1、 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：(3x2 1)dx + (2x +1)dy = 0 解：P(x, y) = 3x2 1，Q(x, y) = 2x +1 ，则Py = 0 ，Qx = 2 ，所以Py Qx 即，原方程不是恰当方程(x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0 解：P(x, y) = x + 2y, Q(x, y) = 2x y, 则Py = 2, Qx = 2, 所以Py =Qx ，即原方程为恰当方程则xdx + (2ydx + 2xdy) ydy = 0,2 2 两边积分得：x +
2、 2xy y = C. 2 2 3(ax +by)dx +(bx +cy)dy = 0 (a,b和c为常数)解：P(x, y) = ax +by, Q(x, y) = bx +cy, 则Py = b, Qx = b, 所以Py =Qx ，即原方程为恰当方程则axdx + bydx +bxdy cydy = 0,（）+两边积分得：ax2 +bxy +cy2 = C. 2 2 4(ax by)dx +(bx cy)dy = 0 (b 0) 解：P(x, y) = ax by, Q(x, y) = bx cy,则Py =b, Qx = b, 因为b 0 , 所以Py Qx ，即，原方程不为恰当方程-
3、 1 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案(t2 +1)cosudu + 2 t sin udt = 0 解：P(t,u) = (t 2 +1)cosu, Q(t,u) = 2t sin u 则Pt = 2t cosu, Qx = 2t cosu, 所以Py =Qx ，即原方程为恰当方程则(t2 cosudu + 2t sin udt) + cosudu = 0,两边积分得：(t 2 +1)sin u = C.( yex+ 2ex + y2)dx + (ex + 2xy)dy = 0 解：P(x, y = yex + 2ex + y2, Q(x, y) = ex +
4、2xy ，则Py = ex + 2y, Qx = ex + 2y, 所以Py =Qx ，即原方程为恰当方程则2exdx +(yex + y2)dx +(ex + 2xy)dy = 0,两边积分得：(2 + y)ex + xy2 = C.( y+ x2)dx + (ln x 2y)dy = 0 x解：P(x, y) =y + x2 Q(x, y) = ln x 2y,x则Py =1 x , Qx =1 x , 所以Py =Qx ，即原方程为恰当方程则( ydx + ln xdy) + x2 dx 2ydy = 0 x 3 两边积分得：x 3 + y ln x y2 = C.(ax2+by2)dx
5、 + cxydy = 0 (a,b和c为常数) 解：P(x, y) = ax2 +by2, Q(x, y) = cxy,则Py = 2by, Qx = cy, 所以当Py =Qx ，即2b = c 时，原方程为恰当方程- 2 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则ax2 dx +(by2 dx +cxydy) = 0 3 两边积分得：ax +bxy 2 = C.3而当2b c 时原方程不是恰当方程2s 1 ds +s 2 s2 dt = 0 t t解：P(t, s) =2s 1, Q(t, s) =s 2 s2,t t 则Pt =1t 22s , Qs =1t 22s
6、 , 所以Py =Qx ，即原方程为恰当方程,两边积分得：s s2= C t 10xf (x2 + y2)dx + yf (x2 + y2)dy = 0, 其中f ()是连续的可微函数解：P(x, y) = xf (x2 + y2 ), Q(x, y) = yf (x2 + y2 ), 则Py = 2xyf , Qx = 2xyf , 所以Py =Qx ，即原方程为恰当方程,两边积分得：f (x2 + y2)dx = C ,即原方程的解为F(x2 + y2) = C (其中F为f的原积分)- 3 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-2 1. 求解下列微分方程，
7、并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dy x2 () dx =y 解：原方程即为：ydy = x2 dx两边积分得：3y2 2x3 = C, y 0 dy x2 () dx =y(1+ x )3 2 解：原方程即为：ydy =1+xx3 dx两边积分得：3y2 2ln1+ x3= C, y 0, x 1 () dy+ y2 sin x = 0dx 解：当y 0时原方程为：dy+sin xdx = 0y2 两边积分得：1+ (c + cos x) y = 0 又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+ (c + cos x) y = 0 dy 2 2() dx =1+ x + y
