1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 如何证明极限不存在(精选多篇)证明极限不存在 二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选 y=kx 这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例 1证明下列极限不存在:limx4y2x6+y6
2、;limx2y2x2y2+2.证明-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 一般地,对于选择当沿直线 y=kxy=kx 趋近于时,有limx4y2x6+y6=limx0k2x6x6=k21+k6.显然它随着 k 值的不同而改变,故原极限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛物线 y=kx2+x趋近于,则有 l2是因为定义域 d=|x 不等于 y吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线 y=2xy=-2x 趋于时极限分别为-3 和-1/3 不相等极限存在的定义要求延任何过直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim 趋向于无穷大/证明该极限不存
3、在lim/=lim/-8y /=1-lim8/-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 因为不知道 x、y 的大校所以 lim 趋向于无穷大/极限不存在4如图用定义证明极限不存在谢谢!反证法若存在实数 l，使 limsin=l，取 =1/2，在 x=0 点的任意小的邻域 x 内，总存在整数 n，记 x1=1/x，有 sin=1，记 x2=1/x，有 sin=-1，使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。即|1-l| 这与|1-l|+|-1-l|-|=2 发生矛盾。所以，使 limsin=l 成立的实数 l不存在。如何证明极限不存在 反证法若存在实数 l，使 limsin
4、=l，取 =1/2，-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 在 x=0 点的任意小的邻域 x 内，总存在整数 n，记 x1=1/x，有 sin=1，记 x2=1/x，有 sin=-1，使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。即|1-l| 这与|1-l|+|-1-l|-|=2 发生矛盾。所以，使 limsin=l 成立的实数 l不存在。反证法：一个数列an 极限存在 ,另一个数列bn极限不存在假设两数列之和cn的极限存在，那么 bn=cn-an 极限也存在矛盾所以原命题成立令 y=x,lim 趋于 xy/x+y=limx /=0令 y=x -x,lim*b因此二项式定理
5、下面用二项式定理计算这一极限：-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 用二项式展开得：-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 =1-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 +* +*+* *-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得 1，低次项与 1/n 的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n 的若干次方，当 n-+,得 0。因此总的结果是当 n-+
6、，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得 1。余下分母。于是式一化为：-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/n!当 n-+时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为 e。证明二重极限不存在 如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论 limxx0yy0f不存在,通常的方法是:找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限l
7、imxx0yy0f 不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limxx0yy0fg 的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是 f-g=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx0y0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 x2y-=0时,所得的结论就不同1)。为什么会出现这种情况呢? 仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，一 g=0 趋近于来讨论，一 0g，y。 。可能会出现错误，只有
8、证明了不是孤立点后才不会出错。o13a1673-38780l_0l02_02 如何判断二重极限不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论 limf 不存在，通常 x10yy0 的方法是：找几条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这些曲线趋于时，f 趋于不同的值，则可判定二重极限 limf 不存在，这一方 i10ry0 法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过，并且定点是这条曲线的非孤立点，-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感
9、谢阅读- 12 这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如 2 的极限，在判卜iogx，yyy0 断其不存在时，不少人找的曲线是 f 一 g：0，这样做就很容易出错。3当沿曲线 y=-x+x 趋于时，极限为 lim/x =-1;当沿直线 y=x 趋于时，极限为limx /2x=0。故极限不存在。4x-y+x +y f= x+y它的累次极限存在：x-y+x +y limlim=-1y-0x-0x+yx-y+x +y limlim=1x-0y-0x+y当沿斜率不同的直线 y=mx,-时，-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 易证极限不同，所以它的二重极限不存在。不如何证
