1、1数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式通项公式： （从第 1 项 开始为等差）1()nada（从第 m 项 开始为等差）m()nn dada前 项和公式： 11()22nnSd（2）证明等差数列的法方定义法：对任意的 n，都有 （d 为常数） 为等差数列1nana等差中项法： （n ） 为等差数列122*Nn通项公式法： =pn+q (p，q 为常数且 p0) 为等差数列n 即：通项公式位 n 的一次函数，公差 ，首项dp1apq前 项和公式法： (p， q 为常数) 为等差数列2Spn即：关于 n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论若数列 ， 为等差数列，则数列 ， ，
2、 ，nabnaknAnabnk(k， b 为非零常数)均为等差数列.若 m+n=p+q (m，n，p，q )，则 = .*Nnmpq特别的，当 n+m=2k 时，得 =na2k在等差数列 中，每隔 k(k )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍na*为等差数列，且公差为(k+1)d(例如： ， ， ， 仍为公差为 3d 的等差数147a10列)2若数列 为等差数列，则记 ，na12kkSa， ，则 ， ，2122kkS3123kakS2k仍成等差数列，且公差为 d3 k若 为等差数列 的前 n 项和，则数列 也为等差数列.nanS 此性质对任何一种数列都适用1,()2nnSa求 最值的方
3、法：nI: 若 0，公差 d0，则当 时，则 有最小值，且 最小；1 10kankII：求前 项和 的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数 ，n2nSpq当 时， 为最值，是最大或最小，通过 的开口来判断。kk nS二、等比数列（1）等比数列的基本公式通项公式： （从第 1 项 开始为等比）1naqa（从第 m 项 开始为等差）nm前 项和公式： ，n1(),1nnaqS1,()nSaq（2）证明等比数列的法方定义法：对任意的 n，都有 (q 0) 为等比数列1(0)nnaq1naqna等比中项法： （ 0） 为等比数列21nn1nn3通项公式法： 为等比数列1(,0naq是 不 为 的 常
4、数 )na（3）常用结论若数列 ， 为等比数列，则数列 ， ， ， ，nab1nankA2a1nnab(k 为非零常数) 均为等比数列 .若 m+n=p+q (m， n， p， q )，则 = .*NnmApq特别的，当 n+m=2k 时，得 =nma2k在等比数列 中，每隔 k(k )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为na*等比数列，且公比为 (例如： ， ， ， 仍为公比 的等比数列)1kq147a103q若数列 为等差数列，则记n， ， ，12kkSa2122kkkSa32123kkkSaa则 ， ， 仍成等比数列，且公差为3 q4三、求任意数列通项公式 的方法na（1 ）累加
5、法：若 满足 an+1=an+f(n)利用累加法求：n na2132431()()()()n naa例题：若 ，且 ，求：1n练习题：若数列 满足 ，且na1120nna1a5（2 ）累乘法：若 满足 利用累乘法求：na1()nnfana3241 1()()n naAA例题：在数列 an中， ，求： .1,2nana练习题：在数列 an中， 且 ，求： （提示： ）11nana123.!n6（3）递推公式中既有 ，又有 ，用逐差法nSna特别注意：该公式对一切数列都成立。1nna = 27（4）若 满足 ，则两边加： ，在提公因式 P，构na1,()nnpaq1qxp造出一个等比数列，再出求：
6、 na例题：已知数列 ，满足： ，且 ，求：na12n1na习题 1：已知数列 满足： 且 ，求：na13na1na习题 2：已知数列 满足： ，且 ，求：na12nSana8（5）若 满足 ，则两边同时除以： ，构造出一个等差数列，na1nknpa1np再求出： n例题：已知 满足： ，求：a1112nnana解： ，既有：12nn 12所以： 是首项为： ，公差 的等差数列n12d所以：1()2na 12nna习题 1：已知 且 ，求：113nnan习题 2：已知 且 ，求：1123nnaan9（六）待定系数法：若 满足以下关系：na都可用待定系数法转变成一个等比数列来：1nkf温馨提示：
7、提 ，对 待定系数()fn例题 1：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.na112356nna， na解： ，与原式对应得，1152()nn nxxx1x152nnnaa所以： 是首项 ，公比 的等比数列n1q既有： 15252nnaa例题 2：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.n1134nna， na解： ，11(2)32 nn naxyaxyxy与原式对应得： 5,11 11 5523(2)32 nnnnn aaa所以： 是首项为： ，公比 的等比数列n 1q既有： 152335nnnnaa10（七）颠倒法：若 满足： ，用颠倒法；na1nnCa11 1nnnn nnCa a所以：
8、，所以： 是以首项为： ，公差 的等差数列1nna1dC例题 1：已知 ，且 ，求：12nna12an例题 2：已知 ，且 ，求：113nnaana11（八）倒数换元法：若数列 满足： ，则颠倒变成na1nnAaBC11nnnBaCAA然后再用两边加： 或者待定系数法既可求出 ，再颠倒就可得到：qp1nana例题：若数列 满足： ，且 ，求：na123nna1解： ，两边加：1 得：1123nn n 132nna，11 3()22nnnaa所以： 是首项为： ，公比： 的等比数列；n1a32q既有：2121332()nnn nn aa若用待定系数法： 1113()2nn nnnaxa与原式子对
9、应得 ，然后的方1 1332nnnnxxa1法同上；习题：已知 且 ，求：113nnaa1n12四、求前 n 项和 Sn的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前 n 项和；或者是等差与等比的商的前 n 项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式） 。既：设 为等差数列， 为等比数列，求： 或 的前 n 项和常用此方法（ 都转变nabnab nab为乘积形式）例题 1：已知数列 ，数列 的前 项和 ，求数列 的2nan2nSna前 项和 nT例题 2：求数列 的 的前 项和312nanabnS13习题 1：求： 23147.(2)nnS习题 2：设数列 ，求 的前
10、 n 项和1(2)3naanS14（2）裂项相消求和 适用于 的形式，变形为：1()nak11()()naknk例题：求数列 的前 n 项和()n nS习题 1：求数列 的前 n 项和 1(2)nanS习题 2：求数列 的前 n 项和.,1,321, n15（3） 、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减；例题：求 的前 和 ？321nnanS习题 1：已知 是一个递增的等差数列且 ， 前 n 项和为na2415,4aanS数列 的前 n 项和为 ，求数列 的前 n 项和21nbnSncbT16（3） 、倒序求和：若 ，则 的前前 n 项和 用倒序求和1()knafknanS【角标之和为 ， 可以为一个常数，能用倒序求和的，1n()f一定是可求的】(1)2.f例题 1：若数列 ，求 的前前 n 项和12mmnananS习题 2：若数列 ，求 的前前 n 项和13knkananS
