1、微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）一、基本导数公式 0c1xsincosx osinx2taec 2tx ecxsscx xlnxa1l 1loglnxa 2rcsi1x21arcosxx 2rct1x2arot二、导数的四则运算法则uvuv2uv三、高阶导数的运算法则（1） （2）nnnxx ncxux（3） （4）nnuabuab()0nnkkuvcv四、基本初等函数的n阶导数公式（1） （2） (3)!xnaxbaxbeelnxxna(4) (5) sisi2nabcoscos2nbaxbn(6) (7) 11!nnaxxb 1!lnnnaxx五、微分公式与微分运算法则 0d
2、c1ddsicosd cosindxdx2tansecxd2cotscxdx et s xdlnxdadx1lnxd 1loglnxa 21rcsi21arcosdx 2rctddx2arot1dxdx六、微分运算法则 uvcu dd2vd七、基本积分公式 kxc1xclndxc lnxxadxxedosix sicos221ectancsdxc 221tsinxd2rtx 2arcsin1x八、补充积分公式tanlosd cotlnsixdxcsecectanxx ot21rtda 21lnxadcxa21arcsinxdx 221lndxaca九、下列常用凑微分公式积分型 换元公式1fax
3、bdfaxbd uaxb1ff lnlnfxdfxd lnuxee e1lnxxfafa xuasicosiinddsincosfxfx cox2tansectat tauocfxdfxd cx21arctarnarcttxartnu2sinsisifxdxfdcsix十、分部积分法公式形如 ，令 ，naxednuaxdve形如 令 ，sisi形如 令 ，conxnxcovx形如 ，令 ，artdartundv形如 ，令 ，lnxlnxn形如 ， 令 均可。siaecosae,sicoaxe十一、第二换元积分法中的三角 换元公式(1) (2) (3) 2axsint2axtan2xasect【
4、特殊角的三角函数值】 （1） （2） （3） （4） （5）sin01si6si2si1sin0（1） （2） （3） （4） （5）coco1coco0co（1） （2） （3） （4） 不存在（5）tan0tan6tantan2tan0（1） 不存在 （2） （3） （4） （5） 不存在cotcotcotcot0ct十二、重要公式（1） （2） （3）0sinlm1x10lixxelim()1na（4） （5） （6）linliarctn2xlit2xrc（7） （8） （9）arcot0xliotxli0xe（10） （11）lime0m1（12） （系数不为0的情况）010linnm
5、x mabaxb十三、下列常用等价无穷小关系 （ ）xsinx:taxarcsin:arctnx:21cosx:l11elx1十四、三角函数公式1.两角和公式sin()sicosinABABsi()sincosinABcocotanttan()1ABBtantan()1tABBco1ct co1c2.二倍角公式sin2isA2222ossinsicos1AAA2tata13.半角公式cossin1coscs21inta2cssAA sintc1oA4.和差化积公式sinico2absin2si2abacosaconintncoab5.积化和差公式1siscos2abab1coscoscs2ab
6、abncoiniabiniin6.万能公式2tsi1an21tancos2tat1n7.平方关系22sicox22secn1xta22csotx8.倒数关系tant1 oin19.商数关系sitcoxcstinx十五、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程： ， dyfxgy120fxgydfxgyd2.齐次微分方程：fx3.一阶线性非齐次微分方程： 解为：dypxQpxdpxdyeQec高考定积分应用常见题型大全一选择题（共21小题）1（2012福建）如图所示，在边长为 1的正方形OABC 中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）A B C D2（2010山东）由曲线y=x 2
7、，y=x3围成的封闭图形面积为（ ）A B C D3设f（x）= ，函数 图象与x轴围成封闭区域的面积为（ ）A B C D4定积分 的值为（ ）A B 3+ln2 C 3ln2 D 6+ln25如图所示，曲线y=x 2和曲线y= 围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（ ）A 1 B C D6 =（ ）A B 2 C D 47已知函数f（x）的定义域为2，4，且f （4）=f（2）=1，f（x）为f （x）的导函数，函数 y=f（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）1（a0， b0）所围成的面积是（ ）A 2 B 4 C 5 D 8801exdx与 01ex dx相比有关系式（ ）A0
8、1exdx 01ex dxB01exdx 01ex dxC（01exdx）2=01ex dxD01exdx=01ex dx9若a= ，b= ，则a 与b的关系是（ ）A ab B ab C a=b D a+b=010 的值是（ ）A B C D11若f（x）= （e为自然对数的底数）， 则 =（ ）A+e2eB+eCe2+eD +e2e12已知f（x）=2 |x|，则 （ ）A 3 B 4 C 3.5 D 4.513设f（x）=3 |x1|，则 22f（x）dx=（ ）A 7 B 8 C 7.5 D 6.514积分 =（ ）A B C a2 D 2a215已知函数 的图象与x 轴所围成图形的面
