1、20102011 学年度第一学期期末考试高二数学（考试时间：120 分钟，满分：150 分） 2011 年 1 月一、单 项 选 择 题 （ 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 60 分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的答案代号填在本大题后的表格内。 ）1. 两条异面直线指的是A. 分别在两个平面内的直线； B. 没有公共点的直线；C. 平面内一条直线和平面外一条直线； D. 不同在任何一个平面内的两条直线。2. 已知 a， Rb，则 |ba是 2的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分
2、也不必要条件3. 已知直线 l过点（-1，0） ，当直线 l与圆 xy22有两个交点时，其斜率 k的取值范围是A. )3,( B. )2,(C. )1,(D. )3,(4. 方程 1sinsi22yx所表示的曲线为A. 焦点在 轴上的椭圆 B. 焦点在 x轴上的双曲线C. 焦点在 y轴上的双曲线 D. 焦点在 y轴上的椭圆5. 如图，在同一坐标系中，方程 122ybxa与 02ba )0(ba的曲线大致为6. 椭圆 123yx上一点 P 到左焦点的距离为 23，则点 P 到右准线的距离为A. B. 23C. 1059 D. 297. 已知 a、 b、 c是空间三条直线， 是平面，则下列命题中正
3、确的是A. 若 ， ，则 a bB. 若 c是 a在 内的射影，且 cb，则 baC. 若 ， b，则 aD. 若 ， ，则 8. 过抛物线 241yx焦点的直线的倾斜角为 3，则抛物线顶点到该直线的距离为A. 3 B. 3C. 21 D. 19. 已知椭圆 152nymx和双曲线 3nymx有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A. yx2 B. x25C. y43 D. xy4310. 若实数 、 满足 01x，则 yxz2的最小值是A. 0 B. 1 C. 3 D. 911. 椭圆 925yx上的一点 P 到两焦点距离之积为 m，当 最大时，P 点的坐标为A. （5，0）或（-5，0）
4、B. （0，3）或（0，-3）C. )32,(或 )32,(D. )2,5(或 )23,5(12. 已知点 0,，点 ,B，动点 ),(yxP满足 xPA，则点 P 的轨迹是A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分）13. 经过点（-2，3）且与直线 02yx平行的直线方程为 。14. 双曲线 12ayx的焦点坐标是 。15. 已知 )0,3(1F、 ),(2为椭圆 12byax的两个焦点，点 P 在椭圆上， 21PF，当 时， 1PF的面积最大，则 的值等于 。16. 有以下四个关于圆锥曲线的命题： 方程 025x的两根
5、可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 19y与椭圆 1352yx有相同的焦点； 设 A、B 为两个定点， k为非零常数，若 kPBA|，则动点 P 的轨迹为双曲线； 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若 )(21OBA，则动点 P 的轨迹为椭圆。其中真命题的序号为 。 （写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17. 已知 a、 b、 c均为正数，求证： )(2222 cbac（10 分）18. 已知 ABC的顶点 A（-1，-4） ， B、 C的平分线所在直线的方程分别为01:yl与 0:
6、2yxl，求 BC 边所在直线的方程。 （10 分）19. 已知一个圆的圆心在直线 035:1yxl上，并且与直线 016:2yxl相切于点P（4，-1） ，求此圆的方程。12 分）20. 已知双曲线 1:2byaxc（ 0,ba）的离心率为 3，右准线方程为 3x。（1）求双曲线 的方程；（2）已知直线 0myx与双曲线 c交于不同的两点 A、B，且线段 AB 的中点在圆52上，求 的值。 （12 分）21. 如图，已知抛物线 xy42的焦点为 F，顶点为 O，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中点，M 是 FQ 的中点，求点 M 的轨迹方程。 （12 分）22. 已知椭圆 M 的对称
7、轴为坐标轴，且抛物线 yx24的焦点是椭圆 M 的一个焦点，又点 A（1， 2）在椭圆 M 上。（1）求椭圆 M 的方程；（2）若斜率为 的直线 l与椭圆 M 交于 B、C 两点，求 ABC面积的最大值。(14 分)20102011 学年度第一学期期末考试高二数学参考答案三、解答题（满分 70 分）17、 （10 分）证明：因为 ab22，所以 22)()(ba2 分所以 a，4 分所以 )(22bb，6 分同理 )(2cc， )(22aca，8 分所以 222 bba10 分18、 （10 分）解：由角平分线的对称性知 )4,1(A关于直线 01y的对称点),(1yxA在直线 BC 上，易求
8、得 21yx，即 ),(13 分，同理 4关于直线 0y的对称点 2yx也在直线 BC 上，则01242yx，所以 32yx，即 )0,(2A7 分由两点式可得边 BC 所在直线的方程为 310x，即 032yx。10 分19、 （12 分）解：由已知条件可知，所求圆的圆心在过点 P 且与直线 2l垂直的直线 3l上，则 3l的方程为 )4(61xy，即 023yx4 分所以圆心为直线 1l与 3的交点 M，解方程组 56，得 5yx，所以圆心 M 的坐标为 )5,(，8 分则圆 M 的半径 37)1(4322Pr ，10 分所以所求圆的方程为 )(yx12 分20 （12 分）解：（1）由题
