1、因动点产生的平行四边形问题一 引入：1 平行四边形的特征2 注意点：判断题目中的四边形是不是确定，若给出的四边形确定则无需分类讨论二 新课1 已知三点在图形上确定第四点方法：分别将三条线段作为对角线，若无需写出过程则直接用中点坐标公式进行求解，若需写出证明过程可用几何方法求解（三角形全等、三角形相似、勾股定理、点的对称，平移等）例题 1：（2013湘潭）如图，在坐标系 xOy 中，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0） ，B（0，2） ，抛物线 y= x2+bx2 的图象过 C 点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l当 l 移动到何处时，恰好将ABC 的
2、面积分为相等的两部分？（3）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由2.已知两点，在直线和抛物线上寻找第三、第四点构造平行四边形（1）两点在直线同侧时方法：平移一边寻找第三、第四两点当已知的两点构造的直线与坐标轴垂直时，利用点的坐标求出线段长，再根据线段长相等求解（与 x 轴垂直时，用上面的点减去下面的点，与 y 轴垂直时，用右面的点减去左面的点）例题 2：如图 1，已知抛物线 yx 2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx
3、 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标当已知的两点构造的直线与坐标轴不垂直时，利用中点坐标公式构造等式，进而组成二元一次方程组，或未知点的纵坐标与已知点纵坐标的关系例 3 （2012 山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上
4、是否存在点 Q，使以点 AP 、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标（2）两点在直线异侧时，分别将直线当成边和对角线进行分类讨论 如例 4三 练习题类型一：已知三个定点、一个动点的平行四边形存在性问题1.已知抛物线 与 轴的一个交点为 A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交baxy2于点 C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 轴的另一个交点 B 的坐标；x当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点 ,使得以点 M 和中抛
5、物线上的三点 A、 B、 C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点 的坐标；若不存在,请说明理由如图，抛物线 y=x2+bx+c 的顶点为 D（-1，-4），与 y 轴交于点 C（0 ，-3），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）。（1） 求抛物线的解析式；（2 ）连接 AC，CD，AD，试证明ACD 为直角三角形；（3 ）若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以 A，B，E，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线 （ ）与 轴相交于点 ，顶点为 .直线2yxa0yAM分别与
6、 轴， 轴相交于 两点，并且与直线 相交于点 .1yxaBC， N(1)填空：试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标，则MN； MN ， ， ，(2)如图，将 沿 轴翻折，若点 的对应点 恰好落在抛物线上，AC y与 轴交于点 ，连结 ，求 的值和四边形 的面积；AxDaADC(3)在抛物线 （ ）上是否存在一点 ，使得以 为2xa0PN， ， ，顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由.类型 2 已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）3已知，如图抛物线 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于23
7、(0)yaxcaA、B 两点，A 点在 B 点左侧。点 B 的坐标为(1，0),OC=30B(1)求抛物线的解析式；(2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值：(3)若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上。是否存在以 A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第（2）题xyBCODAMN NxyBCOAMN备用图两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线4如图，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（ A 点在 B 点左侧） ，直线23yx与抛物线交于 A、C
8、两点，其中 C 点的横坐标为 2l（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，请说明理由例题答案：例题 1考点： 二次函数综合题分析： 如解答图所示：（1）首先构造全等三角形AOB CDA，求出点 C 的坐标；然后利用点 C 的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线 BC 与 AC 的解析式，设直
