1、第二章数列复习,知识归纳,等差数列,定 义,通 项,前n项和,主要性质,1.等差数列这单元学习了哪些内容？,一、等差数列,2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题:,n2，an an1d (常数),3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？,ana1(n1) d,anAnB,(dAR),一、等差数列,4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？,n,n,an,an,d0,d0,一、等差数列,5. 用什么方法推导等差数列前n项和公式 的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点?,SnAn2Bn (AR),注意: d2A !,一、等差数列,6. 你知道等差数列的
2、哪些性质?,等差数列an中，(m、 n、p、qN+): anam(nm)d ； 若 mnpq，则amanapaq ； 由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； 每n项和Sn , S2nSn , S3nS2n 组成的数列仍是等差数列.,一、等差数列,1. 等比数列的定义,2. 等比数列的通项公式,3. 等比中项,二、等比数列,4. 等比数列的判定方法,(1) anan1q (n2)，q是不为零的常数，an10 an是等比数列. (2) an2an1an1(n2, an1, an, an10) an是等比数列. (3) ancqn (c，q均是不为零的常数) an是等比数列.,二、等比数列,5
3、. 等比数列的性质,(1)当q1，a10或0q1，a10时，an是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，an是递减数列；当q1时，an是常数列；当q0时，an是摆动数列.,二、等比数列,5. 等比数列的性质,(2)anamqnm(m、nN*).,(1)当q1，a10或0q1，a10时，an是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，an是递减数列；当q1时，an是常数列；当q0时，an是摆动数列.,二、等比数列,知识归纳,(3)当mnpq(m、n、q、pN*)时，有amanapaq.,5. 等比数列的性质,(4)an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积.,知识
4、归纳,若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列；数列 是公比为 的等比数列；|an| 是公比为|q|的等比数列.,5. 等比数列的性质,(5)数列an( 为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；,知识归纳,(7)当数列an是各项均为正数的等比数列时, 数列lgan是公差为lgq的等差数列.,5. 等比数列的性质,(6)在an中，每隔k(kN*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk1.,知识归纳,(9)若m、n、p（m、n、pN*）成等差 数列时，am、an、ap成等比数列.,5. 等比数列的性质,(8)an中，连续取相邻不重复两项的和 (或差
5、)构成公比为q2的等比数列(q1).,6. 等比数列的前n项和公式,二、等比数列,7. 等比数列前n项和的一般形式,已知,，,，,成等差数列，,成等比数列，则,二、等比数列,8. 等比数列的前n项和的性质,二、等比数列,(1)在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则,(2)Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列.,8. 等比数列的前n项和的性质,(1)在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则,二、等比数列,1. 已知: x0，y0, x，a，b，y成等差数 列，x，c，d，y成等比数列，则,的最小值是 ( ),A. 0 B. 1 C. 2 D. 4,练习,知识归纳,6. 你知道等差数列的哪些
6、性质?,等差数列an中，(m、 n、p、qN+): anam(nm)d ； 若 mnpq，则amanapaq ； 由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； 每n项和Sn , S2nSn , S3nS2n 组成的数列仍是等差数列.,知识运用,1.下列说法: (1)若an为等差数列,则an2也为等差数列 (2)若an 为等差数列,则anan1也为等差数列 (3)若an13n,则an为等差数列. (4)若an的前n和Snn22n1, 则an为等差数列. 其中正确的有( ),知识运用,1.下列说法: (1)若an为等差数列,则an2也为等差数列 (2)若an 为等差数列,则anan1也为等差数列
7、(3)若an13n,则an为等差数列. (4)若an的前n和Snn22n1, 则an为等差数列. 其中正确的有( ),(2)(3),知识运用,3.等差数列an中, a1a4a739,a2a5a833, 则a3a6a9_.,4.等差数列an中, a510, a105, a15_.,2. 等差数列an前三项分别为a1,a2,2a3, 则an_.,5.等差数列an, a1a5a9a13a1710,a3a15_.,知识运用,3.等差数列an中, a1a4a739,a2a5a833, 则a3a6a9_.,4.等差数列an中, a510, a105, a15_.,2. 等差数列an前三项分别为a1,a2,
8、2a3, 则an_.,5.等差数列an, a1a5a9a13a1710,a3a15_.,3n2,27,0,20,6. 等差数列an, S1590, a8_.,7.等差数列an, a1= 5, 前11项平均值为 5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽 取的项为 ( ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8,知识运用,8.等差数列an, Sn3n2n2, 则( ) A. na1Snnan B. nanSnna1 C. nanna1Sn D. Snnanna1,6. 等差数列an, S1590, a8_.,7.等差数列an, a1= 5, 前11项平均值为 5, 从中抽去一项,余
9、下的平均值为4, 则抽 取的项为 ( ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8,知识运用,6,A,B,8.等差数列an, Sn3n2n2, 则( ) A. na1Snnan B. nanSnna1 C. nanna1Sn D. Snnanna1,讲解范例,例1. 在等比数列an中, a1a2a33, a1a2a38. (1) 求通项公式； (2) 求a1a3a5a7a9.,1. 利用等比数列的通项公式进行计算.,讲解范例,例2.有四个数，前三个成等差，后三个 成等比，首末两项和37，中间两项和36， 求这四个数.,1. 利用等比数列的通项公式进行计算.,讲解范例,2. 利用等比数