9、积为（ ）A 1/2 B 1 C 2 D 3/216由函数y=cosx（0x2）的图象与直线 及y=1 所围成的一个封闭图形的面积是（ ）A 4 B C D 217曲线y=x 3在点（ 1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面 积为（ ）A B C D18图中，阴影部分的面积是（ ）A 16 B 18 C 20 D 2219如图中阴影部分的面积是（ ）A B C D20曲线 与坐标轴围 成的面积是（ ）A B C D21如图，点P（ 3a，a）是反比例函 y= （k0）与 O的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反比例函数的解析式为（ ）Ay=By=Cy=Dy=高考定积分应用常见
10、题型大全（含答案）参考答案与试题解析一选择题（共21小题）1（2012福建）如图所示，在边长为 1的正方形OABC 中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）A B C D考点： 定积分在求面积中的应用；几何概型 501974 专题： 计算题分析： 根据题意，易得正方形OABC的面积， 观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y= 围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案解答： 解：根据题意，正方形OABC 的面 积为11=1，而阴影部分由函数y=x与y= 围成，其面积为 01（ x）dx=（ ）|01= ，则正方形OABC中任取一点P，点 P取自阴影部分
11、的概率为 = ；故选C点评： 本题考查几何概型的计算，涉及定 积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积2（2010山东）由曲线y=x 2，y=x3围成的封闭图形面积为（ ）A B C D考点： 定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题分析： 要求曲线y=x 2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定 积分的几何意 义，只要求01（x2x3）dx即可解答： 解：由题意得，两曲线的交点坐 标是（1， 1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为 01（x2x3）dx ，故选A点评： 本题考查定积分的基础知识，由定 积分求曲线围成封闭图 形的面积3设f（x）= ，函数 图
12、象与x轴围成封闭区域的面积为（ ）A B C D考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题；数形结合分析： 利用坐标系中作出函数图象的形状，通 过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面 积解答： 解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭 区域的面积S=故选C点评： 本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考 查积分与曲 边图形面积的关系，属于中档题解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性4定积分 的值为（ ）A B 3+ln2 C 3ln2 D 6+ln2
13、考点： 定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用 501974 专题： 计算题分析： 由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定 积分的值即可解答：解： =（x2+lnx）|12=（22+ln2）（12+ln1）=3+ln2故选B点评： 本题考查求定积分，求解的关 键是掌握住定积分的定义及相关函数的 导数的求法，属于基础题5如图所示，曲线y=x 2和曲线y= 围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（ ）A 1 B C D考点： 定积分；定积分的简单应用501974 专题： 计算题分析： 联立由曲线y=x 2和曲线y= 两个解析式求出交点坐标，然后在x（0， 1）区间上利用定积
14、分的方法求出围成的面积即可解答：解：联立得 ，解得 或 ，设曲线与直线围成的面积为S，则S= 01（ x2）dx=故选：C点评： 考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积 的能力6 =（ ）A B 2 C D 4考点： 微积分基本定理；定积分的简单应用 501974 专题： 计算题分析：由于F（x）= x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F（x）=f（x），根据 abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值解答：解： （ x2+sinx）=x+cosx， （x+cosx）dx=（ x2+sinx） =2故答案为：2点评： 此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定
15、 积分运算，是一道基础题7已知函数f（x）的定义域为2，4，且f （4）=f（2）=1，f（x）为f （x）的导函数，函数 y=f（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）1（a0， b0）所围成的面积是（ ）A 2 B 4 C 5 D 8考点： 定积分的简单应用501974 分析： 根据导函数的图象，分析原函数的性 质或作出原函数的草 图，找出 a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解解答： 解：由图可知 2，0）上f（x） 0，函数 f（x）在2 ，0）上单调递减，（0， 4上f（x）0，函数 f（x）在（0，4上单调递增，故在 2，4上，f（x）的最大值为f（4）=f（2）=1，f（
