1、第二章 2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( 6 8 5 n ) （2）x(n)= ) 8 ( n e j（3）x(n)=Asin( 3 4 3 n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( n )，得出 8 5 。因此 5 16 2 是有理数，所以 是周期序列。最小周期等于 N= ) 5 ( 16 5 16 取 k k 。 （2）对照复指数序列的一般公式 x(n)=exp j n,得出 8 1 。因此 16 2 是无理数，所以不 是周期序列。 （3） 对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos( n )， 又x(n)=
2、Asin( 3 4 3 n )Acos( 2 3 4 3 n ) Acos( 6 1 4 3 n )，得出 4 3 。因此 3 8 2 是有理数，所以是周期序列。最小周期等于 N= ) 3 ( 8 3 8 取 k k 2.2 在图 2.2 中，x(n)和 h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的 x(n)和 h(n)的 线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。 (a) 1 1 1 1(b)(c) 1 1 11 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 22 223333 3 4 4 4 n n n n nn x(n)
3、 x(n) x(n) h(n) h(n) h(n) 2 1 u(n) u(n) u(n) a n = = = 2 2 解 利用线性卷积公式 y(n)= k k n h k x ) ( ) ( 按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3 y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n2 (b) x(n)=2 (n)- (n-1) h(n)=- (n)+2 (n-1)+ (n-2) y(n)=-2 (n)+5 (n-1)= (n-3) (c) y(n
4、)= k k n k n u k u a ) ( ) ( = k k n a = a a n 1 1 1 u(n) 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)= n u(n)*u(n) 解：(1) y(n)= k k n u k u ) ( ) ( = 0 ) ( ) ( k k n u k u =(n+1),n0 即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= k k k n u k u ) ( ) ( = 0 ) ( ) ( k k k n u k u = 1 1 1 n ,n0 即 y(n)= 1 1 1 n u(n) 2.4 图P2.4所示的是
5、单位取样响应分别为h 1 (n)和h 2 (n)的两个线性非移变系统的级联， 已知x(n)=u(n), h 1 (n)= (n)- (n-4), h 2 (n)=a n u(n),|a|1,求系统的输出 y(n). 解 (n)=x(n)*h 1 (n) = k k u ) ( (n-k)- (n-k-4) =u(n)-u(n-4) y(n)= (n)*h 2 (n) = k k k u a ) ( u(n-k)-u(n-k-4) = 3 n k k a ,n3 2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为 h(n)=a n u(-n),0a1 用直接计算线性卷积的方法，求 系统的单位阶跃响应
6、。 2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。 证明 （1）交换律 X(n) * y(n) = k k n y k x ) ( ) ( 令k=n-t,所以t=n-k,又- k ,所以- t ,因此线性卷积公式变成 x ( n ) * y ( n ) = t t n n y t n x ) ( ) ( = t t y t n x ) ( ) ( =y(n) * x(n) 交换律得证. (2)结合律 x ( n ) * y ( n ) * z ( n ) = k k n y k x ) ( ) ( * z(n) = t k k t y k x ) ( ) ( z(n-t) = k x(
7、k) t y(t-k)z(n-t) = k x(k) m y(m)z(n-k-m) = k x(k)y(n-k) * z(n-k) = x ( n ) * y ( n ) * z ( n ) 结合律得证. (3)加法分配律 x ( n ) * y ( n ) + z ( n ) = k x(k)y(n - k) +z(n - k) = k x(k)y(n-k)+ k x(k)z(n - k) = x ( n ) * y ( n ) + x ( n ) * z ( n ) 加法分配律得证. 2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明 (1)y(n)= 2x(n
8、)+3 (2)y(n)= x(n)sin 3 2 n+ 6 (3)y(n)= k k x ) ( (4)y(n)= n n k k x 0 ) ( (5)y(n)= x(n)g(n) 解 （1）设y 1 (n)=2x 1 (n)+3,y 2 (n)=2x 2 (n)+3,由于 y(n)=2x 1 (n)+x 2 (n)+3 y 1 (n)+ y 2 (n) =2x 1 (n)+x 2 (n)+6 故系统不是线性系统。 由于y(n-k)=2x(n-k)+3,Tx(n-k)=2x(n-k)+3,因而 y(n-k) = Tx(n-k) 故该系统是非移变系统。 设|x(n)|M，则有 |y(n)|=|