10、列的性质解题.,例3.等比数列an中， (1) 已知a24，a5 ，求通项公式; (2) 已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.,3. 如何证明所给数列是否为等比数列.,例4. 设an是等差数列，,已知,求等差数列的通项an, 并判断bn是 否是等比数列.,讲解范例,4. 利用等比数列的前n项和公式进行计算.,例5.若数列an成等比数列，且an0，前 n项和为80，其中最大项为54，前2n项之 和为6560，求S100?,讲解范例,5. 利用an，Sn的公式及等比数列的性质解题.,例6. 数列an中，a1=1，且anan14n， 求前n项和Sn.,讲解范例,数列复习 通项公式,题型
11、二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式,若数列an满足a1=a,(数列bn为可以求和的数列)，则用累加 法求解，即,数列的通项公式的求法,题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式,例2. 写出下面各数列的一个通项公式,练习4.,题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式,若数列an满足a1=a，an+1=anbn， 数列bn为可以求积的数列，则用迭 乘法求解，即,题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式,若数列an满足a1=a，an+1=pan+q (p1)，通过变形可转化为,即转化为,是等比数列求解 .,，,数列的通项公式的求法,题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式,若数
12、列an满足a1=a,通过取倒可转化为,即转化为 是等差数列求解,数列的通项公式的求法,题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式,例2. 写出下面各数列的一个通项公式,练习2.,课堂小结,已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：观察法,2. 已知递推公式，求特殊数列的通项公式的方法：转化为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法,习题作业,一、公式法 1如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q1或q1.,2一些常见数列的前n项和公式： (1)1234n ； (2)13572n1 ； (3)24682n .,n2,n2n,
13、二、非等差、等比数列求和的常用方法 1倒序相加法 如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的 2分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减,3错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的 4裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,小题能否全取 1(2013沈阳六
14、校联考)设数列(1)n的前n项和为Sn， 则对任意正整数n，Sn ( ),小题能否全取 1(2013沈阳六校联考)设数列(1)n的前n项和为Sn， 则对任意正整数n，Sn ( ),答案：D,答案：C,数列求和的方法：,1. 倒序相加法：,对某些前后具有对称性的数列， 可运用倒序相加法求其前n项和.,例1. 求和：,数列求和的方法：,2. 错位相减法：,例2. 求和：,考点探究挑战高考,分组转化法就是把一个数列的通项拆成若干个数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从而求出原数列的和,【思路点拨】 分组分别求和，然后相加,【名师点评】 非等差、非等比数列求和的最关键步骤是“转化”，即根据通项公式的
15、特点，利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列的和或差，再进行求和运算,例1 (2011山东高考)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.,分组转化法求和,第一列,第二列,第三列,第一行,3,2,10,第二行,6,4,14,第三行,9,8,18,(1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前2n项和S2n.,自主解答 (1)当a13时，不合题意； 当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意； 当a110时，不合题意 因此a12，a26，a318.所以公比q3，故
16、an23n1.,分组转化法求和的常见类型,(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和,一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法,知数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为a的等比数列 (1)求an； (2)如果a2，bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn.,【名师点评】 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别进行求和,例2 (2012江西高考)已知数列an的前n项和Snkcnk(其中
17、c，k为常数)，且a24，a68a3. (1)求an； (2)求数列nan的前n项和Tn.,错位相减法求和,用错位相减法求和应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解,2(2013济南模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且 满足Sn3nk. (1)求k的值及数列an的通项公式；,解：(1)当n2时，由anSnSn13nk3n1k23n1，得等比数列an的公比q3，
18、首项为2. a1S13k2，k1，数列an的通项公式为an23n1.,裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过求和相互抵消，从而达到求和的目的,裂项相消法求和,例3 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*) (1)求数列an的通项公式；,自主解答 (1)Snnann(n1)，当n2时， Sn1(n1)an1(n1)(n2)， anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)， 即anan12. 数列an是首项a11，公差d2的等差数列， 故an1(n1)22n1，nN*.,利用裂项相消法求和应注意 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面
19、剩两项，后面也剩两项；,3(2012“江南十校”联考)在等比数列an中，a10， nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中项为16. (1)求数列an的通项公式；,解：(1)设数列an的公比为q，由题意可得a316， a3a28，则a28，q2. an2n1.,【思路点拨】 把San(Sn)化为只含有Sn的式子，可求出Sn；把Sn代入bn用裂项法可求出Tn.,数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力,“大题规范解答得全分”系列之(五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板,习题作业,