16、2a+b）1（a0 ，b0）表示的平面区域如图所示：故选B点评： 本题考查了导数与函数单调性的关系，以及 线性规划问题 的综合应用，属于高档 题解决时要注意数形结合思想应用801exdx与 01ex dx相比有关系式（ ）A01exdx 01ex dxB01exdx 01ex dxC（01exdx）2=01ex dxD01exdx=01ex dx考点： 定积分的简单应用；定积分501974 专题： 计算题分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x 在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数 图象观察面积 大小即可解答： 解： 01exdx表示的几
17、何意 义是以直 线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，01ex dx表示的几何意 义是以直线x=0，x=1及函数y=e x 在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图当 0 x1时， exxe x ，故有： 01exdx 01ex dx故选B点评： 本题主要考查了定积分，定积 分运算是求导的逆运算，解 题 的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基 础题9若a= ，b= ，则a 与b的关系是（ ）A ab B ab C a=b D a+b=0考点： 定积分的简单应用501974 专题： 计算题分析：a= =（cosx） =（cos2）（cos ）=c
18、os2sin24.6，b= =sinx=sin1sin0=sin1sin57.3解答：解： a= =（cosx） =（cos2）（cos ）=cos2cos114.6=sin24.6，b= =sinx =sin1sin0=sin1sin57.3，b a故选A点评： 本题考查定积分的应用，是基 础题解 题时要认真审题，仔细解答10 的值是（ ）A B C D考点： 定积分的简单应用501974 专题： 计算题分析： 根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心， 1为半径第一象限内 圆弧与抛物线y=x 2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出 圆的面积 乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与
19、x轴和直线x=1围成的图形的面积即可解答： 解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心， 1为半径第一象限内 圆弧与抛物线y=x 2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差即 = = =故答案选A点评： 本题主要考查了定积分，定积 分运算是求导的逆运算，解 题 的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基 础题11若f（x）= （e为自然对数的底数）， 则 =（ ）A+e2eB+eCe2+eD +e2e考点： 定积分的简单应用501974 专题： 计算题分析： 由于函数为分段函数，故将积 分区间分为两
20、部分， 进而分别 求出相应的积分，即可得到结论解答：解： = = =故选C点评： 本题重点考查定积分，解题的关 键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分12已知f（x）=2 |x|，则 （ ）A 3 B 4 C 3.5 D 4.5考点：定积分的简单应用501974 专题：计算题分析： 由题意， ，由此可求定积分的值解答： 解：由题意， =+ =2 +42=3.5故选C点评：本题考查定积分的计算，解题 的关键是利用定积分的性质 化为两个定积分的和13设f（x）=3 |x1|，则 22f（x）dx=（ ）A 7 B 8 C 7.5 D 6.5考点： 定积分的简单应用501974 专题： 计算
21、题分析： 22f（x）dx=22（3|x1|）dx，将 22（3|x1|）dx转化成 21（2+x）dx+12（4x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可解答：解： 22f（x）dx=22（3|x1|）dx=21（2+x）dx+12（4x）dx=（2x+ x2）|21+（ 4x x2）|12=7故选A点评： 本题主要考查了定积分，定积 分运算是求导的逆运算，同 时 考查了转化与划归的思想，属于基础题14积分 =（ ）A B C a2 D 2a2考点： 定积分的简单应用；定积分501974 专题： 计算题分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被 积函数y= 与x
22、轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个 圆解答：解：根据定积分的几何意义，则 表示圆 心在原点，半径 为3的圆的上半圆的面积，故 = = 故选B点评： 本小题主要考查定积分、定积 分的几何意义、 圆的面积等基 础知识，考查考查数形结合思想属于基础题15已知函数 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A 1/2 B 1 C 2 D 3/2考点： 定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题分析： 根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（ ）|01+sinx = +1=故选D点评： 本题考查定积分在
