1、1数列培优专题一通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法： 1()naf例 1已知数列 满足 ， ，求 。21nan21na（3）构造等差或等比 或1nnapq1()nnapf例 2已知数列 满足*1,2(.N求数列 的通项公式；n例 3已知数列 中， , ，求 .na111()2nnana.练习:已知数列 满足 ，且 。an ）（ 2n1a2n81a4（1）求 ； （2）求数列 的通项公式。321， 2（4） 利用 1(2)nSa例 4.设数列 的前 项的和n，1233Sa,2A（）求首项 与通项 ；1na（）设 ， ，证明：nTS,2A132niT（5）累积法 转化为 ，逐商相乘
2、.nnaf)(1 )(1nfn例 5.已知数列a n，满足 a1=1， (n2)，1321 )(n aa则a n的通项 _n（6）倒数变形： ,两边取倒数后换元转化为 。1nnapq qpann1例 6：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,13an3练习：已知数列a n满足：a 1 ，且 an32n132nN （ ， ） 求数列a n的通项公式；（7）递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnapa12解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 )(112nnsatsa其中 s，t 满足 qt解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。
3、若 是特征方程的两个根，当 时，数列nnqapa12 21,na02qpxna21,x21x的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当 时，数列 的通项为na121nxA2, 21,x,121nBxAa 21xna，其中 A， B 由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） 。1)(xB21, 21,x1)(nxB例 7. 已知数列 中， , , ，求 。na12annna3124（8） 形式递推： CBaAann21例 8.已知数列 各项都是正数，且满足： ，n )4(21,0nnaa )(N求数列 的通项公式a(9) 分式线性
4、递推数列 （ ）dacbnn1 0,cR其特征方程为 ，即 ，dxba)(2x1、若方程有两相异根 、 ，则 成等比数列，其公比为 ；1s221san 21csa2、若方程有两等根 ，则 成等差数列，其公差为 .211n 1例 9.若 则称 为 的不动点，函数0xf )(xf xf32)(（I）求 的不动点)(（II）数列 满足 ， ，求数列 的通项公式na)(1nnaf51na5练习.已知数列 满足 ，则 = （ ）na)(13,0*11 Nnan 20aA0 B C D 3三数列求和1、等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn3、错位
5、相减法求和 an 、 b n 分别是等差数列和等比数列. 12nnSabab例 10.求数列 前 n 项的和.,2,64,234、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 10.)(1na5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 11 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa66、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组
6、合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1） 为等差数列，na11nnaadA（2） n例 12 求数列 的前 n 项和.,1,321,n例 13等比数列 na的各项均为正数，且 21362,9.aa（1）求数列 的通项公式.(2)设 31323logl.log,n nbaa求数列 nb的前项和.练习71.设函数 3()1fxx， na是公差不为 0 的等差数列， 127()()14fafa，则 127a（ ）A、0 B、7 C、14 D、212.已知数列 的通项公式 ，则 的最大项是（ ）na245nanaA B C D1 34a3. 记 x为不超过实数 x的最大整数，
7、例如， 2， 1.5， 0.31。设 为正整数，数列 nx满足 1a， 1()2naxN，现有下列命题：当 5a时，数列 n的前 3 项依次为 5,3,2；对数列 nx都存在正整数 k，当 n时总有 k；当 时， n；对某个正整数 k，若 1kx，则 nxa。其中的真命题有_。 （写出所有真命题的编号） ？4.对于 Nn，将 n 表示为 11022kkaa ,当 i时 1ia，当 01i时 ia为 0 或 1，定义 nb如下：在 的上述表示中，当 01,a，a 2，a k中等于 1 的个数为奇数时，b n=1；否则 bn=0.中国教#*育&出版网（1）b 2+b4+b6+b8=_；（2）记 c
8、m为数列b n中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数，则 cm的最大值是_.5.n2(n4) 个正数排成 n 行 n 列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知 a24=1,a42= ，a 43= ,求 a11+a22+a33+ann=81636.数列 的各项为正数,其前 n 项和 满足 ,则 =_.n nS)1(2na7.对于项数为 m的有穷数列 n
9、a，记 1mx,.kkb（ ,2.m） ，即 kb为 12,.ka中的最大值，并称数列 nb是 a的控制数列，如 1，3，2，5，5 的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列 n的控制数列为 2，3，4，5，5，写出所有的 n8（2）设 nb是 a的控制数列，满足 1kmabC（ 为常数， 1,2.km） ，求证： kba（ 1,2.m）（3）设 10m，常数 1,2，若(1)22nn， nb是 a的控制数列，求 12()()10.()ba8.已知各项均为正数的两个数列 na和 b满足： 21nnba， *N，（1）设 nnab1， *N，求证：数列2n是等差数列；（2）设 nnb21， ，且 na是等比数列，求 1a和 b的值