8、 + xy ；解：原方程即为：1+dyy2 = )(1+ x dx 2两边积分得：arctgy = x +x 2 + c ，即y = tg(x +x 22 +c) - 4 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案() dy = (cos x cos 2y)2 dx 解：当cos 2y 0 时原方程即为：(cos dy 2y)2 = (cos x)2 dx 两边积分得：2tg2y 2x 2sin 2 x = c cos 2y =0，即y =k+也是方程的解. ( k N )2 4 () x dy = 1 y2 dx 解：当y 1时dy dx 原方程即为：1 y2 =x 两边
9、积分得：arcsin y ln x = c y =1也是方程的解. dy x ex ()dx =y + e y 解原方程即为：( y + ey )dy = (x ex )dx 2 2 两边积分得：y + ey =x + ex + c ，2 2原方程的解为：y2 x2 + 2(ey ex ) = c .2. 解下列微分方程的初值问题() sin 2xdx + cos3ydy = 0, y() =；2 3 解：两边积分得：cos22x +sin 33y = c ，即2sin 3y 3cos 2x = c 因为y(2) =3,所以c = 3. - 5 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出
10、版社-参考答案所以原方程满足初值问题的解为：2sin 3y 3cos 2x = 3x()xdx + yedy = 0 ，y(0) =1；解：原方程即为：xexdx + ydy = 0 ，两边积分得：(x 1)exdx +y 22dy = c ，因为y(0) =1，所以c =12 ，所以原方程满足初值问题的解为：2(x 1)exdx + y2 dy +1 = 0 ()dr = r ，r(0) = 2 ；d解：原方程即为：dr = d，两边积分得：ln r = c ，r 因为r(0) = 2 ，所以c = ln 2 ，所以原方程满足初值问题的解为：ln r = ln 2 即r = 2edy ln
11、x ()dx =1+ y2, y(1) = 0 ;解：原方程即为：(1+ y2)dy = ln x dx , 两边积分得：y3 xx lny + + x = c ,3因为y(1) = 0 ，所以c =1，3 所以原方程满足初值为：y xx lny + + x =1 3 2 dy 3()1+ x dx = xy ，y(0) =1；dy x 解：原方程即为：y3 =1+ x2 dx ，- 6 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案2两边积分得：12 y2 = 1+ x + c ，因为y(0) =1，所以c =3 ，2 所以原方程满足初值问题的解为：2 1+ x2 +y 1
12、= 3 2 3. 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图()dy = cos xdx解：两边积分得：y = sin x + c 积分曲线的简图如下：()dx dy = ay ，(常数a 0 )；解：当y 0时，原方程即为：ay dy = dx 积分得：a 1ln y = x c+，即y = ceax (c 0) y = 0也是方程的解积分曲线的简图如下：y - 7 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案()dy =1 y2 ；dx 解：当y 1时，1+ y原方程即为：(1dyy2) = dx 积分得：ln = 2x +c ，1 y 即y =ce2 x 1 ce2 x
13、+1y =1也是方程的解积分曲线的简图如下：dy n 1()dx = y ，(n =3, 1, 2) ；解：当y 0时，1 dy) n =3, 2 时，原方程即为yn = dx ，积分得：x +1y1n = c n 1) n =1时，原方程即为dyy = dx 积分得：ln y = x + c ，即y = cex(c 0) y = 0也是方程的解积分曲线的简图如下：- 8 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案4. 跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b试求B的光滑运动轨迹解：设B的运动轨迹为y = y(x
14、) ,由题意及导数的几何意义，则有dy y dx b2 y2 ，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0) = b 的解=解之得：x =12 b ln bb +bb 22 + yy 22 b2 y2 5. 设微分方程dy = f ( y) (2.27)，其中f(y) 在y = a 的某邻域(例如，区间y a 1x 1=x +1(c +1 x2 dx) x 0为周期的连续函数dx 试证：()若q(x) = 0 ，则方程的任一非零解以为周期 p(x)的平均值p =1 p(x)dx = 0 0 ()若q(x) 0 ，则方程的有唯一的周期解 p 0试求出此解- 14 常微分方程教程（第二版）-丁同
