12 AD2 (12)2 24 13 24 264一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析 利用三视图得几何体，再求表面 积由三 视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的 长、 宽、高分别是 4、3、1，中间被挖去的是底面半径为 1，母线长为
4、1 的圆柱，所以几何体的表面 积等于长方体的表面积 减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为 2(434131)2 238.答案 38在空间几何体部分，主要是以空 间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给 出的空间几何体的表面积和体 积的计算等问题 试题的题型主要是选择题或者填空题，在难 度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通 过对各种空 间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三 视图和直观图，通 过三视图和直 观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的
5、表面积和体积的计算方法.必备知识正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个 直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧 一样宽，正侧一样高(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与
6、俯视图一样几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题必备方法1几何体中计算问题的方法与技巧：在正棱锥中，正棱锥的高、 侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关； 正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面 图形中联系起来；研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到； 多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题
7、处理的重要手段2求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的 计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我 们可采用“割” 、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台 )，或化离散 为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照 结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法(3)有关柱、锥、台、球的面 积和体 积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角
8、梯形求有关的几何元素.三 视 图 的 识 图 与 计 算常考查： 三视图 的识别与还原问题； 以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题主要考查学生的空 间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点 【例 1】 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm) ，可得这个几何体的体积是( )A. cm34 0003B. cm38 0003C2 000 cm 3D4 000 cm 3审题视点 听课记录审题视点 画出直观图后求解B 此几何体的图为 SABCD，且平面 SCD平面 ABCD，ABCD 为正方形， 边长为 20 cm，S 在底面的射影为 CD 的中点 E，SE20 cm
9、，VSABCD SABCDSE cm3.故选 B.13 8 0003解答此类题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；(2)视 图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐， 侧俯宽相等【突破训练 1】 如图是一个几何体的三视图若它的体积是 3 ，则 a_.3解析 由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中 边长为 2 的边上的高 为a，V 3 3 a .(122a) 3 3答案 3几 何 体 的 表 面 积 与 体 积此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体，来求解几何体的表面积或体积，试题以客观题
10、为主，多为容易题 【例 2】 如图所示，来源:学科网四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径，ABD60，BDC45，ADPBAD.(1)求线段 PD 的长；(2)若 PC R，求三棱锥 P ABC 的体积11审题视点 听课记录审题视点 (1)利用 BD 是圆的直径可知 BAD90，再利用 ADPBAD 求解(2)先通过计算证明 PD2CD 2PC 2，则可知 PD面 ABCD，再由 SABC ABBCsin 12ABC.可求解解 (1)BD 是圆的直径， BAD90，又ADPBAD ， ，ADBA DPADDP 3R.AD2BA BDsin
11、 602BDsin 304R2342R12DP 的长为 3R.(2)在 RtBCD 中，CDBDcos 45 R，2PD 2CD 29R 22R 211 R2PC 2，PDCD，又PDA90 ，ADCDD，PD底面 ABCD，则 SABC ABBCsin(6045)12 R R R2，12 2 32 22 12 22 3 14所以三棱锥 PABC 的体积为VPABC SABC PD R23R R3.13 13 3 14 3 14求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的 方法有“换底法” 、“分割法” 、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视【突破训练 2】如
12、图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左) 视图、俯视图已知 CF2AD，侧(左) 视图是边长为 2 的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示求该几何体的体积解 如图，取 CF 的中点 P，过 P 作 PQCB 交 BE 于 Q，连接 PD，QD ，AD CP，且ADCP .四边形 ACPD 为平行四边形，ACPD .平面 PDQ 平面 ABC，该几何体可分割成三棱柱 PDQCAB 和四棱锥 DPQEF， 来源:学科网 ZXXKVV 三棱柱 PDQCABV DPQEF 22sin 602 3 .12 13 1 222 3 3切 接 问 题该类问题命题背景宽，常以棱柱、棱锥、 圆柱、
13、 圆锥与球的内切、外接形式考查，多以选择、填空题的形式出现，试题较容易 【例 3】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )Aa 2 B. a2 C. a2 D5 a273 113审题视点 听课记录审题视点 确定球心的位置，寻找直角三角形，通过直角三角形求球的半径B 设三棱柱上底面所在圆的半径为 r，球的半径 为 R，由已知 r a a.23 32 33又 R2r 2 a2 a2 a2 a2，12 13 14 712S 球 4R 24 a2 a2，故选 B.712 73涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般 过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把
14、空间问题化归为平面 问题，再利用平面几何知 识寻 找几何体中元素间的关系【突破训练 3】 设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C，若圆 C 的面积等于 ，则球 O 的表面积等于_74【突破训练 3】 解析 如图，设 O为截面圆的圆心，设球的半径为 R，则 OM ，又OMO45，R2OO R.在 RtOOB 中，OB 2O O 2OB 2，R 2 ，R 22，S 球24 R28 744 R28.答案 8等价与转化在求几何体体积中的应用1求不规则几何体的体积，常用分割或 补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将
15、不规则的几何体或平面 图形转化为规则的几何体或平面 图形， 易于求解2求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高易求【示例】 如图，在三棱锥 P ABC 中，PAB 是等边三角形，PACPBC90.(1)证明：ABPC；(2)若 PC4，且平面 PAC 平面 PBC，求三棱锥 P ABC 的体积满分解答 (1)因为PAB 是等 边三角形， 来源:学,科,网 Z,X,X,K所以 PBPA.因为PAC PBC90，PCPC，所以 RtPBCRtPAC，所以 ACBC.如图，取 AB 中点 D，连接 PD、CD，则 PDAB，CDAB，又 PDCDD，所以 AB平面 PDC，PC平面 PDC，
16、所以 ABPC.(6 分)(2)作 BEPC，垂足 为 E，连接 AE.因为 RtPBCRtPAC，所以 AEPC，AEBE.由已知，平面 PAC平面 PBC，故AEB90.(8 分)因为AEB90，PEB90， AEBE， ABPB，所以 RtAEBRtBEP，所以AEB 、PEB、CEB 都是等腰直角三角形由已知 PC4，得 AEBE 2，AEB 的面积 S2.因为 PC平面 AEB.所以三棱锥 P ABC 的体积V SPC .(12 分)13 83老师叮咛：本题难度中档，第 1问要证线线垂直，则需转化为证线面垂直；第2 问求三棱锥 P ABC 的体 积，可转化为求以ABE 为底， PC
17、为高的两个三 棱锥的体积.【试一试】来源:Zxxk.Com如图，四边形 ABCD 为正方形，QA平面 ABCD，PD QA，QAAB PD.12(1)证明：PQ 平面 DCQ；(2)求棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值(1)证明 由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形因为 QA平面 ABCD，所以平面 PDAQ平面 ABCD，交线为 AD.又四边形 ABCD 为正方形，DCAD，所以 DC平面 PDAQ，可得 PQDC.在直角梯形 PDAQ 中可得 DQPQ PD，则 PQQD .22又 DQDCD，所以 PQ平面 DCQ.(2)解 设 ABa.由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高，所以棱锥 QABCD 的体积 V1 a3.13由(1)知 PQ 为棱锥 PDCQ 的高，而 PQ a，DCQ 的面积为 a2，222所以棱锥 PDCQ 的体积 V2 a3.13故棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积的比值为 1.
