1、数值分析习题参考解答 江世宏编1第一章 绪论姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算）510.解： ，2*34x 325*101x故具有 3 位有效数字。2 具有 4 位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）159.解： ，欲使其近似值 具有 4 位有效数字，必需100 *， ，即4*2 331022 14209.34109.*即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有 4 位有效数字。3 已知 ， 是经过四舍五入后得到的近似值，问 ， 有几
2、位031.a978.b ba有效数字？（有效数字的计算）解： ， ，而 ，3*22*1018.2ba176.2130)()( baba故 至少具有 2 位有效数字。 2123* 065102978.)( 故 至少具有 2 位有效数字。ba4 设 ， 的相对误差为 ，求 的误差和相对误差？（误差的计算）0xxln解：已知 ，则误差为 * *x则相对误差为 * lnln1lnxx5 测得某圆柱体高度 的值为 ，底面半径 的值为 ，已知hcm20rcm5*， ，求圆柱体体积 的绝对误差限与相对误差cmh2.0|*r1.|*hv2限。（误差限的计算）解： *2*2),(),( rrhrhvr 绝对误差
3、限为 25.051.055,0( 2数值分析习题参考解答 江世宏编2相对误差限为 %42015)5,20(, 2vrh6 设 的相对误差为 ,求 的相对误差。（函数误差的计算）x%anxy解： ，* )(* naxn7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为 ，问度量半径 时允许的相对误差限为多%1r大？（函数误差的计算）解：球体积为 ，34)(rrv3*4)(rv欲使 ，必须 。13)( *2* rrr %31*r8 设 ，求证：10dxeInn（1） )2,(1I（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）解： 11010110 n
4、xnxnxnxnn IdedeedeI 1110)(Ix如果初始误差为 ，若是向前递推，有*00I 022111* !)1()1()()( nnnnInn 可见，初始误差 的绝对值被逐步地扩大了。0如果是向后递推 ，其误差为nnII1 n !)1(21)()()( 1*110 可见，初始误差 的绝对值被逐步减少了。n数值分析习题参考解答 江世宏编3第二章 插值法姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 已知 ，求 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）1)2(,)1,2)(fff )(xf解法一（待定系数法）：设 ，由
5、插值条件，有cbaxL124cba解得： 。3/4,/,6/故 。2)(xxL解法二（基函数法）：由插值条件，有 1)2(1)2(1)(1)( xx323x4622 已知 ，用线性插值求 的近似值。（拉格朗日线性插值）9,10xy 7解：由插值节点与被插函数，可知， ， ，其线性插值函数为240y391y5634924)( xxL的近似值为 。7.157)(3 若 为互异节点，且有,.10(njx )()()() 1110 njjjjjjjj xxxxl 试证明 。 （拉格朗日插值基函数的性质）,.)(0 nklnjjk数值分析习题参考解答 江世宏编4解：考虑辅助函数 ，其中， ， 。nj k
6、jkxlxF0)()( nk0),(x是次数不超过 的多项式，在节点 （ ）处，有)(xFi 0)()(0 kiikiikinj iijki xxlxl这表明， 有 n+1 个互异实根。)(F故 ，从而 对于任意的 均成立。0xnj kjkxl0)( nk04 已知 ，用抛物线插值计35274.06.si,3487si,314567.2.si 算 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）670n解：由插值条件，其抛物线插值函数为 314567.0).32.0)(4.(6) xxL8.).)(3.0(35274.0)6.)(2.(4x将 代入，计算可得： 。370x 30.)6.(L其余项为：
7、其中，)6.(4.32.0!sin)( xxr 36.02.)6.)(4.32.061)( xr故误差的上界为：。7104.2)36.07.)(3407.)(67.()7.( r5 用余弦函数 在 ， ， 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插xcos01x2值多项式, 并近似计算 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉6格朗日二次插值）解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为数值分析习题参考解答 江世宏编50)4/2)(0/(21)/4)(0/(1)2/0)(4/() xxxxL22 /88 850.924)/6(/)/6)(4/()6 22 L绝对误差为： 13.183943)(