15、仁等编-高等教育出版社-参考答案证明：()设y =(x) 是方程的任一非零解x x +wdx dx则y = ce 0( )xxp, 且y = ce x0)( +wxp, 也是解x x +w x x+wdx dx p ( x ) dx p ( x ) dxx xp0( )x0)( +wxpx0 x e = e , = e e p ( x ) dx 0 e =1 0 p(x)dx = 0 p ( x ) dx dt (2)方程的通解为y = ce 0 x +xp tsq s e0( )( )x选择常数c使y(x)成为周期函数，即y(x + w) = y(x) (*)我们先来证明，要使(*)对所有x
16、成立，其实只需对某一特定x(例如x = 0)成立,即只需y() = y(0) .事实上，由于y(x)是方程的解，且p(x + w) = p(x) q(x + w) = q(x) ，所以y(x + w) 也是解.因此，函数u(x) = y(x + w) y(x) 是相应齐次方程y+ p(x) y = 0 满足初始条件y(0) = 0的解。又因为此齐次方程的解或者恒等于，或者恒不等于，所以u(x) = 0 ，从而y(w) = y(0) ，由x的任意性，则有y(x + w) = y(x) 。0即ce pw( x)dx +q s ew0( )0( )wxp t dtds = c .所以c =1wx d
17、xpx dxpq x ew0( )( )0( )wdx . 01e 6. 连续函数f (x) 在区间 0, N(), m, n N () 有fm (x) fn (x) = max fm(x) fn (x) 0x2所以0 x 2，fm(x) fn (x) (*)，固定x 0,2，则fn(x)是基本的，从而limnfn (x) 存在，记为f0(x) ，在( ) 中令m ，得到f 0(x) fn(x) ，所以fn(x) 一致收敛到f0(x) ，从而在H0中fn 收敛到f0，所以定义的空间是完备的。()证是一个线性有界算子。1 (c f fcc ffc ()22112)22211+=+)(s)dsex
18、xsxaa(e 1 1 1 = c exxsxaa(+f12)21(s)ds + c exxsxaa(f22)22+(s)ds e 1 e 1 = c1( f1) + c2( f2) 所以是一个线性算子。- 16 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案1 2)0+ exxsxaax(22 ( f ) = max f (s)ds e 1 1 max +2ds)0es dsfxxsxaxsxax + (222( )maxe 1 f = k f 2 eaa41e 1 a 所以是有界算子. - 17 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-4 1.
19、 () () () () 求解下列微分方程：y=22xy yx ；解：令y = ux ，则原方程化为x du +u =2u 1 ，dx 2 u 1u 1 即u 22u 1 du =dxx ，积分得：ln ln u 21 = ln x + c 1+u 2 还原变量并化简得：( y x) = c(x + y)3 y=22 xy yx +45 ；解：由22 xyyx +54 =00 得xy =1 2 令u = x 1, v = y + 2，则有dv =2v u ，由第一题的结果知此方程解为(v u) = c(u + v)3 ，du 2u v 还原变量并化简得：y x +3 = c(x + y +1)
20、3. y=2 xx +24 yy +11 ；dv dy v +1 解：令v = x + 2y ，则dx =1+ 2 dx =1+ 22v 1 ，即dv=4v +1 ，此方程为变量分离方程，dx 2v 1 分离变量并积分得：12 v 83ln 4v +1 = x + c ，还原变量并化简得：8y 4x 3ln 4x +8y +1 = c y= x3y3 xy 解：当y 0时，方程两边同时乘以 2y3,则 2y3 y=2x3 + 2xy2 ，令- 18 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案2 z = y2 ，则dz = 2xz 2x3,此方程为一阶线性方程，由公式得：z
21、= cex+ x2 +1 dx还原变量得：y2 = (cex2 + x2 +1)1.y = 0也是方程的解2. 利用适当的变换，求解下列方程：() y= cos( x y) ；du dy解：令u = x y ，则dx =1dx =1cosu ，当cosu 1时，有du = dx ，即du = dx ，1cosu 2u2sin 2 1 u 两边积分得：2 ctg 2 = x +c还原变量化简得：cos x 2 y = 2xsin x 2 y + c sin x 2 y 当cosu =1时，即y = x + 2k (k Z) 也是方程的解() (3uv + v2)du + (u2 +uv)dv =