23、求面积中的应用，求解的关 键是正确利用定 积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知 识点不熟悉公式用错而导 致错误，牢固掌握好基 础知识很重要16由函数y=cosx（0x2）的图象与直线 及y=1 所围成的一个封闭图形的面积是（ ）A 4 B C D 2考点： 定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题分析：由题意可知函数y=cosx（0x2）的图象与直线 及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求 0 （1cosx）dx即可然后根据积分的运算公式进行求解即可解答：解：由函数y=cosx（0x2 ）的图象与直线 及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是： 0 （1
24、cosx）dx=（xsinx）|0= 故选B点评： 本题考查余弦函数的图象，定 积分，考 查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分17曲线y=x 3在点（ 1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面 积为（ ）A B C D考点： 定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题分析： 欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（ 1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再 结合导数的几何意 义即可求出切线的斜率，从而问题解决解答： 解： y=x3，y=3x2，当x=1 时，y=3得切线的斜率为3，所以k=3
25、；所以曲线在点（1，1）处的切线 方程为：y1=3（x1），即 3xy2=0令y=o得：x= ，切 线与 x轴、直 线x=1所围成的三角形的面积为：S= （1 ）1=故选B点评： 本小题主要考查直线的斜率、 导数的几何意义、利用 导数研究曲 线上某点切线方程等基础知识，属于基础题18图中，阴影部分的面积是（ ）A 16 B 18 C 20 D 22考点： 定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题分析： 从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2， 2），（8，4）过（2， 2）作x轴的垂线把阴影部分分为S 1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积
26、解答： 解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2， 2），（8，4）过（2， 2）作x轴的垂线把阴影部分分为S 1，S2两部分，分别求出它们的面积A 1，A2：A1=02 dx=2 dx= ，A2=28 dx=所以阴影部分的面积A=A 1+A2= =18故选B点评： 本题考查定积分在求面积中的应用，解 题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基 础题 考 查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力19如图中阴影部分的面积是（ ）A B C D考点：定积分在求面积中的应用501974 专题：计算题分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分 进行分割到三
27、个象限内，分别对三部分进行积分求和即可解答： 解：直线y=2x与抛物线y=3 x2解得交点为（3， 6）和（1， 2）抛物线y=3 x2与x轴负半轴交点（ ，0）设阴影部分面积为s，则=所以阴影部分的面积为 ，故选C点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解 题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基 础题20曲线 与坐标轴围 成的面积是（ ）A B C D考点： 定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题分析：先根据题意画出区域，然后依据 图形得到积分下限为0， 积 分上限为 ，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定 积分的定义求出所
28、求即可解答： 解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 ，积分下限为0曲线 与坐标轴围成的面积是：S=0 （ ）dx+ dx=围 成的面 积是 故选D点评： 本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形 结合的思想，同 时会利用定积分求图形面积的能力，解 题的关键就是求原函数21如图，点P（ 3a，a）是反比例函 y= （k0）与 O的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反比例函数的解析式为（ ）Ay=By=Cy=Dy=考点： 定积分在求面积中的应用501974 专题： 计算题；数形结合分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值解答： 解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：r2=10解得：r=2 点 P（3a，a）是反比例函y= （k0）与 O的一个交点3a2=k且 =ra2= （2 ）2=4k=34=12，则反比例函数的解析式是：y= 故选C点评： 本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系