8、cosL相对误差为： 079.2849)6(L余项为：，其中，)2/)(4/(!3sin)(xxr 2/0其余项的上界为： )/(4/61xr0239.)2(461)( 43r比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6 已知函数值 ，求函数的四阶均21)6(,8)4(,6)(,1)(,)0( fffff差 和二阶均差 。（均差的计算）6,431,f 34解：采用列表法来计算各阶均差，有x y 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0 61 10 43 46 18 14/34 82 36 6 1/36 212 65 29/3 11/15 1/15从表中可查得： 。156,
9、430fx y 一阶均差 二阶均差4 821 10 72/33 46 18 6数值分析习题参考解答 江世宏编6故 。其实，根据均差的对称性， ，该值在第一个表63,14f 64,31,4ff中就可以查到。7 设 求 之值，其中 ，而节点)()()(10nxxxf 1,0pxf 1np互异。（均差的计算）,10ni解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有 pi pipiiiiiii xxxxxfxf0 111101,0 )()()( 而 ，故 。)(if0,pf8 如下函数值表 x0 1 2 4)(f1 9 23 3建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解：先构造均差表x f
10、(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差0 11 9 82 23 14 34 3 -10 -8 -11/4故 。)2(14)(8)( xxxN9 求一个次数小于等于三次多项式 ，满足如下插值条件： ， ，)p2)1(p4)(， 。（插值多项式的构造）3)2(p12)(解法一（待定系数法）：设 ，则dcxbax23)(，由插值条件，有cbax)(2123927418dcba解得： 。,5,数值分析习题参考解答 江世宏编7故 61592)(23xxp解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 22 4 22 4 3 13 12 8 5 2故 6159)()(
11、1)()( 3 xxxxxp10 构造一个三次多项式 ，使它满足条件)(H（埃尔米特插值）。)(,)2(,0)1(,)0( HH解：设 ，dcxbax3 cbxax23利用插值条件，有 123480cbadd解得： 。1,4,)(23xxH11 设 。(1)试求 在 上的三次埃尔米4/9,14/,20f )(xf4/9,1特插值多项式 ，使得 ， 以升幂形)(x ),210),(fHjxfHj (x式给出。(2)写出余项 的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。R解： ， ， ， ，81)4(f)(f827)49(f 213)(xf 3)(f设 ，dcxbaxH23 cbaxH2数值分析习题
12、参考解答 江世宏编823387491687114cbadcba解得： ， ， ， 。540523c1d故 。621)(3xxH，其中， 。)49()4(825xR 49112 若 ，试证明：0,)2bfafcf（插值余项的应用）|)( |mx81|( |max2bab 解：以 为插值条件，作线性插值多项式，有0)ff 0)()( fabaxL其余项为 )(!2)()( bxafxffR故 。)(max)(81)ma21ax 2fbbxb 13 设 求 使 ；,(,)0(,)(fff (xp,10ifi又设 ，则估计余项 的大小。（插值误差的估计）M| )fr解：由插值条件，有 241cba解得
13、：1/38c从而 148)(2xxp其余项为数值分析习题参考解答 江世宏编9)2,()2(!3)()()( xfxpfxr MM738916463数值分析习题参考解答 江世宏编10第三章 函数逼近姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1 设 ，求 于 上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）xfsin)()(f1,0解： ,1pa， ，),(01dx2),(1021xd31),(102dx，sin),(01f 1sincosin),( 02102 xxf法方程组为 13212a解得： ，102线性最佳平方逼近多项式为： 。2*2 令 ，且设 ,求 使
14、得 为 于 1,)(xexf xap10)(10)(xpf1,上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解： ,span， ，2),(11dx0),(121xd32),(12dx，11),(efx112),(efx法方程组为 12130ea解得： ，)(1132数值分析习题参考解答 江世宏编11线性最佳平方逼近多项式为： 。xexp32)(13 证明：切比雪夫多项式序列 )arcos()(xkxTk在区间 上带权 正交。（正交多项式的证明）1,21/解：对于 ，有ldxkxlxTkl )arcos()arcos(1),(2 002 )cos()in()(cs dtkltttlt0 )o()(1d