9、线 l 与 BC、AC 交于点 E、F，则可求出 EF 的表达式；根据 SCEF= SABC，列出方程求出直线 l 的解析式；（3）首先作出PACB，然后证明点 P 在抛物线上即可解答： 解：（1）如答图 1 所示，过点 C 作 CDx 轴于点 D，则CAD+ ACD=90OBA+OAB=90， OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD在 AOB 与CDA 中，AOBCDA（ASA） CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1） 点 C（3，1）在抛物线 y= x2+bx2 上，1= 9+3b2，解得：b= 抛物线的解析式为：y= x2 x2（2）在 RtAO
10、B 中，OA=1 ，OB=2 ，由勾股定理得：AB= SABC= AB2= 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，B （0，2） ，C（3，1） ， ，解得 k= ，b=2，y= x+2同理求得直线 AC 的解析式为：y= x 如答图 1 所示，设直线 l 与 BC、AC 分别交于点 E、F ，则 EF=（ x+2）（ x ）= xCEF 中，CE 边上的高 h=ODx=3x由题意得：S CEF= SABC，即： EFh= SABC， （ x）（3 x）= ，整理得：（3x ） 2=3，解得 x=3 或 x=3+ （不合题意，舍去） ，当直线 l 解析式为 x=3 时，恰好将 ABC 的面积
11、分为相等的两部分（3）存在如答图 2 所示，过点 C 作 CGy 轴于点 G，则 CG=OD=3，OG=1 ，BG=OBOG=1过点 A 作 APBC，且 AP=BC，连接 BP，则四边形 PACB 为平行四边形过点 P 作 PHx 轴于点 H，则易证 PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（ 2，1） 抛物线解析式为：y= x2 x2，当 x=2 时，y=1 ，即点 P 在抛物线上存在符合条件的点 P，点 P 的坐标为（ 2，1） 点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形
12、等知识点试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算例题 2：满分解答（1）将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 yx 2bxc ，得解得 ，c1,643.cb92b所以抛物线的解析式是 yx（2）在 RtBOC 中，OC 4，BC 3，所以 OB5如图 2，过点 A 作 AHOB ，垂足为 H在 Rt AOH 中，OA1， ，4sinsiAOBC所以 图 24sin5HO所以 ， 35OH25BOH在 Rt ABH 中， 4tan1A（3）直线 AB 的解析式为 12yx设点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为 ，9(,)x(,)2x那么 2 2(1)4Nx当四边形 MNCB 是平行四边形时，
13、 MNBC 3解方程x 24x 3，得 x1 或 x3因为 x3 在对称轴的右侧（如图 4） ，所以符合题意的点 M 的坐标为 （如图9(1,)23） 图 3 图 4考点伸展第（3）题如果改为：点 M 是抛物线上的一个点，直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于N，如果 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标那么求点 M 的坐标要考虑两种情况： MNy My N或 MNy Ny M由 yN yM4x x2，解方程 x24x3，得 （如图 5） 27所以符合题意的点 M 有 4 个： ， ， ， 9(1,),(,)57(2,)图 5例题 3 解答：解：（1）当 y=0 时
14、，x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3点 A 在点 B 的左侧，A B 的坐标分别为（ 1，0） ， （3，0） 当 x=0 时，y=3C 点的坐标为（0，3）设直线 AC 的解析式为 y=k1x+b1（k 10） ，则 ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y=3x+3y=x2+2x+3=（x1） 2+4，顶点 D 的坐标为（ 1，4） （2）抛物线上有三个这样的点 Q，当点 Q 在 Q1 位置时，Q1 的纵坐标为 3，代入抛物线可得点 Q1 的坐标为（2，3） ；当点 Q 在点 Q2 位置时，点 Q2 的纵坐标为3，代入抛物线可得点 Q2 坐标为（1+ ， 3） ；当点 Q 在 Q
15、3 位置时，点 Q3 的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点 Q3 的坐标为（1 ， 3） ；综上可得满足题意的点 Q 有三个，分别为： Q1（2，3） ， Q2（1+ ， 3） ，Q3（1 ， 3） （3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接BD 交直线 AC 与点 M，则点 M 为所求，过点 B作 BEx 轴于点 E1 和2 都是 3 的余角，1=2RtAOCRtAFB， ，由 A（1，0） ，B （3，0） ，C （0，3）得 OA=1，OB=3，OC=3，AC= ，AB=4 ，BF= ，BB=2BF= ，由1=2 可得 RtAOC
16、RtBEB， ， ，即 BE= ，BE= ，OE=BEOB= 3= B点的坐标为（ ， ） 设直线 BD 的解析式为 y=k2x+b2（k 20） ，解得 ，直线 BD 的解析式为：y= x+ ，联立 BD 与 AC 的直线解析式可得： ，解得 ，M 点的坐标为（ ， ） 例题 4 解：（1）由题意得解得：b=2，c=-3，则解析式为： y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形，则解析式为：y=x 2+2x-3，解得 x=1 或 x=-3，由题意点 A（-3 ，0） ，AC= ，CD= ，AD= ，由 AC2+CD2=AD2，所以ACD 为直角三角形；（3）3，若 AB 为一边，则 EF 平行