9、2x(n)+3|2M+3| 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入 x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （2）设 y1(n)=ax1(n)sin 3 2 n+ 6 y2(n)=bx2(n)sin 3 2 n+ 6 由于 y(n)=Tax1(n)+ bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)sin 3 2 n+ 6 =ax1(n)sin 3 2 n+ 6 +bx2(n)sin 3 2 n+ 6 =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 由于 y(n-k)=x(n-k)sin 3 2 (n-k)+ 6 Tx(n-k)=x(n-k)sin 3 2 n+ 6
10、 因而有 Tx(n-k)y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设 |x(n)|M，则有 |y(n)|=|x(n)sin 3 2 (n-k)+ 6 | =|x(n)| sin 3 2 (n-k)+ 6 | M|sin 3 2 (n- k)+ 6 |M 故系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入 x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （3）设 y1(n)= n k k x ) ( 1 ，y2(n)= n k k x ) ( 2 ，由于 y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= n k k k ) ( bx ) ( ax 2 1 =a n k k x ) ( 1 + b n
11、 k k x ) ( 2 =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 因 y(n-k)= t n k k x ) ( = n m t m x ) ( =Tx(n-t) 所以该系统是非移变系统。 设 x(n)=M y(n)= n k M =，所以该系统是不稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （4）设 y1(n)= n n k k x 0 1 ) ( ，y2(n)= n n k k x 0 2 ) ( ，由于 y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= n n k k k 0 2 1 ) ( bx ) ( ax = a n n
12、k k x 0 1 ) ( +b n n k k x 0 2 ) ( =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 因 y(n-k)= t n n k k x 0 ) ( = n t n m t m x 0 ) ( Tx(n-t)= n n k t m x 0 ) ( 所以该系统是移变系统。 设 x(n)=M,则 lim n y(n)= lim n (n-n 0 )M= ,所以该系统不是稳定系统。 显而易见，若 nn 0 。则该系统是因果系统；若 nn 0 。则该因果系统是非因果系统。 (5)设y 1 (n)=x 1 (n)g(n),y 2 (n)=x 2 (n)g(n),由于 y(n)
13、=Tax 1 (n)+bx 2 (n)=(ax 1 (n)+bx 2 (n)g(n) =ax 1 (n)g(n)+b 2 (n)=ay 1 (n)+by 2 (n) 故系统是线性系统。 因 y(n-k)=x(n-k),而 Tx(n-k)=x(n-k)g(n)y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)|M1 时才是稳定系统。 (3) 因为在nO 时，h(n) 0，故该系统不是因果系统。 因为S= n |h(n)|= n | (n+n 0 )|=1 ，故该系统是稳定系统。 (4) 因为在nO 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S= n |h(n)|= 0 n |( 1 2 ) n
14、 | ，故该系统是稳定系统。 (5) 因为在nO 时，h(n)= 1 n u(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S= n |h(n)|= n | 1 n u(n)|= 0 n 1 n = ，故该系统不是稳定系统。 (6) 因为在nO 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S= n |h(n)|= 1 0 N n |2 n |=2 N -1 ，故该系统是稳定系统。 2.9 已知y(n)-2cos y(n-1)+y(n-2)=0,且 y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)= sin( ) sin n 证明 题给齐次差分方程的特征方程为 2 -2cos +1=0 由特征方程求得特征根
15、1 =cos +jsin =e j , 2 =cos -jsin = e j 齐次差分方程的通解为 y(n)=c 1 1 n +c 2 2 n =c 1 e jn +c 2 e jn 代入初始条件得 y(0)=c 1 +c 2 =0 y(1)= c 1 e jn +c 2 e jn =1 由上两式得到 c 1 = 1 jn jn ee = 1 2sin ，c 2 =- c 1 =- 1 2sin 将c 1 和c 2 代入通解公式，最后得到 y(n) =c 1 e jn +c 2 e jn = 1 2sin ( e jn + e jn )= sin( ) sin n 2.10 已知y(n)+2