15、tklkl 0sin1sin2tlltll对于 ，有kl dxkxT)arcos(1),(2 0220 )(cos)in(cos dtkttt )i(1)(120 ttdk故，序列 在-1，1上带权 正交。)(xTk 21)(x4 求矛盾方程组： 的最小二乘解。（最小二乘法）2431x解法一：求 与 ，使得2 2121211 )()4()3(),( xxxxf达到最小。于是，令数值分析习题参考解答 江世宏编120)2()42()3(21121 xxxf )1()()( 2121212 f即： ，其最小二乘解为： 。96321x649.05721x解法二：，记作 ，该矛盾方程组的最小二乘解，应满
16、足以下方程组241xbAX，即bAXTT96321x解之，得 。4.05721x5 已知一组试验数据 kx2 2.5 3 4 5 5.5y4 4.5 6 8 8.5 9试用直线拟合这组数据. (计算过程保留 3 位小数)。（最小二乘线性逼近）解：作矩阵，5.1435.21A9.86.y法方程为 )()(yAXTT即 25.16405.9026ba解得： ， 。813其直线拟合函数为 。xy8数值分析习题参考解答 江世宏编136 用最小二乘原理求一个形如 的经验公式,使与下列数据相拟合.2bxaykx19 25 31 38 44y19 32.3 49 73.3 97.8（最小二乘二次逼近）解：等
17、价于对数据表 2kx361 625 961 1444 1936y19 32.3 49 73.3 97.8作线性拟合。其法方程组为： 5.3692147726953ba解得： ，.0a0.故经验公式为 。2xy数值分析习题参考解答 江世宏编14第四章 数值积分姓名 学号 班级 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。1 给定求积公式 试确定 使它的代数精度尽可能)(0)()( hcfbfhafdxfh cba,高。（代数精度的应用和计算）解：分别取 ，使上述数值积分公式准确成立，有；2,1)(f3/2)(02hchab解得： 。,4
18、,3b故求积公式为 。)(3)0(4)(3)( hffhfdxfh 再取 ，左边= ，右边=3)(xfh 0)(34再取 ，左边= ，右边=4fhdx524 32)(3544hh此求积公式的最高代数精度为 3。2 求积公式 ，试确定系数 , 及 ，使该求)0()1()0()(10 fBfAff 0A10B积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）解：分别取 ，使求积公式准确成立，有2,1)(xf3/10AB解得： 。61,200求积公式为 。)0()(3()(1 fffdxf 再取 ，左边= 右边3xf 612410故该求积公式的最高代数精度为 2。数值分
19、析习题参考解答 江世宏编153 数值积分公式 ，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式)2(13)(30fdxf的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）解：令 ，1)(xf )(230 f，f)( )(12930 fd，2)(xf )2(315230 f故代数精度为 1。由于求积节点个数为 2，代数精度达到 1 次，故它是插值型的求积公式。4 如果 ，证明用梯形公式计算积分 所得到的结果比准确值大，并说明其)(f badxf)(几何意义。（梯形求积）解：梯形求积公式 )(2bfabT是由过点 ， 的线性插值函数)(,f,)()(fabxaxL在a,b上的定积分。注意到：在区间a,b上， ，而
20、 ，有0)(f 0)(bxa0)(!2)( dxbaxfdLfdxLxfTI abababa 从而 。其几何意义可作以下解释：在区间a,b上， ，故曲线 下凹，直线 位于曲线之上，因0)(xf )(xfy)(xLy此，曲边梯形的面积 小于梯形面积 。badfI badT)(数值分析习题参考解答 江世宏编165 用 的复化梯形公式计算积分 ，并估计误差。（复化梯形求积）4n21dx解： ，取求积节点为12h )4,10(4ii )(21)(2)(2 432101301301 xffxffxfhxffhdxxiiiiii 697.08476542因 ，则误差大约为： 。ln1dx 039.ln6
21、设 ,则用复化辛甫生公式计算2)1(,)5.(,6)0(,4).(,)( fffff，若有常数 使 ，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。1xM|)4（复化辛甫生公式）解： 10011 )()()(dxfxfdf )1(65.0(4)61)0(5.64 ffffff 7.29 10 22)4(01)4(2 )1(5.0)(!)(5.0)(1! dxxfdxxfSI )1(5.)()(.)(4102012M 042.6).(6)(5.)(2 25.0202 MdttMdxx8.数值分析习题参考解答 江世宏编177 已知高斯求积公式 将区间0,1二等分，用复)573.0()573.0()(1 f
22、fdxf化高斯求积法求定积分 的近似值。（高斯公式）10解： dxxd12/2/1010对于 作变量换 ，有2/10 t4573.01573.018812/10 dtdx对于 作变量换 ，有12/ t43573.0573.0818112/ dtdx 692.05.573.010 8 试确定常数 A，B，C 和 ，使得数值积分公式 有a )()()(2 aCfBfaAfdxf 尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）解：分别取 ，使上述数值积分公式准确成立，有；432,1)(xxf564)(031)(44322aCAaCB