22、 0 ；解：方程两边同时乘以u则原方程化为：(3u 2v +uv2)du + (u3 +u 2 v)dv = 0 ，即(3u 2 vdu +u3dv) + (uv2 du +u 2 vdv) = 0此方程为全微分方程，则原方程的解为：u3v +1u2 v2 = c 2 2 2 dy x2 () (x + y +3) dx = 2x(2y y ) ；解：原方程即为2ydy=4y2 2x2 ，令x2 = v, y2 = u ，2xdx x2 + y2 +3则du =4u 2v ,由4u 2v = 0 得u =1 ，令m = u +1 ，则有dv u + v +3 u + v +3 = 0 v =2
23、 n = v + 2 dm 4m 2n m dm dz 4z 2 dn =m + n 令n = z ，则m = zn ，dn =dn n + z =z +1 ，- 19 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则有dzn =(1 z)(z 2) ，此方程为变量分离方程，dn z +1分离变量并积分得：ln (z 1)32 = c + ln n ，2 z还原变量并化简得：(x2 y2 +1)2 = c(2x2 + y 2 3)3 .dy 2x3 +3xy2 7x() dx =3x y + 2y 8y 2 3 解：原方程即为2ydy=2x2 +3y2 7 ，令u = y 2,
24、 v = x2,2xdx 3x2 + 2y2 8则du=2v +3u 7 ，由2v +3u 7 = 0 u =1 ，令m = u 1 ，dv 3v + 2u 8 3v + 2u +8 = 0 v = 2 n = v 2 则dm =2n +3m ，令m = z ，可将方程化为变量分离形方程，dn 3n + 2m n1+ z 1(3 + 2z )dz =dn ，两边积分得：3 ln = ln n + c ， ln1 z 21 z 2还原变量并化简得：(x2 y2 1)5 = c(x2 + y2 3) 2 2z 2n 4 3. 求解下列微分方程：()y=y2 41 x2 ；解：令z = xy ，则原
25、方程可化为：dz=1(z2 + z 1) ，dx x 4z 12 时，即xy 12 时方程为11)2 dz =dxx ，此方程为变量分离方程，(z 2两边积分得：11 = ln x + cz 2还原变量并化简得：y =1+1 ；2x x ln x + cx 1 1 当z =2 时，y =2x 是方程的特解- 20 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案()x2 y= x2 y2 + xy +1；解：原方程即为：y= y2 +y +1 ，2x x令z = xy ，则dz=1(z +1)2 ，此方程为变量分离方程，dx x 分离变量积分得：z 1+1 = ln + c ，x
26、 还原变量并化简得：y =11 x x ln x + cx 4. 试把二阶微分方程y + p(x)y+ q(x) y = 0 化为一个黎卡提方程udx udx udx udx 解：令y = e，则y= ue，y= u 2 e+ ue，代入原方程可得：y + p(x) y+ q(x) y = u 2 eudx + ueudx p(x)ueudx + q(x) eudx ，即有：u2 +u+ p(x)u + q(x) = 0 ，此方程为一个黎卡提方程5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于45解：设此曲线为y = y(x) ，由题意得：dy ydxdy xy = tg45=
27、1，化简得：dy =x + y ，dx x y1+dx x此方程为齐次方程，解之得：arctg y 1 ln(x2+ y2) = c x 2 6. 探照灯的反光镜(旋转面)应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解：取点光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系设所求曲面由曲线y = f (x) 绕x轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求xy平面上z = 0的曲线y=f(x)的问题由题意及光的反射定律，可得到函数y = f (x) 所应满足的微分方程式：dy =xy 2 + y2 ，此方程为齐次方程，dx x +- 21 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高
28、等教育出版社-参考答案解之得：y2 = c(c + 2x) ，(其中c为任意正常数)y2 = c(c + 2x) 就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此反射镜面的形状为旋转抛物面y2 + z 2 = c(c + 2x) - 22 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-5求解下列微分方程：()(3x2 y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0 ；解：方程两边同乘3e3x ，则(9e3xx2 ydx + 6e3x xydx +3e3xx2 dy) + (3e3xy3dx +3e3xy2)dy = 0 ，此方程为全微分方程，即3e3xx2 y
