1、1小学六年级奥数教案01 比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子”。当两个已知分数
2、的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。25.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数 m 和 n，若 mk，kn，则
3、 mn。（2）对于分数 m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。前一个差比较小，所以 mn。（3）对于分数 m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来的两个分数 m 和n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。3比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来
4、源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习 11.比较下列各组分数的大小：答案与提示练习 1小学六年级奥数教案02 巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。4分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不
5、能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是与例 3 类似，可以求出5在例 1例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？数 a。分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新分数，分子与分母的和是 1+5=6，是
6、由新分数的分子、分母同时除以 426=7 得到分析与解：分子加 10，等于分子增加了 105=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加682=16。在例 8 中，分母应加的数是在例 9 中，分子应加的数是由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减）的数原分数。分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）3=（x+5）4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。练习 27是多少？ 答案与提示练习 25.5。
7、解：(53+79)(4+7)=12， a=53-412=5。6.13。解：（67-22）（16-7）=5，75-22=13。8解：设分子为 x，根据分母可列方程小学六年级奥数教案03 分数运算技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。2.约分法93.裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。例 7 在自然数
8、1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1。分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的就非常简单了。10括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成： 所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。4.代数法5.分组法分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之和为原式中分母为 220 的分数之和依次为11练习 38.在自然数 160 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1。答案与提示 练习 31.3。 128
9、.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。解：从前向后，分子与分母之和等于 2 的有 1 个，等于 3 的有 2 个，等于 4 的有 3个人一般地，分子与分母之和等于 n 的有(n-1)个。分子与分母之和小于 9+99=108 的有1+2+3+106=5671（个），5671+9=5680（个）。小学六年级奥数教案05 工程问题一顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率工作时间，13工作时间=工作量工作效率，工作效率=工
10、作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时
11、甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12 天。例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了14例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完
12、成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、
13、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5分钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习 51.某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。153
14、.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快车从40 千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示 练习 52.14 天
15、。3.120 天。4.350 棵。5.6000 米。6.8 时。提示：甲管 12 时都开着，乙管开167.280 千米。小学六年级奥数教案06 工程问题二上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。 例 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天可完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天
16、的工作量相等，即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，现在乙队先做 7 天，然后么还要几天才能完成？17分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做 4 天，乙再单独例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 天后，剩下的继续由乙单独做，那
17、么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过 3 天，甲、乙合做 2 天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要例 4 放满一个水池的水，若同时打开 1，2，3 号阀门，则 20 分钟可以完成；若同时打开 2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成；若同时打开 1，3，4 号阀门，则 28 分钟可以完成；若同时打开 1，2，4 号阀门，则 30 分钟可以完成。问：如果同时打开 1，2，3，4 号阀门，那么多少分钟可以完成？分析与解：同时打开 1，2，3 号阀门
18、1 分钟，再同时打开 2，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，2，4 号阀门 1 分钟，这时，1，2，3，4号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于一18例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成；由二、三、四小队合干，需要10 天完成；由一、四小队合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？分析与解：与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。
19、若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。由最后一轮完成的工作量相同，得到练习 6191.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？3.加工一批零件，王师傅先做 6 时李师傅再做 12 时可完成，王师傅先做 8 时李师傅再做 9 时也可完成。现在王师傅先做 2 时，剩下的两人合做，还需要多少小时？独修各需几天？5.蓄
20、水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15 时。上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午 2 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？6.单独完成某项工作，甲需 9 时，乙需 12 时。如果按照甲、乙、甲、乙、的顺序轮流工作，每次 1 时，那么完成这项工作需要多长时间？7.一项工程，乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天？答案与提示练习 61.360 个。2.甲 18 天，乙 12 天。3.7.2
21、 时。解：由下页图知，王干 2 时等于李干 3 时，所以单独干李需 12+623=21（时），王需 2132=14（时）。所求为205.上午 9 时。6.10 时 15 分。7.8.5 天。解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做 17 天等于甲做 8.5 天。21小学六年级奥数教案07 巧用单位“1”在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”