23、A整理得：数值分析习题参考解答 江世宏编18564)(31442CAaB解得： 。512,9,10aB数值求积公式为 )512(90)(6)()(2 fffdxf 再取 ，左边= ，右边=5)(f25dx 0)512(906)( 再取 ，左边= ，右边=6)(xf267 768)()512(906可见，该数值求积公式的最高代数精度为 5。由于该公式中的节点个数为 3，其代数精度达到了 次，故它是高斯型的。51329 设 是0,1区间上带权 的最高次幂项系数为 1 的正交多项式系)(xPn x)(（1）求 。2（2）构造如下的高斯型求积公式 。（高斯求积）)()()(1010 xfAfdxf解（
24、1）：采用施密特正交化方法，来构造带权 且在0，1 上正交的多项式序列取 ，设 ，且它与 在0 ，1上带权 正交，于是)(0xP)()(01xPx)(0xx)(，),(),(),(0010 32),(.1020xdP故 。32)(32)(01xPx设 ，且它与 、 在0，1 上带权 正交，)(012)(0x1 x)(于是数值分析习题参考解答 江世宏编19，),(),(),(0002PxP 21),(10302xdPx，),(),(),(01121x 56)32(),(10312 dxx562)3(56)(2)(56)( 20122 xxxPP解（2）： 的零点为： 。32x 10,设 )6()
25、106()(110fAfdf分别取 ，使上述求积公式准确成立，有xf,，即3/106162/0AA63120A解得： ， 。640A641高斯型求积公式为 )106()1()0()()10 ffdxf数值分析习题参考解答 江世宏编20第五章 非线性方程求根姓名 学号 班级 习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1 用二分法求方程 的正根，要求误差小于 0.05。 （二分法）012x解： ， ， ， 在0，2 连续，故0，2为)(xf )(f 01)2(f)(xf函数的有根区间。（1）计算 ，故有根区间为1，2 。01)(f（2）计算 ，故有根区
26、间为 。041232,3（3）计算 ，故有根区间为 。657)4(f 47（4）计算 ，故有根区间为 。18812 81,2（5）计算 ，故有根区间为 。043)(3f 3（6）计算 ，故有根区间为 。25616512,165（7）计算 ，故有根区间为 。03)(3f 832（8）若取中点 作为取根的近似值，其误差小于40c 0.8取近似根 ，可满足精度要求。69.1*x2 说明方程 在区间1，2内有惟一根 ，并选用适当的迭代法求 （精0ln2*x*x确至 3 位有效数） ，并说明所用的迭代格式是收敛的。 （迭代法）解： 4l)(2xxf 2,1， ， ，故函数单调增加，因此，010n)(f
27、021)(xf该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。取迭代函数 xxl4)(2,1显然 ，且ln4)(2n3数值分析习题参考解答 江世宏编2113ln41l)( exx故迭代 （ ）对任意初始值 收敛。kk1 ,22,1x对于初值 ，其迭代值分别为5.x， ， ，892831.843.x8409.5x由于 ，故 作为近似值，已精确到了 3 位有效数54024.0x5字。3 设有解方程 的迭代法 (1)证明 均有cos31xnnxxcos3241Rx0（ 为方程的根） 。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取*limxn用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 ，列出各次迭代值
28、。 （和收敛性讨40 30论）解(1)： ， （ ） ，故该迭代对任xxcos32)(132sin)(x),(x意初值均收敛于方程的根 。*解(2)：由 ，故有 。*cos324xx 324324310*x，故该迭代的收敛速度是 1 阶的。0in)(解(3):取 ，代入迭代式，可计算出以下结果：0x， ， ， ，5642.31392.354.x38.x3475.5x由于 ，取 可满足精度要求。108x7*4 设 ， ，试证明：由 ，得到的序)()(max ,10)(1nxn列 收敛于 。 （收敛性证明）nx证明：由 知，方程 有根。)(x)(x*01*12*1)( xxx nnnnn 由 ，当
29、 时，有 ，即序列 收敛于 。001xn数值分析习题参考解答 江世宏编225 设方程 在0,1 内的根为 ，若采用迭代公式 ，试0sin23x*x nnxxsi321证明： 均有 为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。Rx0 *(lm（迭代法和收敛性讨论）解：迭代函数 xsin321)(，当cox ),(故迭代在区间 上整体收敛。),(设 ，则 ，且*limxn*sin321x2353210 故 0cos)(*xx故该迭代的收敛速度为 1 阶的。6 方程 在 附近有根，把方程写成 3 种不同的等价形式：235.0(1) ，对应迭代格式：2x21nnx(2) ，对应迭代格式：313(