29、+ e3xy3 = c ()ydx + (2xy e2 y)dy = 0 ；解：方程两边同乘1ye2 y ，则e2 ydx + (2xe2 y 1 y )dy = 0 即(e2 ydx + 2xe2 ydy) 1 y dy = 0 y此方程为全微分方程，即有xe2 y ln = c ()(3x +6)dx + ( x2 +3y )dy = 0 ；y y x解：方程两边同乘xy，则2 3 2(3x y + 6x)dx + (x +3y )dy = 0即(3x2 ydx + x3dy) + (6xdx +3y2 dy) = 0此方程为全微分方程，即有x3 y + y3 +3x2 = c ()(x2
30、 +2 x dy = 0 ;ydx y + )1 ydx xdy解：方程两边同乘x + y ，则x + y dy = 0 ，2 2 2 2 此方程为全微分方程，即arctg xy y = c 3 2 2(5)2xy dx + (x y 1)dy = 0 ；- 23 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案解：方程两边同乘12 ，则2xydx + (x 122 )dy = 0 ，y y此方程为全微分方程，即1 y + x2 y = c . (6)y(1+ xy)dx xdy = 0 ；解：方程两边同乘1 ，则xdx + (1 dx x dy) = 0 ，y2 y y 2此方
31、程为全微分方程，即xy +12 x2 = c . 3 2 2(7) y dx + 2(x xy )dy = 0 ；解：方程两边同乘x12 y ，则( y22dx 2y dy) +2 dy = 0 ，x x y 此方程为全微分方程，即y2 + 2ln y = c x x x(8)e dx + (e ctgy + 2y cos y)dy = 0 解：方程两边同乘sin y，则x x(e sin ydx + e cos ydy) + ycsin 2ydy = 0 ，此方程为全微分方程，即x cos y 1 y 1 sin 2 =e y cos 2 + yc . 2 4 2. 证明方程(5.1)有形如
32、 = (x, y) 的积分因子的充要条件是P QQ Qy P x P = f (x, y) ，并写出这个积分因子。然后将结果应用到下列各种情形，得x y 出存在每一种积分因子的充要条件: (1) = (x y) ; (2) = (x2 + y2) ; (3) = (xy) ; - 24 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案y(4) = ( ) ; (5) = (xy) .x 证明：若 = (x, y) 是P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 的积分因子,则(x, yy )P(x, y) =(x, yx )Q(x, y) ，P Q 即y (x, y) + (
33、x, y) yP = x (x, y) + (x, y) xQ ( )以上过程可逆，故充分性显然.P Q P Q y x y x 2 2(1) = f (x y) (2) = f (x + y )Q P 2xQ 2yPP Q P Q y x y x y(3) = f (xy) (4) = f ( )yQ xP y 1 x Q P x2 x P Qy x (5) = f (x y )1 1x y Q x y P 3. 证明齐次方程P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 有积分因子 =xP +1 yQ .证明：作变换y = ux ，则由P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 是
34、齐次方程，我们有P(x,ux)dx +Q(x,ux)(udx + xdu)m m m +1=x P(1,u) +ux Q(1,u)dx + x Q(1,u)du= 0方程两边同乘yQ 1 + xP =x P(1,u)1 +uQ(1,u) ，则有m+1 1 dx +Q(1,u) du = 0 ，显然此方程为全微分方程x P(1,u) +uQ(1,u) 4. 证明定理及其逆定理：在定理的假定下，若1是微分方程(5.1)的另一个积分因子，则1必可表为1 = g() 的形式，其中函数g和的意义与在定理中相同- 25 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案证明：(定理)因为 =
35、(x, y) 是(5.1)的积分因子，且使得：P(x, y)dx +Q(x, y)dy = d(x, y) ，则= P(x, y) ，= Q(x, y)dy .x y 要判断是否为积分因子，只需验证下列等式成立：(P(x, y) g(x, y) +P(x, y)g =y y(Q(x, y) g(x, y) +Q(x, y)g ,x x 显然(P ( yx, y) =(Q ( xx, y) ,且P(x, y)g= Q(x, y)g，所以1 = g() 是(5.1)的积分因子y x(逆定理)由定理条件假定也是(5.1)的积分因子且使得P(x, y)dx +Q(x, y)dy = d(x, y) .