10、明极限不存在一、归结原则原理:设 f 在 u0 内有定义，limf存在的充要条件是：对任何含于x?x0u 且以 x0 为极限的数列?xn?极限limf 都存在且相等。n?例如：证明极限 limsinx?01x不存在12n?证：设 xn?1n?,xn?2，则显然有-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 xn?0,xn?0，si 由归结原则即得结论。?0?0,si?1?1?xnxn二、左右极限法原理：判断当 x?x0 时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明 f?arctan当 x?0时的极限不存在。1x)?1x)?2x=0，lima
11、rctan?lim?arctan，所以当 x?0 时，arctan 的极限不存在。三、证明 x?时的极限不存在原理：判断当 x?-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 ?时的极限，只要考察 x?与 x?时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明 f?ex 在 x?x?时的极限不存在x?x?xxxx因为 lime?0，lime?；因此，lime?limex?所以当 x?四、柯西准则?时，ex 的极限不存在。0原理：设 f 在 u 内有定义，limf存在的充要条件是：任给?x?x0-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 ?0，存在正数
12、? ，使得对任何x?,x?u0，使得 f?f?0。 例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何?0，设正数 n?x?1n?,x?1n?1?，令?2 即证。五、定义法原理：设函数 f 在一个形如的区间中有定义，对任何 a?r，如果存在?0?0，使对任何 x?0 都存在 x0?x,使得 f?a?0,则 f 在 x?x?时没有极限。 例如：证明limcosx 不存在设函数 f?cosx，f 在中有定义，对任何 a?r，不妨设 a?取?0?120,，于是对任何?0，取?0?0 反证法 数学归纳法极限证明1.设 f 在上无穷次可微，且 f?，-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17
13、求证当 k?n?1 时，?x， limf?0 x?2.设 f?0sinntdt，求证：当 n 为奇数时，f 是以 2?为周期的周期函数；当 n 为偶数时 f 是一线性函数与一以 2?为周期的周期函数之和 xf?0 ?xn?3.设 f 在上无穷次可微；ff?0xlim 求证：n?1，?n，0?xn?xn?1 ，使 f?0sin)?1 求证 limf 存在 4.设 f在上连续，且 xlim?x?5.设 a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限 limn?xn 存在并求极限值。6.设 xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则 limxn?x. n?xn?n7.
14、用肯定语气叙述：limx?f?x?.8.a1?1,an?1?1,求证：ai 有极限存在。 an?1t?x9.设函数 f 定义在?a,b?上，如果对每点 x?a,b?,极限 limf?t?存在且有限。证明：函数 f 在?a,b?上有界。-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 10.设 limn?an?a,证明：lima1?2a2?nana?. n?2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若?af?x?dx 收敛且 limx?f?x?，则?0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a
15、2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c?n ，其中 c 是与 n 无关的常数，limn?n?0.15.设 f?x?在上连续，且f?0, 记 fvn?f,?n?expb?a，试证明：n1blnfdx并利用上述等式证明下?ab?a式2?-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 ?2?lndx?2lnrf?f?kb?a34.设 f?k,试证明 lima?0?b?0?35.设 f 连续，?0fdt，且 limx?0论? 在 x?0 处的连续性。f，求?，并讨?ax36 给出 riemann 积分?afdx 的定义，并确定实数 s 的范围使下列极限收敛i1lim
16、?s。 n?ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数 f?x?x?y2. 证明-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 20 f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设 f 是?0,?上有界连续函数，并设 r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列 x1,x2,?,使得：limn?f?xn?rn?f?xn?0.39.设函数 f?x?在 x?0 连续，且limx?0f?2x?f?x?a,求证：f?0?存在且等于 a.x1n40.无穷数列?an?,bn?满足limn?an?a,limn?bn?b,证明:lim?aibn?1-i?
17、ab.n?ni?141.设 f 是?0,?上具有二阶连续导数的正函数，且 f?x?0,f有界，则limt?f?t?042.用?分析定义证明 limt?1-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 21 x?31? x2?9243.证明下列各题?1?设 an?0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n 收敛；n?1?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an 收敛，试证明limn2014an?0;n?n?1?3?设 f?x?在 x?0 附近有定义，试证明权限 limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于 0 的数列?xn?,yn?都有limn?f
18、?xn?f?yn?0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0?收敛，试证明 limn?n?n?1?a?1。 45.设 an?0，n=1,2 ， an?a?0,证 limn-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 22 n?46.设 f 为上实值函数，且f1， f?1，?limf 存在且小于 1。x?4，证明 x?1）2x2f?47.已知数列an 收敛于 a，且a?a?asn? ，用定义证明 sn也收敛于 an48.若 f?x?在?0,?上可微，limn?f?0，求证 ?0,?内存在一个单x?x调数列?n ，使得 lim?n?且limf?0n?x?e?sinx?cosx?,x?0-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 23 49.设 f?x?2,确定常数 a,b,c,使得f?x?在?,?处处存在。?ax?bx?c,x?0