16、y(n-1)+ (n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数 a 和b 由 (2) 2 (1) (0) 6 6 0 (3) 2 (2) (1) 36 12 3 0 ya yb ya ya yb y ab 可求出 a = - 1 , b = - 8 于是原方程为 y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程 2 2 80 求得特征根 1 4 ， 2 -2 齐次差分方程得通解为 y(n)=c 1 1 n +c 2 2 n = c 1 4 n +c 2 (-2 n ) 代入初始条件得 y(n)= c 1 1 +
17、c 2 2 = 4 1 +2 2 =3 由上二式得到 c 1 1 2 ，c 2 1 2将c 1 和c 2 代入通解公式，最后得到 y(n)=c 1 1 n +c 2 2 n 1 2 4 n -(-2) n 2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且 y(0)=1,y(1)=1 解 由特征方程 2 10求得特征根 1 15 2 ， 2 15 2 通解为 y(n)=c 1 1 n +c 2 2 n c 1 （ 15 2 ） n c 2 （ 15 2 ） n代入初始条件得 12 12 1 15 15 ()() 1 22 cc cc 求 出 c 1 =
18、 15 25 ，c 2 = 15 25 最后得到通解 y(n)= c 1 ( 15 25 ) n + c 2 ( 15 25 ) n= 1 5 ( 15 25 ) 1 n -( 15 25 ) 1 n 2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应 解 由图可知 y(n)=x(n)+ y(n-1) 为求单位取样响应，令 x(n)= (n),于是有 h(n)= (n)+ h(n-1) 由此得到 h(n)= () 1 n D = n u(n) 阶跃响应为 y(n)=h(n)*u(n)= 0 n k k y(k)u(n-k) = 1 1 1 n u(n) 2
19、.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e jw ),求下列各序列的傅立叶变换 解 （1）Fax 1 (n)+bx 2 (n)=aX 1 (e jw )+bX 2 (e jw ) (2)Fx(n-k)=e jwk X(e jw ) (3)Fe 0 jw n x(n)=Xe 0 () jww (4)Fx(-n)=X(e jw ) (5)Fx * (n)=X * (e jw ) (6)Fx * (-n)= X * (e jw ) (7) (8)jImx(n)= 1 2 X(e jw )-X * (e jw ) (9) 1 2 X(e j )*X(e jw ) (10)j () jw dx e dw
20、2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)- 1 2 y(n-1)=x(n)+ 1 2 x(n-1) (1) 求该系统的单位取样响应 h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)e jwn 时系统的响应 (3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入 x(n)=cos( 2 n+ 4 )的响应 解 （1）令 X（n）=(n),得到 h(n)-h(n-1)/2=(n)+ (n-1)/2 由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+(n)+ (n-1)/2 ,n0 递推计算出 h(-1)=0 h(0)=h(-1)/2+(0)=1 h(1)=h
21、(0)/2+1/2=1 h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)= 2 1 h(2)=( 2 1 ) 2 h(4)= 2 1 h(2)=( 2 1 ) 3 h(n)=(n)+ ( 2 1 ) n-1 u(n-1) 或 h(n)= ( 2 1 ) nu(n)-u(n-1) 也可将差分方程用单位延迟算子表示成 (1-D)h(n)=(1+D)(n) 由此得到 h(n)=(1+ 2 1 D)/(1- 2 1 D)(n) =1+D+ 2 1 D 2 + ( 2 1 ) 2D 3 +( 2 1 ) k-1D 3 + (n) =(n)+ (n-1)+ 2 1 (n-2)+ 2 1 (n-3)+. +( 2
22、1 ) k-1 (n-1)+ =(n)+ ( 2 1 ) n u(n-1) 2）将 jwn e n X ) ( 代入 ) ( * ) ( ) ( n h n x n y 得到 jw jw jwn jw n jw jwn n n jwn jwn e e e e e e D D D D e D D n D D e n y 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ) ( 2 1 1 2 1 1 * ) ( 1 1 3 2 2 （3）由（2）得出 jw jw jw e e e H 2 1 1 2 1 1（4）由（3）可知 1 2 1 1 2 1 1 2
23、1 2 1 2 w j w j w j e e e H 2 1 arctan 2 2 1 1 arctan 2 1 1 arctan arg 2 2 2 j j w j e e e H故： 2 1 arctan 2 4 2 cos arg 4 2 cos n e H n e H n y jw jw2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1) 试确定能使系统成为全通系统的 b 值（ba） ，所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率 无关的常数 的系统。 解：令x(n)= (n),则 h(n)=ah(n-1)= (n)-b8(n-1) 或 h