30、3) ，对应迭代格式：2x11nnx讨论这些迭代格式在 时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛5.0格式计算出 附近的根到 4 位有效数字。 （收敛速度的计算和比较）.10解： ，)(23xf 23,1， ， ，故方程在 上有根 。08)(f ,*x，故方程在 上有根 。0649)5(f ,45*x，故方程在 上有根 。128231对于迭代式（1）： ， ， )(x3)(x130418)(3* x数值分析习题参考解答 江世宏编23而 ，故该迭代局部收敛，且收敛速度为 1 阶的。02)(3*x对于迭代式（2）：在 上， ，2,13/2)()x3/2)()x，又 ，故该迭代在34)(
31、3)3/2 xx 0)1()(3/2*上整体收敛，且收敛速度为一阶的。,1x对于迭代式（3）： 在1，2 上的值域为 ，该迭代式不收敛。1)(x),1取迭代式 ， 进行计算，其结果如下：321nnx5.0， ， ，48.47.2468.3x4670.1x， ， ，65x69x175，取 为近似值具有 4 位有效数字。4178 02.05.8x7 设 3)()axf(1) 写出解 的牛顿迭代格式；(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）解：牛顿迭代式为 ，2165nnxax方程的根为 ， ， ，3*a2)(365)(xa021)(因 ，故迭代局部收敛。又因 ，故迭代收敛速
32、度为 1 阶。12)(3 02138 设计一个计算 的牛顿迭代法，且不用除法（其中 ） 。 （牛顿迭代法）aa解：考虑方程 ， ，01)(xf 21)(xf 22/1)( xax21nnnax而 ，该迭代局部收敛。01)(数值分析习题参考解答 江世宏编249 用牛顿法求 的近似值，取 或 11 为初始值，计算过程保留 4 位小数。 （牛顿1510x迭代的构造）解：考虑方程 ， ，)(2xf xf2)( )15(2)(2xx)15(1nnx取 为初始值，计算其迭代值如下：0， ，75.1x7238.102x7238.10x取 为初始值，计算其迭代值如下：0， ，.1x.2x.3x10 设 是非线
33、性方程 的 m 重根，试证明：迭代法*0)(f)(1nnxfx具有至少 2 阶的收敛速度。 （收敛速度证明）解：设 是非线性方程 的 m 重根，则*x0)(f，且 及 ，其牛顿迭代函数为)()xgfm*2 )()()()( *1* xgxmgxgxgfx mm 牛顿迭代式 )()*1 nnnxg )()( *1 nnnn xgxmgxe 2*2 )()() nnnn egmg )()()lili *21 xmgxennnn 故该迭代的收敛速度至少是 2 阶的。数值分析习题参考解答 江世宏编2511 设 是非线性方程 的 m 重根，证明：用牛顿迭代法求 只是线性收敛。 （收*x0)(xf *x敛
34、速度证明）解：设 是非线性方程 的 m 重根，则*)(f，且 及 ，其牛顿迭代函数为)()xgxfm0*2)()()()( *1* xgxmgxgxgf mm 牛顿迭代式 )()*1 nnnx nnnn exgxmge )()1( *1 01)(1)()limli *1 mxgnnnn故收敛速度为 1 阶的。12 设 ， 在 附近有直到 阶的连续导数，且 ，a)()(p )()(1 aap，试证：迭代法 在 附近是 阶收敛的。 （收敛速度证明）0)(p )(1nnxap解：将 在 点附近作泰勒展式，有x ppp axaxaxaa )(!)(!1)(!2)(!1)( )(1)(2 ，其中， 在
35、与 之间。ppx)(!)(于是： ，其中， 在 与 之间。pnpnpnn eaxaxxe 1)()(!)()(1 nxa由于 ，故 ，从而nlimnli。!)(!)(lili1paepnpn 因此，迭代的收敛速度为 p。数值分析习题参考解答 江世宏编26第六章 常微分方程数值解姓名 学号 班级 习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程 1,0)0(2xy的数值解（取步长 ） ，并与精确解作比较。 （改进的尤拉公式的应用）.h解：原方程可转化为 ，令 ，有xy2 2yzxzd2解此一阶线性微分方程，可
36、得 。1利用以下公式 )4,321,0()(212.0)(. iyyxyycpi piic iiip求在节点 处的数值解 ，其中，初值为 。)5,432(.0ixi iy1,0yxMATLAB 程序如下：x(1)=0;%初值节点y(1)=1;%初值fprintf(x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn,1,x(1),1,y(1),1,y(1);for i=1:5yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*x(i)/y(i);%预报值yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值y(i+1)=(yp+yc)/2;%改进值x(i+1)=x(i)+0.2;%节点值yy(