22、。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位答：这本故事书共有 240 页。分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了 3 个不同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的22共有多少本图书？分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，这
23、给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以 图书室原来共有图书分析与解：与例 3 类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。23例 5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了 1
24、0 分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的两班各有多少人？乙班有 84-48=36（人）。练习 7树上原有多少个桃？24剩下的部分收完后刚好又装满 6 筐。共收西红柿多少千克？ 7.六年级两个班共有学生 94 人，其中女生有 39 人，已知一班的女生占本答案与提示 练习 71.35 个。2.60 个。3.64 吨。4.384 千克。6.男生 15 人，女生 21 人。257.一班 45 人，二班 49 人。小学六年级奥数教案08 比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。两个数相除叫做两个数的比。例如，56 可记作 56。比
25、值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，37=921。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果 ab=cd，那么ad=bc。两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如 abc。连比中的“”不能用“”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲乙=56，乙丙=43，因为6，4=12，所以5 6=10 12， 43=129，得到甲乙丙=10129。例 1 已知 3(x-1)=79，求
26、 x。解： 7(x-1)=39，x-1=397，例 2 六年级一班的男、女生比例为 32，又来了 4 名女生后，全班共有 44 人。求现在的男、女生人数之比。分析与解：原来共有学生 44-4=40（人），由男、女生人数之比为 32 知，如果将人数分为 5 份，那么男生占 3 份，女生占 2 份。由此求出26女生增加 4 人变为 16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 2420=65。在例 2 中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分
27、量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。例 3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是 1212，现在要配制这种农药 2700 千克，求各种原料分别需要多少千克。分析：总量是 2700 千克，各分量的比是 1212，总份数是 1+2+12=15， 答：生石灰、硫磺粉、水分别需要 180，360 和 2160 千克。在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例 3 中，总份数是 1+2+12=15，每份的量是 270015=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用 180 千克分别乘以 1，2，12，就可以求出各个分量。例 4 师徒二人共加工零件 4
28、00 个，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率有多少学生？27按比例分配得到例 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小客车 15 元，小轿车 10 元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 56，小客车与小轿车之比是411，收取小轿车的通行费比大客车多 210 元。求这天这三种车辆通过的数量。分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将 56 中的 6与 411 中的 4 统一成4，6=12，就可以得到大客车小客车小轿车
29、的连比。由 56=1012 和 411=1233，得到大客车小客车小轿车=101233。以 10 辆大客车、12 辆小客车、33 辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多 1033-3010=30（元），所以这天通过的车辆共有 21030=7（组）。这天通过大客车=107=70（辆），小客车=127=84（辆），小轿车=337=231（辆）。练习 81.一块长方形的地，长和宽的比是 53，周长是 96 米，求这块地的面积。2.一个长方体，长与宽的比是 43，宽与高的比是 54，体积是 450 分米 3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？3.一把小刀售价 6 元。如果小明买了这把小
30、刀，那么小明与小强的钱数之比是35；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是 911。问：两人原来共有多少钱？285.甲、乙、丙三人分 138 只贝壳，甲每取走 5 只乙就取走 4 只，乙每取走 5 只丙就取走 6 只。问：最后三人各分到多少只贝壳？6.一条路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是123，某人走各段路程所用的时间之比是 345。已知他走平路的速度是 5 千米/时，他走完全程用多少时间？7.某俱乐部男、女会员的人数之比是 32，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是 1087。如果甲组中男、女会员的人数之比是 31，乙组中男、女会员的人数
31、之比是 53，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？答案与提示练习 81.540 米 2。2.长 100 厘米，宽 75 厘米，高 60 厘米。解：长宽高=201512，450000(201512)=125=5 3。长=205=100（厘米），宽=155=75（厘米），高=125=60（厘米）。3.86 元。解：设小明有 x 元钱。根据小强的钱数可列方程36+50=86（元）。4.2640 元。5.甲 50 只，乙 40 只，丙 48 只。解：甲乙丙=252024，138(25+20+24)=2，甲=225=50（只），乙=220=40（只），29丙=224=48（只）。6.12 时。7.5：
32、9小学六年级奥数教案09 百分数百分数有两种不同的定义。 （1）分母是 100 的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：比较数标准数=分率（百分数），标准数分率=比较数，比较数分率=标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。例 1 纺织厂的女工占全厂人数的
33、80，一车间的男工占全厂男工的 25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解：因为“女工占全厂人数的 80”，所以男工占全厂人数的 1-80=20。30又因为“一车间的男工占全厂男工的 25”，所以一车间的男工占全厂人数的2025=5。例 2 学校去年春季植树 500 棵，成活率为 85，去年秋季植树的成活率为 90。已知去年春季比秋季多死了 20 棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？分析与解：去年春季种的树活了 50085=425（棵），死了 500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=55（棵），活了 55（1-90）90=495（棵）。所以，去年学校共种活 42
34、5+495=920（棵）。例 3 一次考试共有 5 道试题。做对第 1，2，3，4，5 题的人数分别占参加考试人数的 85，95，90，75，80。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加考试的人数为 100。由此得到做错第 1 题的有 100（1-85）=15（人）；同理可得，做错第 2，3，4，5 题的分别有 5，10，25，20 人。总共做错 15+5+10+25+20=75（题）。一人做错 3 道或 3 道以上为不及格，由 753=25（人），推知至多有 25 人不及格，也就是说至少有 75
35、人及格，及格率至少是 75。例 4 育红小学四年级学生比三年级学生多 25，五年级学生比四年级学生少10，六年级学生比五年级学生多 10。如果六年级学生比三年级学生多 38 人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的 125，五年级是三年级的 125（1-10），六年级是三年级的 125（1-10）（1+10）。因为已知六年级比三年级多 38 人，所以可根据六年级的人数列方程。解：设三年级有 x 名学生，根据六年级的人数可列方程：x125（1-10）（1+10）=x+38，x12590110=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年级有 160 名学生。四年级有学生 160125=200（名）。五年级有学生 200（1-10）180（名）。六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年级共有学生 738 名。