9、意，得 32ac3 分，解得 ,ca，所以 22b=2，所以双曲线 C 的方程为 12yx。5 分（2）设 A、B 两点的坐标分别为 ),(1yx， ),(2，线段 AB 的中点为 M ),(0yx，由 120yxm得 022mx8 分，（恒有判别式 ）所以 xyx2,020 10 分因为点 M ),(0在圆 52上，所以 5)(2m，故 112 分。21 （12 分）解：设 M ),(yx，P ),(1，Q ),(2yx2 分易知 42的焦点 F 的坐标为（1，0）4 分因为 M 是 FQ 的中点所以 212yxyx21 6 分又因为 Q 是 OP 的中点所以 212yxyyxx421 8
10、分因为点 P 在抛物线 x上，所以 12x 10 分所以 )4()(2y 即 y所以点 M 的轨迹方程为 2x 12 分22 （14 分）解：（1）由已知得抛物线的焦点为（0， ）1 分故设椭圆方程为 122axy （ 2a）2 分将点 A 的坐标代入椭圆方程，得 12整理得 04524a 解得 4或 a（舍去） ，故所求椭圆方程为12xy4 分（2）设直线 BC 的方程为 mxy2，B ),(1y，C ),(2x 5 分将 mxy代入椭圆方程并化简得 0424由 0)8()4(168222 ，可得 8由 x21， 21x，得|BC|= 2163|321mx又点 A到直线 BC 的距离为 3|
11、md 10 分故 22)16(4)216(|21 mmdBCSA例 1求经过两点 P1（2，1）和 P2（m ，2） （m R) 的直线 l 的斜率，并且求出 l 的倾斜角 及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当 m=2 时，x 1x 22，直线 l 垂直于 x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角 = 2 (2)当 m2 时，直线 l 的斜率 k= 1mm2 时，k0. =arctan 1, （0， ） ，当 m2 时，k0 arctan 2， ( , ).说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.例 2若三点 A(2，3） ， B（3，2） ，C（ 2
12、1，m ）共线，求 m 的值.选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解：A、B 、C 三点共线， AB AC， .213m解得 m= 21.说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.例 3已知两点 A(1,5),B(3,2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，求直线 l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线 l 的倾斜角 ，则由题得直线 AB 的倾斜角为 2 .tan2 = AB= .43)1(52tan12即 3tan2 +8tan 3=0 ，邪恶动态图 http:/ 奀莒哃解得 tan 31或 tan 3.tan2 40,02 90,0 45
13、，tan 31.因此，直线 l 的斜率是说明：由 2 的正切值确定 的范围及由 的范围求 的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了常用逻辑用语的内容从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述一、典型错误剖析错误 1认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定如命题： 2是无理数，其否定是： 2不是无理数但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了例 1 写出下列命题的否定： 对于任意实数 x，使 x21
14、； 存在一个实数 x，使 x21错解：它们的否定分别为 对于任意实数 x，使 x21； 存在一个实数 x，使 x21剖析：对于是全称命题，要否定它只要存在一个实数 x，使 x21 即可；对于是存在命题，要否定它必须是对所有实数 x，使 x21正解：存在一个实数 x，使 x21；对于任意实数 x，使 x21错误 2认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是” 、 “等”改为“不等” 、 “大于”改为“小于或等于”等但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换例 2 写出下列命题的否定： 线
15、段 AB 与 CD 平行且相等； 线段 AB 与 CD 平行或相等错解： 线段 AB 与 CD 不平行且不相等； 线段 AB 与 CD 不平行或不相等剖析：对于是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等” ，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等” 、 “不平行且相等” ；而是选言命题，其结论包含“平行但不相等” 、 “不平行但相等” 、 “平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等” 正解： 线段 AB 与 CD 不平行或不相等； 线段 AB 与 CD 不平行且不相等错误 3认为“都不是”是“都是”的否定例 3 写出下列命题的否定： a， b 都是零； 高一(