24、(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n0 由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1 h(1)=ah(0)-b (0)=a-b h (2)= a h (1 )= -ab h (3)= a h (2 )= - b h(n)=ah(n-1)= - b,n0 h (n)= u(n)- bu(n-1) 或系统的频率特性为 H( )= = = = 振幅的特性平方 = = = = 若选取a * 1 b 或b * 1 a ，则有|H(e jw )| 2 =|b| 2 ,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该 系统为全通系统。 2.16 (1)一个线性非移变系统
25、的单位冲激响应为h(n)=a n u(n),其中a 为实数，且 0a1。设输入为x(n)= n u(n), 为实数，且0 1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式 y(n)=(k 1 a n +k 2 n )u(n) (2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e jw )、H(e jw )、Y(e jw )，并证明 Y(e jw )=H(e jw )X(e jw ) 解 (1)y(n)= k k n x k h ) ( )( = k k k n u k u a ) ( ) ( 1 = k k a ) ( 1 1 = 1 1 1 1 1 ) (
26、 1 n=- 1 1 1 1 n + 1 1 1 1 ，n0 y(n)=( n 1 - n 1 )u(n) (2)X( iw e )= i n e 0 =- j e 1 1H (e j )= i n e 0 = j e 1 1Y (e j )= 0 ) ( n j n n e = 1 ( j e 1 - n j e ) 由于 1 ( j e 1 - j e 1 ) = ) 1 )( 1 ( 1 j j e e =X(e j )H(e j ) 故得出 Y (e jw )=H(e jw )X(e jw ) 2.17 令x(n)和 X(e jw )分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明： * 1 ()
27、() ()() 2 n jw jw n n xnxn Xe Xe dx 此式是帕塞瓦尔（Parseval）定理的一种形式。 证明：证法一 dw e X e X dw e n x e X dw e e X n x dw e e X n x n x n x n x n x dw e X e X m n m n e e m n dw m n ejw dw e n x m x dw e n x e m x dw e X e X e n x e N x e X e n x e X jw jw n jwn jw jwn jw n jwn jw n n n jw jw m n jw m n jw m n j
28、w n m mn jw jwn jw jw n jwn n jwn jw n jwn jwn ) ( * ) ( 2 1 ) ( ) ( * 2 1 ) ( * 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) ( * ) ( 2 1 , 0 , 2 ) ( 2 1 ) ( * ) ( ) ( * ) ( 2 1 ) ( * ) ( 2 1 ) ( * * ) ) ( * ( ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 证法二： 其中2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图 P2.18 所示，图中 T 表示取样周期，假 设T很小，
29、足以防止混叠失真，把从x (t)到y (t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 （1）如果数字滤波器h（n）的截止频率 等于 8 rad， 1 T 10kHz，求整个系统的截止频率 ac f ，并求出 理想低通滤波器的截止频率 c f （2）对 1 T 20kHz，重复（1）的计算 解 理想低通滤波器的截止频率 T （弧度/秒）折合成数字域频率为 （弧度） ，它比数字滤波器 h（n）的 截止频率 8 （弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器 h(n)的截止频率 8 （弧度）来决定。将 其换算成实际频率，即将 s f 1 T 10000Hz 带入 2 8 ac s f f ，便得到 ac f
30、 625 Hz 理想低通滤波器的截止频率 T （弧度/秒）换算成实际频率使得到 c f ，即由 T 2 c f ，得到 ac f 1 2T = 10000 2 =500 Hz 2.19 求下列序列的Z 变换和收敛域 （1） （nm） （2） 1 ()() 2 n un （3）a n u(-n-1) （4） 1 ()() ( 1 0 ) 2 n un un （5）cos( 0 n )u(n) 解： （1）X(z) z m n ) ( n =z -nm当 m0 时，x(n)是因果序列，收敛域为 0z，无零点，极点为 0(m 阶); 当 m0 时，x(n)是逆因果序列，收敛域为 0z，零点为 0(m
31、阶)，无极点; 当 m=0, X(z)1， 收敛域为 0z，既无零点，也无极点 （2）X(z) - n n 2 1 u(n)z -n = 0 n n z 1 2 1 = 1 2 1 1 1 zX(n)是右边序列，它的 Z变换的收敛域是半径为 R x 的圆的外部区域，这里 R x lim n ) ( ) 1 ( n x n x 2 1（n）还是因果序列，可以有z，故收敛域为 2 1 z。零点为 0，极点为 2 1 。 X(n)还是因果序列，可以有z，故收敛域为 2 1 z。零点为 0，极点为 2 1 。 （3） x(z)= n n n z u u a ) 1 ( = n n az ) ( 1 1