17、且等于 AB 等于 4，则 E、F 的纵坐标相等，设 F(X1,Y1)，则 X1=-5 Y1=12 或 X1=3 Y1=12，若 AB 为对角线，则 EF 也为对角线，因 E 在对称轴上，根据平行四边形的性质，对角线平分，所以只有顶点 D 符合。因此 F 点为（ -5，12）或（3，12）或（-1 ，-4）练习题答案1.解：对称轴是直线： ，点 B 的坐标是(3,0) 2 分1x说明：每写对 1 个给 1 分， “直线 ”两字没写不扣分如图，连接 PC，点 A、 B 的坐标分别是 A(-1,0)、 B (3,0)， AB4 PC242在 RtPOC 中， OP PA OA211， 3b 3 分
18、，3当 时，01yxa02 4 分a3 5 分，xy32存在6 分理由：如图，连接 AC、 BC设点 M 的坐标为 ),(yx当以 AC 或 BC 为对角线时，点 M 在 x 轴上方，此时 CM AB，且 CM AB由知， AB4，| x|4， 3OCy x4点 M 的坐标为 9 分),4(),(或说明：少求一个点的坐标扣 1 分当以 AB 为对角线时，点 M 在 x 轴下方过 M 作 MN AB 于 N，则 MNB AOC90四边形 AMBC 是平行四边形， AC MB，且 AC MB CAO MBN AOC BNM BN AO1， MN CO 3 OB3， 0N312点 M 的坐标为 12
19、 分(,)说明：求点 M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直 线解析式，然后求交点 M的坐标的方法均可， 请参照给分综上所述，坐标平面内存在点 ，使得以点 A、 B、 C、 M 为顶点的四边形是平行四边形其坐标为 123(4,3)(,)(2,)说明： 综上所述不写不扣分； 如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。2.（1） .4 分4113MaNa， ， ，直线 AM y= -X+a 与直线 2yx解方程组的得 N 坐标（2）由题意得点 与点 关于 轴对称，y，将 的坐标代入413a， 2xa得 ，2689（不合题意，舍去） ， .2 分10a294a， 点 到 轴的距离为
20、3.34N， y， ， 直线 的解析式为 ，90A， ， AN94yx它与 轴的交点为 点 到 轴的距离为 .x04D， ， y.2 分1991832246ACNASS 四 边 形（3）当点 在 轴的左侧时，若 是平行四边形，则 平行且等于 ，PyPNPNAC把 向上平移 个单位得到 ，坐标为 ，代入抛物线的解析式，2a7a，得： 716839（不舍题意，舍去） ， ， .2 分10a238a12P7， 8当点 在 轴的右侧时，若 是平行四边形，则 与 互相平分，PyAPCNACNOAC，与 关于原点对称， ，N413a，将 点坐标代入抛物线解析式得： ，P216839aa（不合题意，舍去）
21、， ， 2 分10a255P，存在这样的点 或 ，能使得以 为顶点的四边形是平1728P， 28， ACN， ， ，行四边形3.解：（1）对称轴 1 分32ax又OC=3OB=3， ，0C（0，3）2 分方法一：把 B(1,0)、C(0，3)代入 得：23yaxc解得：30ca4， 4 分294yx方法二：B（1，0） ，A(-4，0)可令 把 C(0，-3)代入得：()1a34 4 分()yx293（2）方法一：过点 D 作 DMy 轴分别交线段 AC 和 x 轴于点 M、N。 ABCSS四 边 形 5 分1515()22MNODA(-4，0)，C(0，-3)设直线 AC 的解析式为 ykx
22、b代入求得： 6 分34令 ，239()4Dx， 3()4Mx，7 分2 2(3当 时，DM 有最大值 3此时四边形 ABCD 面积有最大值 。8 分7方法二：过点 D 作 DQy 轴于 Q，过点 C 作 x 轴交抛物线于 ，从图象中可判断当11CD 在 下方的抛物线上运动时，四边形 ABCD 才有最大值。1C则 =OBCDQCAASS四 边 形 梯 形 3(4)(3)22OQD= 5 分32Q令 9(3)4Dx，则 7 分2 237()()4ABCSxx四 边 形 当 时，四边形 ABCD 面积有最大值 。8 分2x7（3）如图所示，讨论：过点 C 作 x 轴交抛物线于点 ，过点 作 AC
23、交 x1P1P1E轴于点 ，此时四边形 为平行四边形，9 分1E1AEC(0，-3)令 得： 23934x1203x， 。 14 分1CP1()，4、 （1）令 y=0，解得 或 （1 分）1x23A（-1，0）B（3，0） ；（ 1 分）将 C 点的横坐标 x=2 代入 得 y=-3，C （2，-3） （1 分）2yx直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（- 1x2） （注：x 的范围不写不扣分）则 P、E 的坐标分别为：P （x，-x-1 ） ， （1 分）E（ （1 分）2(,3)xP 点在 E 点的上方，PE= （2 分）22(1)(3)xxx当 时
24、，PE 的最大值= （1 分）12x94（3）存在 4 个这样的点 F，当 AF 为平行四边形的边时： 1234(,0),)(7),()FF当 AF 为平行四边形的对角线时： 1234(,0),7,详解题意得 A(-1,0) B(3,0) C(2,-3) G(x,x-2x-3) F(a,0)(1)AC AF 都是边. 四边形 ACGF, 则 CGAF,则 x-2x-3=-3,得 x=0 或者 2GC=2 得AF=2 故 F(-1-2,0)即(-3,0)(2)AC 为边, AF 为对角线, 四边形 ACFG. 有 C G 在 AF 两侧且到 AF 的距离相等.x-2x-3=|-3| x=1- 根号 7 或者 1+根号 7A 到 C 的横坐标变化 2-(-1)=3 则 G 到 F 横坐标也加 3, 得 F(4-根号 7,0)或者(4+根号7,0)(3)AC 为对角线, AF 为边, 四边形 AFCG. 则根据对角线互相平分 .x+a=-1+2, x-2x-3=-3 a=1 或者-1 故 F(1,0)或者(-1,0)综上,F(-3,0)或者(4-根号 7,0)或者(4+根号 7,0)或者(1,0)或者 (-1,0)