16、一)班全体同学都是共青团员错解： a， b 都不是零； 高一(一)班全体同学都不是共青团员剖析：要注意“都是” 、 “不都是” 、 “都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是” ， “不都是”包含“都不是” ；“至少有一个”的否定是“一个也没有” 正解： a， b 不都是零，即“ a， b 中至少有一个不是零” 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员错误 4认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题 p 都有它的否定(命题)非 p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若 p 则 q)而言的如果一个命题不是假言命题，就无所
17、谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题我们应清醒地认识到：假言命题“若 p 则 q”的否命题是“若非 p 则非 q”，而“若 p 则 q”的否定(命题)则是“ p 且非 q”，而不是“若 p 则非q”例 4 写出命题“满足条件 C 的点都在直线 F 上”的否定错解：不满足条件 C 的点不都在直线 F 上剖析：对于原命题可表示为“若 A，则 B”，其否命题是“若 A，则 B”，而其否定形式是“若 A，则 B”，即不需要否定命题的题设部分正解：满足条件 C 的点不都在直线 F 上二、几类命题否定的制作1简单的简单命题命题的形如“ A 是 B”，其否定为“ A 不是 B”只要把原命题中的判断词改
18、为与其相反意义的判断词即可例 5 写出下列命题的否定： 346； 2 是偶数解：所给命题的否定分别是： 346； 2 不是偶数2含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡” ， “所有” ， “一切” ， “任意一个”等，形如“所有 A是 B”，其否定为“存在某个 A 不是 B”；存在量词相当于 “存在一个” ， “有一个” ， “有些” ，“至少有一个” ， “至多有一个”等，形如“某一个 A 是 B”，其否定是“对于所有的 A 都不是 B”全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题例 6 写出下列命题的否定： 不论 m 取什么实数， x2 x m0 必有实根 存在
19、一个实数 x，使得 x2 x10 至少有一个整数是自然数 至多有两个质数是奇数解： 原命题相当于“对所有的实数 m， x2 x m0 必有实根” ，其否定是“存在实数 m，使 x2 x m0 没有实根” 原命题的否定是“对所有的实数 x， x2 x10” 原命题的否定是“没有一个整数是自然数” 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数” 3复合命题“ p 且 q”， “p 或 q”的否定“p 且 q”是联言命题，其否定为“非 p 或非 q”(也写成 p 或 q“；“ p 或 q”是选言命题，其否定为“非 p 且非 q”(也写成 p 且 q“；例 7 写出下列命题的否定： 他是数学家或物理学家 他是
20、数学家又是物理学家 213x0解： 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家” 原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家” ，即“他不是数学家或他不是物理学家” 若认为 p： 213x0，那就错了 p 是对 p 的否定，包括 213x0或 213x0 或 p： x1 或 x3， p：3 x1第 1 章 第 3 节知能训练提升考点一：命题真假的判断1如果命题“非 p 或非 q”是假命题，则下列结论中正确的为( )命题“ p 且 q”是真命题；命题“ p 且 q”是假命题；命题“ p 或 q”是真命题；命题“ p 或 q”是假命题A BC D解析：由“非 p 或非 q”是假命题知，非 p
21、和非 q 都是假命题即 p 为真， q 为真所以 p 且 q 为真， p 或 q 也为真正确答案：A2设命题 p：若 a b，则 ；命题 q： 0 ab0.给出下列四个复合命题：1a 1b 1ab p 或 q； p 且 q；綈 p 且 q；綈 p 或綈 q.其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3解析：由题意知 p 为假命题， q 为真命题，故 p 或 q 为真， p 且 q 为假，綈 p 且 q 为真，綈 p 或綈 q 也为真，故真命题有 3 个答案：D3(2010湖北质检) P：函数 ylog a(x1)在(0，)内单调递减； Q：曲线y x2(2 a3) x1 与 x 轴交于不同的两
22、点如果 P 与 Q 有且只有一个正确，求 a 的取值范围解：当 0 a1 时，函数 ylog a(x1)在(0，)内单调递减；当 a1 时，函数ylog a(x1)在(0，)内不单调递减曲线 y x2(2 a3) x1 与 x 轴交于不同两点等价于(2 a3) 240，即 a 或 a12.52情形(1)： P 正确，但 Q 不正确，因此 a(0,1) ， ，即 a ，1)12 52 12情形(2)： P 不正确，但 Q 正确，因此 a(1，)(， )( ，)，12 52即 a( ，)52综上， a 的取值范围是 ，1)( ，)12 52考点二：反证法的应用4用反证法证明命题“ a， bN， a