32、 = n n z a ) ( 1 1 = n n az ) ( 1 1 = z a z a 1 1 1 = 1 1 1 azX(n)是左边序列，它的 Z变换的收敛域是半径围 x R +的圆的内部区域，这里 x R += | ) 1 ( ( ) ( | lim n x n x n = | | ) 1 ( lim n n n a a = | |a) (n x 还是逆因果序列，可以有 0 | | z ，故收敛域为 | | | | 0 a z 零点为 0，极点为a。 (4)X(z) - n n 2 1 10) - u(n - u(n) z -n= 9 0 n n 2 1z -n = 1 10 ) 2
33、( 1 ) 2 ( 1 z zX(n)是有限长序列， 且它的 Z变换只有负幂项， 故收敛域为 0z.零点为 0和 2 1 （10 阶） ，极点为 2 1 。 （5） z z e e z n u n w z X n n jw n jw n n 0 0 ) ( ) cos( ) ( 0 n jw n z e ) ( 2 1 1 0 0 ) ( 2 1 1 0 0 z e jw n ) 1 1 1 1 ( 2 1 1 1 0 0 z e z e jw jw 2 0 1 0 1 cos 2 1 cos 1 z w z w z) (n x 是右边序列，它的 Z变换的收敛域是半径为 x R 的圆的外部区域
34、，这里 x R | ) ( ) 1 ( | lim n x n x n | ) cos( ) 1 ( cos | 0 0 lim n w n w n 1 ) (n x 还是因果序列， 可以有 | |z ， 故收敛域为 | | 1 z ， 零点为 0和 0 cosw ， 极点为 0 jw e 和 0 jw e 。 2.20求下列序列的Z 变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a | n ,0a1 (2) x(n)=e 0 () aj wn u(n) (3) x(n)=Ar n cos( 0 )u(n),0r1 (4) x(n)= 1 ! n u(n) (5) x(n)=sin( 0 )u
35、(n) （1）X(z)= n n n az = 1 0 nn nn nn az az = 1 10 1 11 nn nn nn ax az az ax ax = 2 (1 ) (1 )( ) za az z a X(n)是双边序列， 可看成是由一个因果序列 （收敛域az ） 和一个因果序列 （收敛域 1 0 z a ） 相加组成，故 X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域 1 az a 。零点为 0 和，极点 为a和 1 a 。 (2) 0 () () () () j j n n nn Xzeu n zez = 1 1 1 j ez X(n)是右边序列，它的 Z变换的收敛域是半径
36、为 x R 的圆的外部区域，这里 (1 ) lim () x x xn R e xn X(n)还是右边序列，可以有 z ，故收敛域为 ez 。零点为 0,极点为 0 j e 。 （3） ()() 0 11 00 11 ()() 1 1 () c o s ( )() () () 22 11 21 21 () 21( oo oo oo oo oo nn o n jn jn nn n jj jj nn nn jj jj jj jj jj Xz A r n unz ee Ar z n Ae Ae re z re z Ae Ae re z re z er e r eze A rz e e 22 1 12
37、 2 ) cos cos( ) 12 c o s o o rz rz A rz r z X(n)是右边序列，它的 Z变换的收敛域是半径为 3 R 的圆的 外部区域，这里 1 0 0 cos ( 1) (1 ) lim lim () c o s ( ) n n r X nn r An xn R z xn A () x n 还是因果序列，可以有 z ，故收敛域为 rz 。 零点为 0和 0 cos( ) cos r ，极点为 0 j re 和 0 j re （4） 1 () () ! 0 n Z n Xz unZ nn n n 123 111 1 . . 2! 3! ! n ZZZZ n 1 x
38、e X(n)是右边序列，它的 Z变换的收敛域是半径为 R x 的圆的外部区域，这里 (1 ) 1 lim lim 0 () 1 X nn xn R xn n X(n)还是因果序列，可以有 Z ，故收敛域为 0 Z ，无零点，极点为 0。 (5) X(z)= 0 s i n ( )() n n wn unz 1 0 0 sin( ) n wn z 00 ()() 0 2 jwn jwn n n ee z j 11 0 ()() 22 jj j n j n n ee ez ez jj 00 00 ()() 1 12 () ( ) 1 21 () jw jw jj jw jw eee e z jee
39、z z 1 0 1 0 sin sin 12 c o s i wz wz z x n 是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为 0 R 的圆的外部象区域,这里 0 0 0 sin 1 1 lim lim 1 sin xx n wn xn R xn w x n 还是因果序列,大故收敛域为1 z .零点为0和 0 sin sin w .极点为 00 cos jsin ww 和 00 cos jsin ww . 2.21 用三种方法求下列Z 变化的逆变换 （1）X(Z)= 1 1 1 1 2 z ,|Z| 1 2（3）X(Z)= 1 1 1 az za ,|Z|a 1 | 解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定 x 1 （n）是左边序列。又因为 1 lim ( ) x X z 1 为有限值，所以 x 1 （n） 是逆因果序列。用长除法将 X 1 （z）展开成正幂级数，即 1 1 2345 1 1 11 1 () 1 1 2 2 4 8 16 21 . ( 1) 2 . (1 ) 2 (2 ) nnn nnn nn nn Xz z zzzzz z zz 最后得到 x 1 （n）-2（-2） n ，n-1，-2，-3 或 x 1 （n） 1 ()(1 ) 2 n un