37、i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精确解fprintf(x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn,i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1);end程序运行的结果如下：x(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000x(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.183216x(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641x(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240数值分析习题参考解答 江世宏
38、编27x(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452x(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.7320512 用四阶龙格库塔法求解初值问题 ，取 , 求 时的数值解. 0)(1y2.h40,x要求写出由 直接计算 的迭代公式，计算过程保留 3 位小数。（龙格库塔方nyxh,1n法的应用）解：四阶龙格-库塔经典公式为 11234()6nykk,)nkfx2 1()2hyk3,nnkfx43()yk由于 ，在各点的斜率预报值分别为：xf1),nyk1 )21()1(2)2(12 hyhykhnnn )(3ykn )21()
39、()()(34 hyyhhk nnn 四阶经典公式可改写成以下直接的形式： )46)(1321yynn 在 处，有2.01x 183.0)42.().0236)(. 31 y在 处，有4.02x 3297.0)4.()2.036)(18.(6.183.2 y注：这两个近似值与精确解 在这两点的精确值十分接近。xey3 用梯形方法解初值问题数值分析习题参考解答 江世宏编281)0(y证明其近似解为 nnh2并证明当 时，它收敛于原初值问题的准确解 。0xey解：显然， 是原初值问题的准确解。xey求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为 ),(),(211 nnn yxfyfh对于该初值问题，
40、其梯形公式的具体形式为， ，)(11nny nnhh)2()2(1 nyhy)2(1于是： 101121 22)2( nnnnn hyhyhyhy亦即： n注意到： ， ，令 ， 有nhxn0xnht221t2)1()1(21 nnnn xtxxthny从而 nnn xtxtnh e200)(lim)(lilim即：当 时， 收敛于原初值问题的准确解 。ny nxey)(4 对于初值问题 ，证明当 时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉1)0(2.0h公式的稳定性讨论）证明：显式的欧拉公式为 nnn yhyxfy)10(),(1从而 ，由于 ， ，nnehe)01( 2.0hne1数值分析习题
41、参考解答 江世宏编29因此，显式欧拉公式绝对稳定。隐式的欧拉公式为 111 0),( nnnn hyyxhfy，hynn01e01由于 ， ，ne1因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。5 证明：梯形公式 无条件稳定。（梯形公式的稳),(),(211 nnn yxfyxfhy定性讨论）解：对于微分方程初值问题 )0(1)0(y其隐式的梯形公式的具体形式可表示为， ，211nnyh nnyhyh)21()2( nyh)2(1从而 ee)(由 ， 可知， ，故隐式的梯形公式无条件稳定。0h nneh)(16 设有常微分方程的初值问题 ，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算0)(,yxf公式 ，使其
42、具有二阶精度，并推导其局部截断误)( 1011 nnn fhyy差主项。（局部截断误差和主项的计算）解：假设 ， ，利用泰勒展式，有)(nx)(11nx 3211 6)(hxyyhyy nnnnn )()(,),( nnnn xxfxf 21111 )()()(, hxyxyyfyf nnnnnnn 3121101 )(6()(2()()2 hhxxy nnnnn 数值分析习题参考解答 江世宏编30又 321 )(61)(1)()( hxyhxyxyxy nnnnn欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须， ，2101从而 ， ，47于是数值计算公式为 。)417()(211 nnn fhyy该
43、数值计算公式的局部截断误差的主项为 3311 )(25)(6()( xyxxy nnn7 已知初值问题 01.)(2yx取步长 ，利用阿当姆斯公式 ，求此微分方程在0，10h )3(211nnfhy上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）解：假设 ， ，利用泰勒展开，有)(nxy)(11nx， ，nynf 211 )()()(hxyxyf nnnn 321 4)()( hxyhxynnnnn而 321 )(611)( xyxy nnnnn 35)(46( hhxy该阿当姆斯两步公式具有 2 阶精度，其局部截断误差的主项为 。3)(125hxyn取步长 ，节点 （ ） ，注意到 ，其计算1.0hn1.00,2, f,公