23、b 可被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除” ，那么假设的内容是( )A a， b 都能被 5 整除B a， b 都不能被 5 整除C a 不能被 5 整除D a， b 有一个不能被 5 整除答案：B5已知函数 f(x)对其定义域内的任意两个实数 a、 b，当 a b 时，都有 f(a) f(b)，求证： f(x)0 至多有一实根证明：假设 f(x)0 至少有两个不同的实根 x1， x2，不妨设 x1 x2，由方程的定义，f(x1)0， f(x2)0，则 f(x1) f(x2)，但是由已知，当 x1 x2时， f(x1) f(x2)，式与式矛盾，因此假设不成立故 f(x)至
24、多有一个实根考点三：充要条件的判断及证明6若不等式| x m|1 成立的充分不必要条件是 x ，则实数 m 的取值范围是13 12( )A ， B ， 43 12 12 43C(， D ，)12 43解析：| x m|1 m1 x m1.由题意 m1 且 m1 ，得 m .13 12 12 43答案：B7(2010山东名校联考)已知命题 p：14 x31，命题 q： x2(2 a1)x a(a1)0， ，若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是( )A0， B ，112 12C ， D( ，113 12 13解析：由题知，命题 p 为 M ，1，命题 q 为 N a， a
25、1綈 p 是綈 q 的必要12不充分条件， p 是 q 的充分不必要条件，从而有 M N，于是可得Error!而当 a0 或 a时，同样满足 M N 成立，故 a 的取值范围是0， 12 12答案：A8(探究题)(1)是否存在实数 p，使“4 x p0”是“ x2 x20”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围(2)是否存在实数 p，使“4 x p0”是“ x2 x20”的必要条件？如果存在，求出 p 的取值范围解：(1)因为 x2 x20 的解为 x2 或 x1.所以当 x2 或 x1 时，x2 x20.由 4x p0 得 x .设 A x|x2 或 x1， B x|x 由题意p4 p4
26、得 B A.所以 1，所以 p4.故存在实数 p4，使“4 x p0”是“ x2 x20”p4的充分条件(2)由(1)知，要使“4 x p0”是“ x2 x20”的必要条件，则需满足 A B，但这不可能，故不存在实数 p，使“4 x p0”是“ x2 x20”的必要条件.1.(2009浙江)已知 a、 b 是实数，则“ a0 且 b0”是“ a b0 且 ab0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：由 a0 且 b0 可得 a b0， ab0，由 a b0 有 a、 b 至少一个为正， ab0 可得 a、 b 同号，两者同时成立，则必有 a0，
27、 b0，故选 C.答案：C2(2009安徽)下列选项中， p 是 q 的必要不充分条件的是( )A p： a c b d， q： a b 且 c dB p： a1， b1， q： f(x) ax b(a0，且 a1)的图像不过第二象限C p： x1， q： x2 xD p： a1， q： f(x)log ax(a0，且 a1)在(0，)上为增函数解析： p： a c b d， q： a b 且 c d， p q， q p.对于选项 B： p q， q p， p 是 q 的充分不必要条件对于选项 C： p q， q p， p 是 q 的充分不必要条件对于选项 D： p q， p 是 q 的充要条
28、件故选 A.答案：A3(2009江苏)设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；(2)若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行；(3)设 和 相交于直线 l，若 内有一条直线垂直于 l，则 和 垂直；(4)直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析：(1)由面面平行的判定定理可得，该命题正确；(2)由线面平行的判定定理可得，该命题正确(3)如图(举反例)， a ， l， a l，使 与 不垂直(4)l ，垂直的充要条件是 l 与 内的两条
29、相交直线垂直答案：(1)(2)1.对于函数： f(x)| x2|， f(x)( x2) 2， f(x)cos( x2)，判断如下两个命题的真假；命题甲： f(x2)是偶函数；命题乙： f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；能使命题甲、乙均为真命题的所有函数的序号是( )A BC D解析：对于函数， f(x2)| x4|，命题甲是假命题；对于函数， f(x2) x2，命题甲是真命题，且命题乙是真命题；对于函数， f(x2)cos x，命题甲是真命题，但命题乙是假命题答案：B2已知集合 A y|y x2 x1， x ，2， B x|x m21；命题 p： x A，32 34命题 q： x B，并且命题 p 是命题 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围解：化简集合 A，由 y x2 x1，32配方得 y( x )2 .34 716 x ，2， ymin ， ymax2.34 716 y ，2 A y| y2716 716化简集合 B，由 x m21， x1 m2，B x|x1 m2命题 p 是命题 q 的充分条件， A B.1 m2 ，解之，得 m 或 m .716 34 34实数 m 的取值范围是(， 或 ，)34 34