36、设1是微分方程(5.1)的另一个积分因子,且设1 = f (x, y) f (x, y)P(x, y)dx +f (x, y)Q(x, y)dy = d(x, y) ,则(P ( yx, y) =(Q ( xx, y) ,即fy P(x, y) + f (x, y) (P ( yx, y) =fy Q(x, y) + f (x, y) (Q ( yx, y) ,所以fy ddx =fx ddy , 则f = g(x, y) 设函数P(x, y),Q(x, y),1(x, y),2(x, y) 都是连续可微的，而且1,2 是微分方程(5.1) (x, y) 的两个积分因子, 21(x, y) 常
37、数。试证21 c 是方程(5.1)的一个通积分.证明：利用P47 的定理令g(x, y) =(x, y) ，- 26 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则1(x, y) = (x, y)(x, y) 是(5.1)的积分因子，1(, ) xy即(, ) (, ) ,显然有 x y)xy = xy ( , 是方程(5.1)的通积分. - 27 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-6求下列各曲线族的正交轨线族：() x2+ y2 = c ；解：由方程得：x2 + y2 = cx ，消去c有: dy =y2 x2,(2x c)dx + 2y
38、dy = 0 dx 2xy dy 2xy则所求正交轨线的微分方程为dx =x2 y2 ，亦即2xydx (x2 y2)dy = 0 ，所以所求正交轨线族为x2+ y2 = cy ()xy = c ；解：由方程得：xy = c ，消去c有: dy = y ,xdy + ydx = 0 dx x dy x 则所求正交轨线的微分方程为dx =y ，亦即ydx xdy = 0 ，所以所求正交轨线族为x2 y2 = c ()y2 = ax3 ；y2 = ax3 dy 3y解：由方程得：2ydy 3ax dx = 0 ，消去c有: = ,2 dx 2x则所求正交轨线的微分方程为dy = 2x ，dx 3y
39、亦即2xdx +3ydy = 0 ，所以所求正交轨线族为2x2 +3y2 = c()x2 + c2 y2 =12 2 2 1 dy xy解：由方程得：2 xxdx + c + 2 yc2 =ydy = 0 ，消去c有: dx =1 x2- 28 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则所求正交轨线的微分方程为dx dy =xy x21，亦即ydy (+ x )1 dx x = 0 ，所以所求正交轨线族为x2+ y2 2ln x = c 或者2x +2y ln2 x = c . 2. 求与下列各曲线相交成45角的曲线族：()x y 2 = c ；解：由方程得：=2 2 d
40、xdy yx=c 0 ，消去c有: dx dy =2 1 ,则所求等角轨线的微分方程为dx dy =45 2 11 45 2 1 tg tg +，亦即3dx dy = 0 ，所以所求等角轨线族为x3 y = c ()xy = c ；xy = c dy y解：由方程得：xdy + ydx = 0 ，消去c有: dx =x , y dy则所求等角轨线的微分方程为dx =x +ytg45 ，1( )tg45x 亦即(x y)dx (x + y)dy = 0 ，所以所求等角轨线族为x2 y2 2xy = c ()y = x ln ax ；y = x ln ax dy x + y解：由方程得：dy (l
41、n ax +1)dx = 0 ，消去a有: dx =x , - 29 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案x + y 则所求等角轨线的微分方程为dy =1( x +tg )tg 4545 ，dx x + y x亦即(2x + y)dx + ydy = 0 ，所以所求等角轨线族为ln(2x2 + xy + y2) 2 arctg (2 2y + x) = c 7 7 x ()y2 = 4ax 解：由方程得：y2 = 4ax ，消去a有: dy =y ,2ydy 4adx = 0 dx 2xydy 2x则所求等角轨线的微分方程为dx =1( +y tg )tg 4545
42、，2x亦即(2x + y)dx (2x y)dy = 0 ，所以所求等角轨线族为ln(2x2 xy + y2) 6 arctg (2 2y x) = c 7 7 x 3. 给定双曲线x2 y2 = c ，(其中c为任意常数)设有一个动点P在平面(x, y) 上移动，它的轨迹与和它相交的每条双曲线均成30角，又设此动点从P0 (0,1)出发，试求这动点的轨迹解：由题意知，此轨迹即为与双曲线x2 y2 = c 相交成30角的曲线族由方程得：x2 y2 = c ，消去c有: dy =x2xdx 2ydy = 0 dx yx 则所求轨线的微分方程为dy =y +tg30，所以所求轨线族为dx x 1 tg30 y 3 x23 y 2 + 3xy = c ，又因为此轨迹过P0 (0,1)点，所以c =3 ，2 2 2 所以所求轨迹为3x2 3y2 + 2 3xy +3 = 0 - 30
